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2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2017 年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A={x|(x+4) (x+1)<0},集合 B={x|x<﹣2},则 A∩(?RB)等于( A. (﹣2,﹣1) 2. (5 分)复数 z= A.0 B.﹣1 C.1 B.[﹣2,4) C.[﹣2,﹣1) 的实部为( D.2 ) D.? )

3. (5 分)假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表: Y X x1 x2 总计 a c 60 10 30 40 a+10 c+30 100 ) y1 y2 总计

对同一样本,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.a=45,c=15 B.a=40,c=20 C.a=35,c=25 D.a=30,c=30 4. (5 分)“m>1“是“函数 f(x)=3x+m﹣3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

在区间[1,+∞)无零点”的(



5. (5 分)已知函数 f(x)=cos(ωx﹣ 象( )

) (ω>0)的最小正周期为 π,则函数 f(x)的图

A.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向左平移 B.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向右平移 C.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向左平移 D.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向右平移

个单位而得 个单位而得 个单位而得 个单位而得 )

6. (5 分)执行如图的程序框图,若输入 k 的值为 3,则输出 S 的值为(

1页

A.10 B.15 C.18 D.21 7. (5 分)已知 a>0,曲线 f(x)=2ax2﹣ 取最小值时 a 的值为( A. B. C.1 ) D.2 在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 k,则当 k

8. (5 分)若实数 x,y 满足不等式组

且 3(x﹣a)+2(y+1)的最大值为 5,则 a

等于(

) D.1 )

A.﹣2 B.﹣1 C.2

9. (5 分)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

A.6

B.9

C.12 D.18 cos =sin D.3 在区间 (0, 4) 内任取一个为 x, 则不等式 log2x﹣ (log 4x ﹣msin ,则实数 m 的值为( )

10. (5 分)若 tan A.2 B. C.2

11. (5 分) 已知 ( f x) =

2页

﹣1)f(log3x+1)≤ 的概率为( A. B. C. D.



12. (5 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M(x0,2 C 上一点,圆 M 与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 则|AF|等于( A. B.1 ) C.2 D.3

) (x0> )是抛物线 |MA|,若 =2,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知向量 =(3,m) , =(1,﹣2) ,若 ? = 2,则 m= 14. (5 分)已知双曲线 ﹣ .

=1(a>0,b>0)的左、右端点分别为 A、B 两点,点 C(0, .

b) ,若线段 AC 的垂直平分线过点 B,则双曲线的离心率为

15. (5 分)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设 △ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,面积为 S ,则 “ 三斜求积 ” 公式为 .若 a2sinC=4sinA, (a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得 △ABC 的面积为 . 的正方形,AA1=3,E 是 AA1 = .

16. (5 分)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 的中点,过 C1 作 C1F⊥平面 BDE 与平面 ABB1A1 交于点 F,则

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)在数列{an}中,a2= . (1)若数列{an}满足 2an﹣an+1=0,求 an; (2)若 a4= ,且数列{(2n﹣1)an+1}是等差数列,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞 赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统 计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下 列问题:
3页

频率分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 8 a 20 ▓ 2 ▓ 频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

(1)写出 a,b,x,y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广 场参加环保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

19. (12 分)在如图所示的几何体中,四边形 BB1C1C 是矩形,BB1⊥平面 ABC,A1B1∥AB, AB=2A1B1,E 是 AC 的中点. (1)求证:A1E∥平面 BB1C1C; (2)若 AC=BC,AB=2BB1,求证:平面 BEA1⊥平面 AA1C1.

20. (12 分)已知右焦点为 F(c,0)的椭圆 M: 过坐标原点. (1)求椭圆 M 的方程;
4页

=1(a>0)关于直线 x=c 对称的图形

(2)过点(4,0)且不垂直于 y 轴的直线与椭圆 M 交于 P,Q 两点,点 Q 关于 x 轴的对称原 点为 E,证明:直线 PE 与 x 轴的交点为 F. 21. (12 分)已知 f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],g(x)= ,其中 e 是自然常数,a∈R.

(1)当 a=1 时,求 f(x)的极值,并证明 f(x)>g(x)+ 恒成立; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理 由.

[坐标系与参数方程] 22. (10 分)在极坐标系中,已知三点 O(0,0) ,A(2, (1)求经过 O,A,B 的圆 C1 的极坐标方程; (2)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2 的参数方程为 (θ 是参数) ,若圆 C1 与圆 C2 外切,求实数 a 的值. ) ,B(2 , ) .

