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【高考领航】2014届高考一轮复习(数学文)习题: 第九章 概率9-2 Word版含解析


【A 级】

基础训练

1.下课后教室里最后还剩下 2 位男同学和 2 位女同学,如果没有 2 位同学一块走,则第二位 走的是男同学的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 1 D. 5

解析:每个同学均可能在第二位走,故共有 4 种情况,而男同学有 2 个,故所求概率为 P 2 1 = = ,故选

A. 4 2 答案:A 2.(2013· 温州模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺 年卡送给同一人的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 1 D. 5

解析:(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁,乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送 给丁)共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种,所以选 A. 答案:A 3. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a, 从{1,2,3}中随机选取一个数为 b, b>a 的概率是( 则 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5 )

解析:从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有 5 种选法,从{1,2,3}中随机选取一个数有 3 种选 法,由分步计数原理知共有 5×3=15 种选法.而满足 b>a 的选法有:当 b=3 时,a 有 2 种, b=2 时, 有 1 种, 当 a 共有 2+1=3 种选法. 由古典概型知 b>a 的概率 P= 故选 D. 答案:D 4.(2013· 武汉模拟)任取一正整数,则该数平方的末位数是 1 的概率为________. 解析:正整数的个位数字是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的一个,而要使平方后末位数是 1,则该 正整数的个位数只能是 1 和 9 中的一个,故所求概率为 答案: 1 5 2 1 = . 10 5 3 1 = , 15 5

5.(2013· 南京模拟)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随机取一个元 素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9 内部的概率为________. 解析: 由题意得到的 P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共 6 个,在圆 2 1 x2+y2=9 的内部的点有(2,1),(2,2),所以概率为 = . 6 3 答案: 1 3

6.电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任 一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为________. 解析:一天显示的时间总共有 24×60=1 440 种,和为 23 总共有 4 种:19:58,18:59,19: 1 49,09:59,故所求概率为 . 360 答案: 1 360

7.(2013· 北京朝阳二模)高三年级进行模拟考试,某班参加考试的 40 名同学的成绩统计如下: 分数段 人数 [70,90) 5 [90,100) a [100,120) 15 [120,150] b

规定分数在 90 分及以上为及格,120 分及以上为优秀,成绩高于 85 分低于 90 分的同学 为希望生.已知该班希望生有 2 名. (1)从该班所有学生中任选一名,求其成绩及格的概率; (2)当 a=11 时,从该班所有学生中任选一名,求其成绩优秀的概率; (3)从分数在(70,90)的 5 名学生中,任选 2 名同学参加辅导,求其中恰有 1 名希望生的概 率. 解:(1)设“从该班所有学生中任选一名,其成绩及格”为事件 A,则 P(A)= 7 所以从该班所有学生中任选一名,其成绩及格的概率为 . 8 (2)设“从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀”为事件 B,则当 a=11 时,成绩优秀 的学生人数为 40-5-11-15=9,所以 P(B)= 9 . 40 40-5 7 = . 40 8

9 所以当 a=11 时,从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀的概率为 . 40 (3)设“从分数在(70,90)的 5 名学生中,任选 2 名同学参加辅导,其中恰有 1 名希望生” 为事件 C. 记这 5 名学生分别为 a,b,c,d,e,其中希望生为 a,b. 从中任选 2 名,所有可能的情况为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共 10 种. 其中恰有 1 名希望生的情况有 ac,ad,ae,bc,bd,be,共 6 种.

