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2014届高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)


第六节

二次函数与幂函数

[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

R R 奇 增

R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减 (0,+∞)增

>R R 奇 增 (1,1)

{x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增

{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减

二、二次函数 1.二次函数的定义 形如 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图象和性质 a>0 a<0

图象

图象 特点 定义域 值域 性质 奇偶性

b ①对称轴:x=- ; 2a

2 b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

x∈R y∈? 4ac-b2 ? 4a , +∞ 4ac-b2? y∈?-∞, 4a ? ?

b=0 时为偶函数,b≠0 时既非奇函数也非偶函数 b b x∈-∞, -2a?时递减,x∈- , ? 2a +∞时递增 b x∈?-∞,-2a?时递增,x∈ ? ?

单调性

?- b ,+∞?时递减 ? 2a ?

[小题能否全取] 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2 B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2 )

解析:选 D 形如 f(x)=xα 的函数是幂函数,其中 α 是常数. 1 ? ? 2.(教材习题改编)设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的
? ?

所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3

) B.-1,1 D.-1,1,3

1 - 解析:选 A 在函数 y=x 1,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函数 y=x 和 y=x3 的定义域 2 是 R,且是奇函数,故 α=1,3. 3. (教材习题改编)已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, a 的取值范围是( 则 1 A.?0,20? ? ? 1 C.?20,+∞? ? ? 1 B.?-∞,-20? ? ? 1 D.?-20,0? ? ? )

?a>0, ?a>0, ? ? 1 解析:选 C 由题意知? 即? 得 a> . 20 ? ? ?Δ<0, ?1-20a<0

4. (教材习题改编)已知点 M?

3 ? 在幂函数 f(x)的图象上, f(x)的表达式为________. 则 3 ? ,3? 3?α - ,得 α=-2.故 y=x 2. ?3?

解析:设幂函数的解析式为 y=xα,则 3=? 答案:y=x
-2

5.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的

最小值为________.

?-a+2=1, ?a=-4, ? ? 2 解析:由题意知? 得? ? ?b=6. ?a+b=2, ?
则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 答案:5

1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会经过第四象限,是否经过第二、 三象限,要看函数的奇偶性; (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内; (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.与二次函数有关的不等式恒成立问题
? ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ? ?a<0, ? (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0.

[注意] 当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.

幂函数的图象与性质

典题导入 [例 1] 已知幂函数 f(x)=(m -m-1)x
2
-5m-3

在(0,+∞)上是增函数,则 m=________. 是幂函数,

[自主解答] ∵函数 f(x)=(m2-m-1)x

-5m-3

∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x
-13

在(0,+∞)上是减函数;

当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x2 在(0,+∞)上是增函数. ∴m=-1. [答案] -1 由题悟法 1.幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不过

原点,在第一象限的图象下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行 比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

以题试法 1.(1)如图给出 4 个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正确的是( )

1 1 - A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x 1 3 2 1 - B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x 1 2 1 - C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x 1 2 1 1 - D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x 1 3 2 解析:选 B 由图①知,该图象对应的函数为奇函数且定义域为 R,当 x>0 时,图象是 向下凸的,结合选项知选 B. (2)(2013· 淄博模拟)若 a<0,则下列不等式成立的是( 1 A.2a>?2?a>(0.2)a ? ? 1 C.?2?a>(0.2)a>2a ? ? 1 B.(0.2)a>?2?a>2a ? ? 1 D.2a>(0.2)a>?2?a ? ? )

1 解析:选 B 若 a<0,则幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>?2?a>0.所以 ? ? 1 (0.2)a>?2?a>2a. ? ?