[不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|. (1)求不等式 f(x)>1 解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+4≥|1﹣2m|有解,求实数 m 的取值范围.

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2017 年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2017?湘西州一模)若集合 A={x|(x+4) (x+1)<0},集合 B={x|x<﹣2},则 A ∩(?RB)等于( A. (﹣2,﹣1) ) B.[﹣2,4) C.[﹣2,﹣1) D.?

【分析】求出集合 A,集合 B 的补集,从而求出其和 A 的交集即可. 【解答】解:A={x|(x+4) (x+1)<0}=(﹣4,﹣1) , ∵集合 B={x|x<﹣2}=(﹣∞,﹣2) ∴?RB=[﹣2,+∞) , ∴A∩(?RB)=[﹣2,﹣1) , 故选:C. 【点评】本题考查了集合的运算,考查不等式问题,是一道基础题.

2. (5 分) (2017?邵阳二模)复数 z= A.0 B.﹣1 C.1 D.2

的实部为(



【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案. 【解答】解:∵z= = ,

∴复数 z= 故选:B.

的实部为:﹣1.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3. (5 分) (2017?邵阳二模)假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表: Y y1
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y2

总计

X x1 x2 总计 a c 60 10 30 40 a+10 c+30 100 )

对同一样本,以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.a=45,c=15 B.a=40,c=20 C.a=35,c=25 D.a=30,c=30 【分析】根据题意,a、c 相差越大, 由此得出 X 与 Y 有关系的可能性越大. 【解答】解:根据 2×2 列联表与独立性检验的应用问题, 当 与 相差越大,X 与 Y 有关系的可能性越大; 与 相差越大; 与 相差就越大,

即 a、c 相差越大, 故选:A.

【点评】本题考查了独立性检验的应用问题,是基础题目.

4. (5 分) (2017?湘西州一模)“m>1“是“函数 f(x)=3x+m﹣3 ( )

在区间[1,+∞)无零点”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 在区间[1,+∞)无零点,得到 m> ,再根据充分条件和

【分析】由“函数 f(x)=3x+m﹣3 必要的条件的定义即可判断. 【解答】解:函数 f(x)=3x+m﹣3 则 3x+m>3 ,

在区间[1,+∞)无零点,

即 m+1> , 解得 m> , 故“m>1“是“函数 f(x)=3x+m﹣3 故选:A 【点评】主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,属于基础题. 在区间[1,+∞)无零点的充分不必要条件,

5. (5 分) (2017?邵阳二模)已知函数 f(x)=cos(ωx﹣
7页

) (ω>0)的最小正周期为 π,

则函数 f(x)的图象(

) 个单位而得 个单位而得 个单位而得 个单位而得

A.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向左平移 B.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向右平移 C.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向左平移 D.可由函数 g(x)=cos2x 的图象向右平移

【分析】根据函数 f(x)的最小正周期为 π,求出解析式,在利用三角函数的平移变换考查 也选项即可. 【解答】解:函数 f(x)=cos(ωx﹣ 即 T= ∴ω=2, 则 f(x)=cos(2x﹣ 故选:D. 【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用.属于基础题. )的图象可有函数 g(x)=cos2x 的图象向右平移 个单位而得. , ) (ω>0)的最小正周期为 π,

6. (5 分) (2017?邵阳二模) 执行如图的程序框图, 若输入 k 的值为 3, 则输出 S 的值为 (



A.10 B.15 C.18 D.21 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,S 的值,当 n=5,S=15 时,不满足 条件 S<kn=15,退出循环,输出 S 的值为 15,即可得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 k=3,n=1,S=1
8页

满足条件 S<kn,执行循环体,n=2,S=3 满足条件 S<kn,执行循环体,n=3,S=6 满足条件 S<kn,执行循环体,n=4,S=10 满足条件 S<kn,执行循环体,n=5,S=15 此时,不满足条件 S<kn=15,退出循环,输出 S 的值为 15. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属 于基础题.

