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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系习题课课时作业 新人教A版必修2


习题课

直线、平面平行与垂直

【课时目标】 1. 能熟练应用直线、 平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明. 2. 进 一步体会化归思想在证明中的应用.

a、b、c 表示直线,α 、β 、γ 表示平面.
位置关系 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面垂直 平面与平面垂直 判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言)

a∥b 且________? a∥α a∥α , b∥α , 且________________
? α ∥β l⊥a,l⊥b,且________________ ? l⊥α a⊥α , ? α ⊥β

a∥α ,________________? a∥b
α ∥β ,________________? a∥b

a⊥α ,b⊥α ? ________
α ⊥β , α ∩β =a, ____________ ? b⊥β

一、选择题 1.不同直线 M、n 和不同平面 α 、β .给出下列命题: ① ③ α ∥β ? ?

m? α m? α ? ?

?? M∥β ; ? ?

② ④

m∥n ? ?
? m∥β ?

?? n∥β ;

?? M,n 异面; ? n? β ?

α ⊥β ? ? ?? M⊥β . ? m∥α ?

其中假命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中:(1)平行于同一直线的两个平面平行;(2)平行于同一平面的两个平面 平行;(3)垂直于同一直线的两直线平行;(4)垂直于同一平面的两直线平行.其中正确命题 的个数有( ) A.4 B.1 C.2 D.3 3.若 a、b 表示直线,α 表示平面,下列命题中正确的个数为( ) ①a⊥α ,b∥α ? a⊥b;②a⊥α ,a⊥b? b∥α ; ③a∥α ,a⊥b? b⊥α . A.1 B.2 C.3 D.0 4.过平面外一点 P:①存在无数条直线与平面 α 平行;②存在无数条直线与平面 α 垂直;③有且只有一条直线与平面 α 平行;④有且只有一条直线与平面 α 垂直,其中真命 题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总是 保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C
1

B.线段 BC1 C.BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 D.BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段 6.已知三条相交于一点的线段 PA、PB、PC 两两垂直,点 P 在平面 ABC 外,PH⊥面 ABC 于 H,则垂足 H 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 二、填空题 7.三棱锥 D-ABC 的三个侧面分别与底面全等,且 AB=AC= 3,BC=2,则二面角 A- BC-D 的大小为________. 8.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”, 在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个 数是________. 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个 面上的射影可能是________.(填序号)

三、解答题 10.如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,求证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA.

11.如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B.
2

(1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD,求

A1D 的值. DC1

能力提升 12.四棱锥 P—ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 A,其三视图如图: (1)根据图中的信息,在四棱锥 P—ABCD 的侧面、底面和棱中,请把符合要求的结论填 写在空格处(每空只要求填一种): ①一对互相垂直的异面直线________; ②一对互相垂直的平面________; ③一对互相垂直的直线和平面________; (2)四棱锥 P—ABCD 的表面积为________.

13.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB, ∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B-DEF 的体积.

3

转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为

即利用线线平行(垂直),证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直);反过来,又利用 面面平行(垂直),证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直),甚至平行与垂直之间的转 化.这样,来来往往,就如同运用“四渡赤水”的战略战术,达到了出奇制胜的目的.

习题课 直线、平面平行与垂直

答案

知识梳理 a?α ,b? α a? β ,α ∩β =b a? β ,b? β ,a∩b=P α ∩γ =a,β ∩γ =b a? α ,b? α ,a∩b=P a∥b a? β b⊥a,b? α 作业设计 1.D [命题①正确,面面平行的性质;命题②不正确,也可能 n? β ;命题③不正确, 如果 m、n 有一条是 α 、β 的交线,则 m、n 共面;命题④不正确,m 与 β 的关系不确定.] 2.C [(2)和(4)对.] 3.A [①正确.] 4.B [①④正确.] 5.A [

连接 AC,AB1,B1C, ∵BD⊥AC,AC⊥DD1, BD∩DD1=D, ∴AC⊥面 BDD1,∴AC⊥BD1, 同理可证 BD1⊥B1C, ∴BD1⊥面 AB1C. ∴P∈B1C 时,始终 AP⊥BD1,选 A.] 6.C [