求二次函数的解析式

典题导入 [例 2] 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且它有最小值-1. (1)求 f(x)解析式; (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式. [自主解答] (1)由于 f(x)有两个零点 0 和-2,

所以可设 f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时 f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a, 由于 f(x)有最小值-1,
? ?a>0, 所以必有? 解得 a=1. ? ?-a=-1,

因此 f(x)的解析式是 f(x)=x(x+2)=x2+2x. (2)设点 P(x,y)是函数 g(x)图象上任一点,它关于原点对称的点 P′(-x,-y)必在 f(x) 图象上, 所以-y=(-x)2+2(-x), 即-y=x2-2x, y=-x2+2x, 故 g(x)=-x2+2x. 由题悟法 求二次函数的解析式常用待定系数法. 合理选择解析式的形式, 并根据已知条件正确地 列出含有待定系数的等式,把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法. 以题试法 2.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶 点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域.

解:(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入可 得 a=-2, 则 y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. 所以函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为

f(x)=-2x2-12x-14. (2)函数 f(x)的图象如图,

(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4].

二次函数的图象与性质

典题导入 [例 3] 已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. [自主解答] (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6]. 所以 f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 故 f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函 数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 故 a 的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).
2

本例条件不变,求当 a=1 时,f(|x|)的单调区间. 解:当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, 则 f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
? 2 ?x +2x+3,x∈?0,6], 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],

故 f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].

由题悟法 解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定

一不定,要注意分类讨论. (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法. 以题试法 3.(2012· 泰安调研)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,则 a 的值 为________. 解析:f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a>1 时,ymax=a; 当 0≤a≤1 时,ymax=a2-a+1; 当 a<0 时,ymax=1-a.
? ? ? ?a>1, ?0≤a≤1, ?a<0, 根据已知条件? 或? 2 或? ?a=2 ?a -a+1=2 ?1-a=2, ? ? ?

解得 a=2 或 a=-1. 答案:2 或-1 二次函数的综合问题

典题导入 [例 4] (2012· 衡水月考)已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. [自主解答] (1)?x∈R,f(x)<bg(x)??x∈R, x2-bx+b<0?(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4. 故 b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). (2)F(x)=x2-mx+1-m2, Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4. 2 5 2 5 ①当 Δ≤0,即- ≤m≤ 时, 5 5

? 2 ≤0, 则必需? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5
m

2 5 ?- ≤m≤0. 5

2 5 2 5 ②当 Δ>0,即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2). 5 5 m 若 ≥1,则 x1≤0, 2

?m≥1, ? 即? 2 ?m≥2; ?F?0?=1-m2≤0 ?
m 若 ≤0,则 x2≤0, 2

?m≤0, ? 2 5 即? 2 ?-1≤m≤- . 5 ?F?0?=1-m2≥0 ?
综上所述,m 的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞). 由题悟法 二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”,它们之间有着密切的联系,而二 次函数又是“三个二次”的核心, 通过二次函数的图象贯穿为一体. 因此, 有关“三个二次” 的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 以题试法 4.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)由 f(0)=1,得 c=1.即 f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, 则 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即 2ax+a+b=2x,
?2a=2, ?a=1, ? ? 所以? 解得? ? ? ?a+b=0, ?b=-1.

因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上 恒成立,只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).

1.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.{x|0<x≤ 2} C.{x|- 2≤x≤ 2} ) B.{x|0≤x≤4} D.{x|-4≤x≤4} 1 1 1 2 2 2

1 2 1 1 1 解析:选 D 由 f?2?= ?α= ,即 f(x)=x ,故 f(|x|)≤2?|x| ≤2?|x|≤4,故其解集 ? ? 2 2 2 2 为{x|-4≤x≤4}. 2.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是( )

解析:选 D ∵a>b>c,且 a+b+c=0, ∴a>0,c<0.∴图象开口向上与 y 轴交于负半轴. 1 3.已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 2 1 1 A.f(a)<f(b)<f?a?<f?b? ? ? ? ? 1 1 B.f?a?<f?b?<f(b)<f(a) ? ? ? ? 1 1 C.f(a)<f(b)<f?b?<f?a? ? ? ? ? 1 1 D.f?a?<f(a)<f?b?<f(b) ? ? ? ? 1 1 1 1 解析: C 因为函数 f(x)=x 在(0, 选 +∞)上是增函数, 0<a<b< < , f(a)<f(b)<f?b? 又 故 ? ? 2 b a 1 <f?a?. ? ? 4.已知 f(x)=x2+bx+c 且 f(-1)=f(3),则( 5 A.f(-3)<c<f?2? ? ? 5 C.f?2?<f(-3)<c ? ? ) )