7. (5 分) (2017?湘西州一模)已知 a>0,曲线 f(x)=2ax2﹣ 的斜率为 k,则当 k 取最小值时 a 的值为( A. B. C.1 D.2 )

在点(1,f(1) )处的切线

【分析】求出 f(x)的导数,求得 x=1 处的切线的斜率,再由基本不等式,可得斜率的最小 值,求出满足的条件,解方程可得 a 的值. 【解答】解:f(x)=2ax2﹣ 的导数为 f′(x)=4ax+ ,

可得在点(1,f(1) )处的切线的斜率为 k=4a+ , 由 a>0,可得 4a+ ≥2 =4,

当且仅当 4a= ,即 a= 时,k 取最小值. 故选:A. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查最值的求法,注意运用基本不等式,考 查运算能力,属于中档题.

8. (5 分) (2017?邵阳二模)若实数 x,y 满足不等式组

且 3(x﹣a)+2(y+1)的

最大值为 5,则 a 等于( A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1



【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,在可行域中找出最优点,然后 求解即可.
9页

【解答】解:实数 x,y 满足不等式组

,不是的可行域如图:

3(x﹣a)+2(y+1)=3x+2y+2﹣3a 的最大值为:5,由可行域可知 z=3x+2y+2﹣3a,经过 A 时, z 取得最大值, 由 解得 a=2. 故选:C. ,可得 A(1,3)可得 3+6+2﹣3a=5,

【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查目标函数的最值的求法,考查数形结合以及转 化思想的应用.

9. (5 分) (2017?邵阳二模)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(



A.6

B.9

C.12 D.18

【分析】根据几何体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体, 结合图中数据求出它的体积即可. 【解答】解:根据几何体的三视图知, 该几何体是上部为长方体,下部为三棱柱的组合体,
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画出几何体的直观图如图所示, 根据图中数据,计算其体积为 V 组合体=V 三棱柱+V 长方体 = .

故选:C. 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,也考查了空间想象能力和体积公式的应 用问题,是基础题.

10. (5 分) (2017?邵阳二模)若 tan A.2 B. C.2 D.3

cos

=sin

﹣msin

,则实数 m 的值为(



【分析】利用“切化弦”的思想,在结合二倍角即可求解. 【解答】解:由 tan 可得:sin ?sin ?sin2 ? ∴m= 故选:A. 【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和“切化弦”的思想,二倍角公式的应用,属于 基本知识的考查. cos cos =cos sin =sin ﹣msin ﹣msin sin( cos , , cos ,

cos( =cos2

)=cos ﹣ sin , ,

)﹣msin

11. (5 分) (2017?邵阳二模)已知 f(x)= 不等式 log2x﹣(log

在区间(0,4)内任取一个为 x,则 )

4x﹣1)f(log3x+1)≤ 的概率为(

11 页

A.

B.

C.

D. 4x﹣1)f(log3x+1)≤ 的解集,再以长度为测度,即

【分析】先求出不等式 log2x﹣(log 可得出结论.

【解答】解:由题意,log3x+1≥1 且 log2x﹣(log

4x﹣1)≤ ,或 0<log3x+1<1 且 log2x+2

(log

4x﹣1)≤ ,

解得 1≤x≤2 或 <x<1, ∴原不等式的解集为( ,2].

则所求概率为 故选:B.

=



【点评】本题考查概率的计算,考查学生的计算能力,正确求出不等式的解集是关键.

12. (5 分) (2017?湘西州一模)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M(x0,2



(x0> )是抛物线 C 上一点,圆 M 与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,若 A. B.1 =2,则|AF|等于( C.2 D.3 )

【分析】由题意,|MF|=x0+ .利用圆 M 与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长 为 |MA|,可得|MA|=2(x0﹣ ) ,利用 =2,求出 x0,p,即可求出|AF|.

【解答】解:由题意,|MF|=x0+ . ∵圆 M 与线段 MF 相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 ∴|MA|=2(x0﹣ ) , ∵ =2, |MA|,

∴|MF|= |MA|, ∴x0=p,
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∴2p2=8,∴p=2, ∴|AF|=1. 故选 B. 【点评】本题考查抛物线的方程与定义,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于中档题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2017?湘西州一模)已知向量 =(3,m) , =(1,﹣2) ,若 ? = 2,则 m= ﹣ 1 .

【分析】利用两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算法则,求得 m 的值. 【解答】解:∵向量 =(3,m) , =(1,﹣2) ,若 ? = 2,则 3﹣2m=5, ∴m=﹣1, 故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算法则,属于基础题.