所以 P(C)=

6 3 = . 10 5

所以从分数在(70,90)的 5 名学生中,任选 2 名同学参加辅导,其中恰有 1 名希望生的概 3 率为 . 5 8.(2011· 高考福建卷)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5. 现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X f 1 A 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1,y2.现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取 出的可能性相同), 写出所有可能的结果, 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 解:(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,即 a+b+c=0.35. 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= 所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,x3},{x1, y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}. 记事件 A 表示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含 的基本事件为:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共 4 个. 又基本事件的总数为 10, 故所求的概率 P(A)= 4 =0.4. 10 【B 级】 能力提升 3 =0.15, 20

2 =0.1,从而 a=0.35-b-c=0.1. 20

1.有 4 条线段,长度分别为 1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个 三角形的概率是( 1 A. 4 1 C. 2 ) 1 B. 3 2 D. 5

解析:从四条线段中任取三条,基本事件有(1,3,5),(1,5,7),(1,3,7),(3,5,7),共 4 种,能 构成三角形的只有(3,5,7)这一个基本事件, 故由概率公式得所取三条线段能构成三角形的 1 概率 P= . 4

答案:A 2.(2013· 德州模拟)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、 5、6),骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则满足 log2xy=1 的概率为( 1 A. 6 1 C. 12 5 B. 36 1 D. 2 )

解析: log2xy=1 得 2x=y.又 x∈{1,2,3,4,5,6}, 由 y∈{1,2,3,4,5,6}, 所以满足题意的有 x=1, 3 1 y=2 或 x=2,y=4 或 x=3,y=6,共 3 种情况,所以所求的概率为 = ,故选 C. 36 12 答案:C 3.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上的 一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事 件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( A.3 C.2 和 5 B.4 D.3 和 4 )

解析:事件 Cn 的总事件数为 6.只要求出当 n=2,3,4,5 时的基本事件个数即可. 当 n=2 时,落在直线 x+y=2 上的点为(1,1); 当 n=3 时,落在直线 x+y=3 上的点为(1,2)、(2,1); 当 n=4 时,落在直线 x+y=4 上的点为(1,3)、(2,2); 当 n=5 时,落在直线 x+y=5 上的点为(2,3). 1 显然当 n=3,4 时,事件 Cn 的概率最大,为 . 3 答案:D 4.(2011· 高考江苏卷)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两 倍的概率是________. 解析: 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数, 从 共有(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)6 个基本事件,其中一个数是另一个的两倍的有(1,2),(2,4)2 个基本事件,所以其中一个数 2 1 是另一个的两倍的概率是 = . 6 3 答案: 1 3

5.(2012· 高考浙江卷)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则 该两点间的距离为 2 的概率是________. 2

解析:本题可先画出图形,结合图形利用古典概型的概率公式求解. 如图,在正方形 ABCD 中,O 为中心,∵正方形的边长为 1,∴两点距

离为

2 4 2 的情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4 种,故 P= = . 2 10 5 2 5


答案:

6.(创新题)an=6n-4(n=1,2,3,4,5,6)构成集合 A,bn=2n 1(n=1,2,3,4,5,6)构成集合 B,任取 x ∈A∪B,则 x∈A∩B 的概率是________. 解:由题意知 A={2,8,14,20,26,32}. B={1,2,4,8,16,32}. 则 A∪B={1,2,4,8,14,16,20,26,32}, A∩B={2,8,32}. 3 1 即 A∪B 中含有 9 个元素,A∩B 中含有 3 个元素,所以所求概率是 = . 9 3 答案: 1 3

7.(创新题)已知集合 A={-2,0,2},B={-1,1}. (1)若 M={(x,y)|x∈A,y∈B},用列举法表示集合 M; (2)在(1)中的集合 M 内,随机取出一个元素(x,y),求以(x,y)为坐标的点位于区域 D:

?x-y+2≥0 ? ?x+y-2≤0内的概率. ?y≥-1 ?
解:(1)M={(-2,-1),(-2,1),(0,-1),(0,1),(2,-1),(2,1)}. (2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 C. 集合 M 中共有 6 个元素,即基本事件总数为 6,区域 D 含有集合 M 中的元素(-2,-1), 4 2 (0,-1),(0,1),(2,-1),共 4 个,所以 P(C)= = . 6 3 2 故以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内的概率为 . 3


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