5 B.f?2?<c<f(-3) ? ? 5 D.c<f?2?<f(-3) ? ?

解析:选 D 由已知可得二次函数图象关于直线 x=1 对称,则 f(-3)=f(5),c=f(0)= 5 f(2),二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有 f(-3)=f(5)>f?2?>f(2)=f(0)=c. ? ?

5.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取 值范围是( ) B.[2,+∞) D.[0,2]

A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞)

解析: D 二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减, a≠0, 选 则 f′(x)=2a(x -1)≤0,x∈[0,1], 所以 a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 6. 若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1, 一根小于 1, m 的取值范围是( 则 5 A.?-∞,-2? ? ? C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 5 B.?2,+∞? ? ? 5 D.?-2,+∞? ? ? )

解析:选 B 设 f(x)=x2-2mx+4,则题设条件等价于 f(1)<0,即 1-2m+4<0,解得 5 m> . 2 1 7.对于函数 y=x2,y=x 有下列说法: 2 ①两个函数都是幂函数; ②两个函数在第一象限内都单调递增; ③它们的图象关于直线 y=x 对称; ④两个函数都是偶函数; ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1); ⑥两个函数的图象都是抛物线型. 其中正确的有________. 解析:从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较. 答案:①②⑤⑥ 8. (2012· 北京西城二模)已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数, 则实数 b=________, 不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 解析:因为 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,所以 b=0,则 f(x)=x2+1,解不等式(x -1)2+1<x,即 x2-3x+2<0 得 1<x<2. 答案:0 {x|1<x<2}

9.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y2 的最小值为________. 1 解析:由 x≥0,y≥0,x=1-2y≥0 知 0≤y≤ , 2 令 t=2x+3y2=3y2-4y+2,

2 2 则 t=3?y-3?2+ . ? ? 3 1 1 3 在?0,2?上递减,当 y= 时,t 取到最小值,tmin= . ? ? 2 4 3 答案: 4 1 3 10.如果幂函数 f(x)=x- p2+p+ (p∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.求 p 2 2 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式. 解:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 1 3 ∴- p2+p+ >0,即 p2-2p-3<0. 2 2 ∴-1<p<3. 又∵f(x)是偶函数且 p∈Z, ∴p=1,故 f(x)=x2. 11.已知二次函数 f(x)的图象过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 解:(1)由题意可设 f(x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),得 a=2. 即 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (2)f(x)=2(x-1)2-8, 当 x∈[0,3]时,由二次函数图象知, f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0. (3)f(x)≥0 的解集为{x|x≤-1,或 x≥3}. 12.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m· 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. x 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,
? ? ? ?f?3?=5, ?9a-6a+2+b=5, ?a=1, 故? ?? ?? ?f?2?=2, ?4a-4a+2+b=2, ?b=0. ? ? ?

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,
?f?3?=2, ?9a-6a+2+b=2, ?a=-1, ? ? ? 故? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=5, ?4a-4a+2+b=5, ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调, ∴ 2+m m+2 ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 2 2

1 1.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=(x-1)2,若当 x∈?-2,-2?时,n≤f(x)≤m ? ? 恒成立,则 m-n 的最小值为( 1 A. 3 3 C. 4 ) 1 B. 2 D.1