14. (5 分) (2017?邵阳二模)已知双曲线 B 两点,点 C(0,



=1(a>0,b>0)的左、右端点分别为 A、 .

b) ,若线段 AC 的垂直平分线过点 B,则双曲线的离心率为 b=

【分析】运用平面几何的性质可得△ABC 为等边三角形,则 和离心率公式,计算即可得到所求值.

?2a,由 a,b,c 的关系

【解答】解:由线段 AC 的垂直平分线过点 B,结合对称性可得△ABC 为等边三角形, 则 b= ?2a, a, = , . = a,

即 b= c= 则 e= =

故答案为:

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用平面几何的性质,以及双曲线的基本量 的关系,考查运算能力,属于基础题.
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15. (5 分) (2017?邵阳二模)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积 的“三斜公式”,设△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,面积为 S,则“三斜求积” 公式为 式求得△ABC 的面积为 . .若 a2sinC=4sinA, (a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公

【分析】由已知利用正弦定理可求 ac 的值,可求 a2+c2﹣b2=4,代入“三斜求积”公式即可计算 得解. 【解答】解:根据正弦定理:由 a2sinC=4sinA,可得:ac=4, 由于(a+c)2=12+b2,可得:a2+c2﹣b2=4, 可得: 故答案为: . = = .

【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.

16. (5 分) (2017?湘西州一模)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 形,AA1=3,E 是 AA1 的中点,过 C1 作 C1F⊥平面 BDE 与平面 ABB1A1 交于点 F,则 【分析】连结 AC、BD,交于点 O,当 C1F 与 EO 垂直时,C1F⊥平面 BDE, 从而 F∈AA1,△C1A1F∽△EAO,由此能求出 【解答】解:连结 AC、BD,交于点 O, ∵四边形 ABCD 是正方形,AA1⊥底面 ABCD, ∴BD⊥平面 ACC1A1, 则当 C1F 与 EO 垂直时,C1F⊥平面 BDE, ∵F∈平面 ABB1A1,∴F∈AA1, 在矩形 ACC1A1 中,△C1A1F∽△EAO, 则 = , AB=2,AE= ,AA1=3, = .
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的正方 = .

的值.

∵A1C1=2AO=

∴A1F= ,∴AF= ,∴

故答案为:

【点评】本题考查两线段的比值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力 的培养.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分) (2017?湘西州一模)在数列{an}中,a2= . (1)若数列{an}满足 2an﹣an+1=0,求 an; (2)若 a4= ,且数列{(2n﹣1)an+1}是等差数列,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

【分析】 (1)由 a2= ,2an﹣an+1=0,求出数列{an}的首项,并得到数列{an}是以 为首项,以 2 为公比的等比数列,由等比数列的通项公式得答案; (2)由已知结合数列{(2n﹣1)an+1}是等差数列求其公差,进一步得到数列{(2n﹣1)an+1} 的通项公式,代入{ },再由等差数列的前 n 项和得答案. ,且 .

【解答】解: (1)由 a2= ,2an﹣an+1=0,得

∴数列{an}是以 为首项,以 2 为公比的等比数列, 则 ;

(2)∵a2= ,a4= ,且数列{(2n﹣1)an+1}是等差数列,

则数列{(2n﹣1)an+1}的公差为 d= ∴(2n﹣1)an+1=(2×2﹣1)× +1+(n﹣2)×1=n+1,
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=1.

∴ 则 =

, .

∴Tn=1+3+5+…+(2n﹣1)=



【点评】本题考查数列递推式,考查了等比数列通项公式的求法,考查等差数列的通项公式, 属中档题.

18. (12 分) (2017?湘西州一模)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞 赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 (如图所示)解决下列问题: 频率分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 8 a 20 ▓ 2 ▓ 频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

(1)写出 a,b,x,y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广 场参加环保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

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【分析】 (1)利用频率分布表和频率分布直方图,由题意能求出 a,b,x,y 的值. (2 ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A,B,C,D,第 5 组共有 2 人,记为 X,Y.从 竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学,有 15 种情况由此能求出随机 抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率. (ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,XY 共 7 种情况,由此能求出随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意可知,a=16,b=0.04,x=0.032,y=0.004.…(4 分) (2 ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A,B,C,D,第 5 组共有 2 人,记为 X,Y. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学, 有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY,共 15 种情况.… (6 分) 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E,…(7 分) 有 AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY 共 9 种情况. …(8 分) = .

