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排列组合中的染色问题(教师版)


排列组合中的染色问题
辅导教师:朱屿 电话:15044088809 染色问题的基本要求:每块区域只涂一种色,相邻区域不能涂相同颜色; 染色问题的基本方法:先选色后涂色; 染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。必要时可以对颜色或区域进 行分类。 1.将 A、B、C 三种不同的颜色,填到如图所示区域中,每块区域只涂一种色,相邻区域 不能涂相同颜色,三种颜色都

用到,则不同的涂法种数为( 90 种 )
1 1 1 1 1 1 解: C3C2 C2 C2 C2 C2 ? 6 ? 90(详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格 1 1 1 1 1 1 中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有 C3C2 C2 C2 C2 C2 种,但由于每种颜色都用到

且不能有剩余有以下重复的现象出现共六种,所以总计有:(90 种,) A B A C C B B A C A B C A B A C C B B A C A B C A B A C C B B A C A B C

变式训练:1、如果方格数有变化,应该怎样解?2、如果颜色有变化呢? 2.如图所示的花圃分成六个区域, 现要栽四种不同的花, 每一部分栽一种花色且相邻部分 不种同颜色的花,则不同的栽法种数为(120 种 )
5 6 2 1 3 4

解:先安排六个区域的中 1、2、3 有 A4 ? 24 种,不妨已分别栽 A、B、C,则余下的区
3

域 4、5、6 的栽法有 B-C-D , B-D-C, D-B-C,D-B-D,D-C-D 共计五种。所以共计有 24*5=120 种。 3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域, 每块区域只涂一种色, 相邻区域不能涂相同颜色, 则不同的填法种数为(260 种)
4 解法一:①.如果用 4 种颜色,有 A5 ? 120种

1

4 1 3 2

3 ②.如果用 3 种颜色,选色有 C5 ? 10 ,填色方案有 2*2*3=12 种,共计 10*12=120 种,

C A B A B

A B C C

A C B

2 ③.用 2 色图, C5 ? 2 ? 20 ,综上共计 120+120+20=260 种。

解法二:从五种颜色中选出两种涂到 1、3 有A2 = 20种,然后涂 4 区域,分为两种情况: 5 不妨假设 1、3 涂的是 A、B,如果 4 中涂 B,4、2 区域有 4 种涂法;如果 4 区域不是 B, 4、2 区域有 3*3=9 种涂法,所以总的涂法种数为A2 *(4+9)=260 种。 5 4.用五种颜色涂如图所示的区域,每块区域只涂一种色,相邻区域不能涂相同颜色,有多 少种不同的涂法?(180 种) 解:

1

3 2 4

3 3 解法一:①.如果用 3 种颜色,先涂 123,1 区域的颜色与四相同, C5 ? A3 ? 60 ; 4 ②. .如果用 4 种颜色,有 A5 ? 120种。所以共计 180 种。

解法二:选出三种颜色涂到 234 区域中,有A3 = 60种,然后涂 1,有两类情况:与 4 同, 5 一种;与 4 不同,2 种;所以共有A3 *(1+2)=180 种。 5 5.用六种广告色着色图中区域,每块区域只涂一种色,相邻区域不能涂相同颜色。 (480 种)

2

1 3 2 4

解法一: 6 ? 5 ? 4 ? 4 ? 480 种,解法二:与第 4 题类似,A3 3 + 1 = 480种 6 6.用 n 种不同的颜色涂如图所示的区域, 每块区域只涂一种色, 相邻区域不能涂相同颜色, 不同的图法种数为 120 种,则 n=(120) 。
1 2
4 解:因为A4 = 24,所以 n≥ 5,相当于取出的所有颜色进行全排列, An =120,即 4

3

4

(n 2 ? 3n ? 10)(n 2 ? 3n ? 12) =0,解得 n=5。
7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色, 并且使同一条棱上的两端异色, 若只有五种颜 色可供选用,则不同的染色方案有多少种?(420 种)
S