解析:选 D 当 x<0 时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2, 1 ∵x∈?-2,-2?, ? ? ∴f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1. 2.(2012· 青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x) -g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点, 则称 f(x)和 g(x)在[a, b]上是“关联函数”, 区间[a, b]称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的 取值范围为________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不同 的零点.在同一坐标系下作出函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象 9 如图所示,结合图象可知,当 x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈?-4,-2?,故 ? ? 9 当 m∈?-4,-2?时,函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个 ? ? 交点. 9 答案:?-4,-2? ? ? 3.(2013· 滨州模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
? ?f?x?,x>0, (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2)+F(-2) ? ?-f?x?,x<0,

的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. b 解:(1)由已知得 c=1,a-b+c=0,- =-1, 2a

解得 a=1,b=2.则 f(x)=(x+1)2.
??x+1?2,x>0, ? 则 F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0.

故 F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. 1 (2)由题意得 f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,即 b≤ -x x 1 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立. x 1 1 又当 x∈(0,1]时, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2, x x 故-2≤b≤0.

1.比较下列各组中数值的大小. (1)30.8,30.7;(2)0.213,0.233; 2 2 3 (3)4.1 ,3.8- ,(-1.4) ;(4)0.20.5,0.40.3. 5 5 5 解:(1)函数 y=3x 是增函数,故 30.8>30.7. (2)y=x3 是增函数,故 0.213<0.233. 2 2 3 2 2 3 (3)4.1 >1,0<3.8- <1,而(-1.4) <0,故 4.1 >3.8- >(-1.4) . 5 5 5 5 5 5 (4)先比较 0.20.5 与 0.20.3,再比较 0.20.3 与 0.40.3,y=0.2x 是减函数,故 0.20.5<0.20.3;y= x0.3 在(0,+∞)上是增函数,故 0.20.3<0.40.3.则 0.20.5<0.40.3. 2.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

b 解析:选 D 当- <0 时,ab>0,从而 c>0,可排除 A,C; 2a b 当- >0 时,ab<0,从而 c<0,可排除 B,选 D. 2a 3.已知函数 f(x)=ax2-2x+1. (1)试讨论函数 f(x)的单调性;

1 (2)若 ≤a≤1,且 f(x)在[1,3]上的最大值为 M(a),最小值为 N(a),令 g(a)=M(a)-N(a), 3 求 g(a)的表达式; 1 (3)在(2)的条件下,求证:g(a)≥ . 2 解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-2x+1 在(-∞,+∞)上为减函数; 1 当 a>0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向上,对称轴为 x= , a 1 1 故函数 f(x)在?-∞,a?上为减函数,在?a,+∞?上为增函数; ? ? ? ? 1 当 a<0 时,抛物线 f(x)=ax2-2x+1 开口向下,对称轴为 x= , a 1 1 故函数 f(x)在?-∞,a?上为增函数,在?a,+∞?上为减函数. ? ? ? ? 1 1 (2)∵f(x)=a?x-a?2+1- , ? ? a 1 1 1 1 由 ≤a≤1 得 1≤ ≤3,∴N(a)=f?a?=1- . ? ? 3 a a 1 1 当 1≤ <2,即 <a≤1 时,M(a)=f(3)=9a-5, a 2 1 故 g(a)=9a+ -6; a 1 1 1 当 2≤ ≤3,即 ≤a≤ 时,M(a)=f(1)=a-1, a 3 2 1 故 g(a)=a+ -2. a

?a+a-2,a∈?3,2?, ? ? ∴g(a)=? 1 1 ?9a+a-6,a∈?2,1?. ? ?
1 1 1 1 1 1 (3)证明:当 a∈?3,2?时,g′(a)=1- 2<0, ? ? a 1 1 ∴函数 g(a)在?3,2?上为减函数; ? ? 1 1 当 a∈?2,1?时,g′(a)=9- 2>0, ? ? a 1 ∴函数 g(a)在?2,1?上为增函数, ? ? 1 1 1 ∴当 a= 时,g(a)取最小值,g(a)min=g?2?= . ? ? 2 2 1 故 g(a)≥ . 2


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