所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P(E)=

答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率 .…(10 分) (ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,XY 共 7 种情况.…(11 分) 所以 P(F)= . .…(13 分)

答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是

【点评】本题考查概率的求法,解题时要认真审题,注意频率分布直方图和穷举法的合理运 用.
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19. (12 分) (2017?湘西州一模)在如图所示的几何体中,四边形 BB1C1C 是矩形,BB1⊥平面 ABC,A1B1∥AB,AB=2A1B1,E 是 AC 的中点. (1)求证:A1E∥平面 BB1C1C; (2)若 AC=BC,AB=2BB1,求证:平面 BEA1⊥平面 AA1C1.

【分析】 (1)取 AB 的中点 F,连结 EF,A1F.则可通过证明平面 A1EF∥平面 BB1C1C 得出 A1E ∥平面 BB1C1C; (2)连结 CF,则可得出 CF∥A1C1,通过证明 CF⊥平面平面 ABB1A1 得到 CF⊥A1B.即 A1C1⊥ A1B, 利用勾股定理的逆定理得出 AA1⊥A1B, 于是 A1B⊥平面 AA1C1, 从而平面 BEA1⊥平面 AA1C1. 【解答】证明: (1)取 AB 的中点 F,连结 EF,A1F. ∵AB=2A1B1,∴BF=A1B1, 又 A1B1∥AB,∴四边形 A1FBB1 是平行四边形, ∴A1F∥BB1, ∵E,F 分别 AC,AB 的中点, ∴EF∥BC, 又 EF? 平面 A1EF,A1F? 平面 A1EF,EF∩A1F=F,BC? 平面 BB1C1C,BB1? 平面 BB1C1C,BC∩ BB1=B, ∴平面 A1EF∥平面 BB1C1C. 又 A1E? 平面 A1EF, ∴A1E∥平面 BB1C1C. (2)连结 CF, ∵BB1⊥平面 ABC,∴BB1⊥BF,BB1⊥CF, ∵AC=BC,F 是 AB 的中点,∴CF⊥AB, 又 AB? 平面 ABB1A1,BB1? 平面 ABB1A1,AB∩BB1=B, ∴CF⊥平面 ABB1A1,又 A1B? 平面 ABB1A1, ∴CF⊥A1B. ∴四边形 A1FBB1 是矩形,又四边形 BB1C1C 是矩形, ∴A1F BB1 CC1,
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∴四边形 A1FCC1 是平行四边形,∴A1C1∥CF. ∴A1C1⊥A1B. ∵AB=2A1B1=2BB1, ∴AF=BF=A1F,又 AF1⊥AB, ∴△ABA1 是等腰直角三角形,即 AA1⊥A1B, 又 AA1? 平面 AA1C1,A1C1? 平面 AA1C1,AA1∩A1C=A1, ∴A1B⊥平面 AA1C1,又 A1B? 平面 BEA1, ∴平面 BEA1⊥平面 AA1C1.

【点评】本题考查了线面平行,面面垂直的判定,线面垂直的性质,属于中档题.

20. (12 分) (2017?湘西州一模)已知右焦点为 F(c,0)的椭圆 M: 于直线 x=c 对称的图形过坐标原点. (1)求椭圆 M 的方程;

=1(a>0)关

(2)过点(4,0)且不垂直于 y 轴的直线与椭圆 M 交于 P,Q 两点,点 Q 关于 x 轴的对称原 点为 E,证明:直线 PE 与 x 轴的交点为 F. 【分析】 (1)由题意可得:a=2c,又 a2=3+c2,解得 a2 即可得出椭圆 M 的方程. (2)设直线 PQ 的方程为:y=k(x﹣4) (k≠0) ,代入椭圆方程可得: (3+4k2)x2﹣32k2x+64k2 ﹣12=0,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,E(x2,﹣y2) ,直线 PE 的方程为:y﹣y1= (x﹣

x1) ,令 y=0,可得 x=﹣y1

+x1,把根与系数的关系代入即可证明.

【解答】 (1)解:由题意可得:a=2c,又 a2=3+c2,解得 a2=4.∴椭圆 M 的方程为:

=1.