D A B

C

?C 5 ? D (3 / 4) ? 解法一:先染 S、A、B, A ? 60 )然后涂 C, ?C 2 ? D (3 / 4 / 5) 共七种,所以不同选 ( ?C 4 ? D (3 / 5) ?
3 5

法种数为 60*7=420 种。 解法二:可以先考虑涂 ABCD 四个顶点, (1)AC 同色且 BD 同色,A3 ;AC 同色且 BD 5 4 4 不同色A5 ;2) 不同色且 BD 同色A5 ; 不同色 BD 也不同色 5!共有A3 +A4 ++A4 +5! ( AC AC , 5 5 5 =420 种。 8. 如图所示的花圃分成六个区域,现要栽四种不同的花,每一部分栽一种花色且相邻部 分颜色不同,则不同的栽法种数为(120 种 ) 解:同第 2 题。

3

4 1 3 2

5

6

9.一个地区有五个行政区域, 现给地图着色, 4 种颜色可供选用, 有 每块区域只涂一种色, 相邻区域不能涂相同颜色,则不同的涂法种数为( 72 种)

2 1 3

5

4

3 1 1 解:①.如果用 3 种颜色, C4 ? C3 ? C2 ? 24 ; 1 1 3 ②. .如果用 4 种颜色,有 C4 C2 A3 ? 48种。所以共计 72 种。

10. 用五种不同的颜色涂如图所示的区域, 每块区域只涂一种色, 相邻区域不能涂相同颜 色,则不同的填法种数为(260 种)

d c b

a

1 2 解法 1:a、c 同色, C5 ? 4 ? 4 ? 80 a、c 不同色 A5 ? 3 ? 3 ? 180,共计 260 种,本题与

第三题类似。
4 解法 2:①.如果用 4 种颜色,有 A5 ? 120种 3 ②.如果用 3 种颜色, 选色的 C5 ? 10 , 填色方案有 2*2*3=12 种, 共计 10*12=120

种,
2 ③.用 2 色图, C5 ? 2 ? 20 ,综上共计 120+120+20=260 种。

4

11.用 4 种不同颜色给正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的六个面涂色,要求相邻的两个面涂不 同的颜色,共有多少种不同的涂法(96 种)
D1 A1 B1 C1

D A B

C

解:①.如果用 3 种颜色,考虑正方体有三对面,三对面的颜色一定是同色,这样相当于
3 涂共顶点的三个面,如 B, A4 ? 24 ;

②.如果用 4 种颜色, 必有两种对面同色, 余下的两个面再涂不同色, C4 A3 * 2 ? 72种。 有 2 2 所以共计 96 种。
2 2 变式:颜色都用完 4 种颜色,有 C4 A3 * 2 ? 72种。

12.1*6 矩形长条中,涂红,黄,蓝三种颜色,每种颜色限涂两个格,相邻格不涂同一色, 则不同的涂法有(30 ) 解法 1:直接法:两种红色,两种黄色,两种蓝色排成一排,(同种颜色不加区分)且相同
2 2 颜色不相邻可以用插空的办法 C3 ? C5 ? 30 (种) ,图解:设 ABC 代表红,黄,蓝,则

有 ABAB;BCBC;CACA 每种中都有五个空,用余下的第三种颜色两个去插空。
1 解法 2.分类法:先将六个小格排上号 1—6 号,先涂 1 号有 C3 种,不妨设为红色,,再涂

料 2 号有 C 2 种,不妨设为黄色,3 号则需要讨论如下: (1):若为红色,则 4 号和 6 号必为蓝色,且 5 号为黄色,可以满足题意,故只有一种涂法, (2):若为蓝色,则后三格必为 3 种颜色全用,4 号有 C 2 种,5-6 号有 A2 种,所在总的排法
1 1 种数为C3 ? C1 ? (1 + 4)=30 种. 13.用六种不同的颜色涂如图所示的四个方格,要求最多使用三种颜色,相邻格不涂同一 色,则不同的涂法有(390 )
1 2