如图所示,由已知可得 PA⊥面 PBC,PA⊥BC,又 PH⊥BC, ∴BC⊥面 APH,BC⊥AH. 同理证得 CH⊥AB,∴H 为垂心.]
4

7.90° 解析

由题意画出图形,数据如图,取 BC 的中点 E, 连接 AE、DE,易知∠AED 为二面角 A—BC—D 的平面角. 2 2 2 可求得 AE=DE= 2,由此得 AE +DE =AD . 故∠AED=90°. 8.36 解析 正方体的一条棱长对应着 2 个“正交线面对”, 12 条棱长共对应着 24 个“正交 线面对”;正方体的一条面对角线对应着 1 个“正交线面对”,12 条面对角线对应着 12 个 “正交线面对”,共有 36 个. 9.①④ 10.证明 (1)如图所示, 取 EC 的中点 F,连接 DF,∵EC⊥平面 ABC, ∴EC⊥BC,又由已知得 DF∥BC,∴DF⊥EC.

在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中, 1 ∵EF= EC=BD, 2 FD=BC=AB, ∴Rt△EFD≌Rt△DBA, 故 ED=DA. 1 (2)取 CA 的中点 N,连接 MN、BN,则 MN 綊 EC, 2 ∴MN∥BD,∴N 在平面 BDM 内, ∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BN.又 CA⊥BN, ∴BN⊥平面 ECA,BN? 平面 MNBD, ∴平面 MNBD⊥平面 ECA. 即平面 BDM⊥平面 ECA. 1 1 (3)∵BD 綊 EC,MN 綊 EC, 2 2 ∴BD 綊 MN, ∴MNBD 为平行四边形, ∴DM∥BN,∵BN⊥平面 ECA, ∴DM⊥平面 ECA,又 DM? 平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA. 11.(1)证明 因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1.

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又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1.又 B1C? 平面 AB1C,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2)解 设 BC1 交 B1C 于点 E,连接 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线. 因为 A1B∥平面 B1CD,所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点, A1D 即 =1. DC1 12. (1)①PA⊥BC(或 PA⊥CD 或 AB⊥PD) ②平面 PAB⊥平面 ABCD(或平面 PAD⊥平面 ABCD 或平面 PAB⊥平面 PAD 或平面 PCD⊥平面 PAD 或平面 PBC⊥平面 PAB) ③PA⊥平面 ABCD(或 AB⊥平面 PAD 或 CD⊥平面 PAD 或 AD⊥平面 PAB 或 BC⊥平面 PAB) 2 2 (2)2a + 2a 2 解析 (2)依题意:正方形的面积是 a , 1 2 S△PAB=S△PAD= a . 2 又 PB=PD= 2a,∴S△PBC=S△PCD= 2 2 a. 2
2 2

所以四棱锥 P—ABCD 的表面积是 S=2a + 2a . 13.

(1)证明 如图,设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点.连接 EG,GH,由于 H 为 BC 的中点, 1 故 GH 綊 AB. 2 1 又 EF 綊 AB,∴EF 綊 GH.∴四边形 EFHG 为平行四边形.∴EG∥FH.而 EG? 平面 EDB, 2 FH?平面 EDB, ∴FH∥平面 EDB. (2)证明 由四边形 ABCD 为正方形,得 AB⊥BC. 又 EF∥AB,∴EF⊥BC. 而 EF⊥FB,∴EF⊥平面 BFC. ∴EF⊥FH.∴AB⊥FH. 又 BF=FC,H 为 BC 的中点,∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD.∴FH⊥AC. 又 FH∥EG,∴AC⊥EG.又 AC⊥BD,EG∩BD=G, ∴AC⊥平面 EDB. (3)解 ∵EF⊥FB,∠BFC=90°∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 B-DEF 的高. 又 BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 1 1 1 VB-DEF= × ×1× 2× 2= . 3 2 3

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