(2 ) 证明: 设直线 PQ 的方程为: y=k (x﹣4) (k≠0) , 代入椭圆方程可得: (3+4k2) x2﹣32k2x+64k2 ﹣12=0, 由△=(﹣32k2)2﹣4(3+4k2) (64k2﹣12)>0,解得 k∈ .设 P(x1,y1) ,Q(x2,

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y2) ,E(x2,﹣y2) ,∴x1+x2= ( x ﹣ x1 )

,x1,?x2= , 令 y=0

,则直线 PE 的方程为:y﹣y1= , 可 得 x= ﹣

y1

+x1=

=

=

=1,

∴直线 PE 与 x 轴的交点为 F(1,0) . 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与 系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (12 分) (2017?湘西州一模)已知 f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],g(x)= 自然常数,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的极值,并证明 f(x)>g(x)+ 恒成立;

,其中 e 是

(2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理 由. 【分析】 (1)求出函数 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出 f (x)的极小值,令 h(x)=g(x)+ = + ,求出 h(x)的最大值,从而证出结论即可;

(2)求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数 f(x)的最小值,求出 a 的值即 可. 【解答】解: (1)证明:∵f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ = ∴当 0<x<1 时,f′(x)<0,此时 f(x)递减, 当 1<x<e 时,f′(x)>0,此时,f(x)递增, ∴f(x)的极小值是 f(1)=1, 即 f(x)在(0,e]上的最小值是 1, 令 h(x)=g(x)+ = + ,h′(x)= , ,

当 0<x<e 时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上递增, ∴h(x)max=h(e)= + <1=f(x)min, ∴f(x)>g(x)+ 恒成立,
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(2)解:假设存在实数 a,使得 f(x)=ax﹣lnx, (x∈(0,e])有最小值 3, f′(x)=a﹣ = ,

①a≤0 时,f(x)在(0,e]递减,f(x)min=f(e)=ae﹣1=3,解得:a= , ∴a≤0 时,不存在 a 使得 f(x)的最小值是 3; ②0< <e 时,f(x)在(0, )递减,在( ,e]递增, ∴f(x)min=f( )=1+lna=3,a=e2,满足条件; ③ ≥e 时,f(x)在(0,e]递减,f(x)min=f(e)=ae﹣1=3,a= (舍) , ∴ ≥e 时,不存在 a 使得 f(x)的最小值是 3; 综上,存在实数 a=e2,使得当 x∈(0,e]时,f(x)有最小值 3. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思 想,是一道综合题.

[坐标系与参数方程] 22. (10 分) (2017?湖北模拟)在极坐标系中,已知三点 O(0,0) ,A(2, ) . (1)求经过 O,A,B 的圆 C1 的极坐标方程; (2)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2 的参数方程为 (θ 是参数) ,若圆 C1 与圆 C2 外切,求实数 a 的值. 【分析】 (1)求出圆 C1 的普通方程,再将普通方程转化为极坐标方程; (2)将圆 C2 化成普通方程,根据两圆外切列出方程解出 a. 【解答】解: (1)将 O,A,B 三点化成普通坐标为 O(0,0) ,A(0,2) ,B(2,2) . ∴圆 C1 的圆心为(1,1) ,半径为 , ) ,B(2 ,

∴圆 C1 的普通方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2, 将 ∴ρ=2 sin( 代入普通方程得 ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0, ) . (θ 是参数) ,

(2)∵圆 C2 的参数方程为

∴圆 C2 的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圆 C2 的圆心为(﹣1,﹣1) ,半径为|a|,
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∵圆 C1 与圆 C2 外切,∴2

=

+|a|,解得 a=±



【点评】本题考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化,属于基础题.

[不等式选讲] 23. (2017?邵阳二模)设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|. (1)求不等式 f(x)>1 解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+4≥|1﹣2m|有解,求实数 m 的取值范围. 【分析】 (1)由条件利用绝对值的意义求得不等式 f(x)>1 解集. (2)根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等 于|1﹣m|,再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值,从而求得 m 的范围. 【解答】解: (1)函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的 x 对应点到﹣2 对应点的距离减去 它到 1 对应点的距离, 而 0 对应点到﹣2 对应点的距离减去它到 1 对应点的距离正好等于 1, 故不等式 f(x)>1 解集为{x|x>0}. (2)若关于 x 的不等式 f(x)+4≥|1﹣2m|有解, 即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解,故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|. 利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为 3+4=7, ∴|1﹣m|≤7,故﹣7≤m﹣1≤7,求得﹣6≤m≤8, m 的范围为[﹣6,8]. 【点评】本题主要考查绝对值的意义,函数的能成立问题,属于中档题.

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