1

3 1 2 2 解:用 2 色: 2C6 ? 30 ;用 3 色: C6 ? 3C3 ? A2 ? 360,所以共计 390 种。

5

14.在平面内,直线 x=0,y=x,分圆 x 2 ? y 2 ? 4 成四个区域,用五种不同的颜色给四个 区域涂色,要求相邻的两个面涂不同的颜色,则不同的涂法种数为( 260) 与第三题相类似。

15.(2008 浙江杭州)如图,用六种不同的颜色把图中的 ABCD 四块区域分开, 相邻区域不能 涂相同颜色,则不同的涂法种数为( 480 种 )

B A C D

3 3 解析:先涂 A,B,C 有 C6 ? A3 ? 120,然后再涂 D 区域,在余下的三种颜色中再加上 A 区域的 3 3 1 颜色共四种中选择一种涂上,共有 A4 ? 4 ;总的涂法种数 C6 ? A3 ? A4 ? 480种。

1

16. 一个地区有五个行政区域,现给地图着色,有 4 种颜色可供选用,每块区域只涂一种 色,相邻区域不能涂相同颜色,则不同的涂法种数为( 72)

1 5 2

4

3

17.(2008 重庆高考题)某人有 4 种颜色的灯泡,(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的六 个点各装一个灯泡,要求同一条线段的两个端点的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少

6

用一个的安装方法有 (216 )种. 解析:把图中剪开, 同一条线段的两个端点的灯泡不同色,且 A1 、 A 也不同, 按下列顺序安 装灯泡, A1 --- C --- B1 --- B ---- C1 ---C C A B A C1 A1 B1 B B1 A1 C1

A ,四种颜色不妨设为红,黄,蓝,绿

情形1: B1 与 C 同色,方法有 24+48=72 种; 可分为两种情形 (1) B、C1 同色:可以从红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮中任选二个(不妨选中红黄两种)安装 在 B、B1 两个位置上,由于 B1 与 C 同色,且 B、C1 同色,有A2 种安法,接下安装 A 与 A1, 4 由于各种颜色的灯炮至少用一个,且同一条线段的两个端点的灯泡不同色,只能从余下 的(蓝,绿)二种颜色中任选二种,有二种安装方法,根据分步计数原理共有A2 ? 2 = 4 24 种; (2)B、C1 不同色:可以从红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮中任选一个安装在 B1 与 C 上(如 红色)有A1 ,接下来安装 B、C1 ,由于 B、C1 不同色,可以从余下的三种颜色中二种, 4 选法A2 种, 再安装 A、A1,在保证四种颜色至少用一种的基础上,有二种安装方法,所以 3 不同的安装方法数A1 A2 ? 2=48 种;则(1) (2)可知,共有 24+48=72 种; 4 3 情形 2: B1 与 C 不同色:48+96=144 种; (1) 、B、C1 同色:与情形 1(2)相同,48 种;再安装 A、A1 (2) 、B、C1 不同色:红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮全选有 4!种,各有两种安装方法,所 以共有 4!*4=96 种; 所以共有 72+144=216 种。 18、 (2012 广州综合测试)现在四种不同的颜色,对如图所示的四个部分进行着色,要求 有公共边的两块不同涂同一种颜色,则不同的着色方法共有(48 种)

7

B A C D

19、2012 广东佛山二摸) ( 假设佛山的五个行政区划图如图所示, 测绘局想要给地图着色, 相邻区域不能涂相同颜色,有四种不同的颜色供选择,则不同的涂法种数为( 144 种)

三水 南海

禅城

顺德 高明

20. (2007 山东菏泽)将某个城市分为四个区域,如图所示,现有五种不同的颜色,图中 1234 每个区域只涂一种颜色,且相邻两个区域必须涂不同颜色(不相邻两个区域所涂的 颜色不限)则 2 区域涂成红色的概率 A.1/5 B.1/240 C.2/5 D.3/5

1 3 2

4

21.(2008 年全国卷理)如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块, 现有 4 种不同的花供选 种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A.96 B.84 C.60 D.48 D A B C

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