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高三数学-如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题


一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解 答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1,2?, B ? 3,2a ,且 A ? B ? ?2? ,则实数 a 的值为 ______. 1.若集合 A ? ?
2.若 sin ? ? 2 cos ? ,则 sin 2 ? ? 2 cos2 ? 的值为______. 3.已知命题

p : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? a ? 0 是真命题,则实数 a 的取值范围是_______. 4.已知直线 l 过直线 x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 的交点,且与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直, 则直线 l 的方程为_______. 5.椭圆

? ?

x2 y2 ? ? 1 上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为_____. 16 7

6.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x(?? ? x ? 0) 的单调增区间是______. 7.已知函数 y ? x ?
2

a ( a ? R ) 在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为 x

_______. 8.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0,??) 上单调递增,则满足不等式

x ) 的 x 的取值范围是_______. 10 9.在锐角 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c , a ? 8 , b ? 10 . △ ABC 的 f (1) ? f (lg
面积为 20 3 ,则 △ ABC 的最大角的正切值是______.

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? BA ?BC ? 的值为____ __. 10.在 △ ABC 中,若 AB ? 5 , AC ? 12 , AB ? AC ? BC ,则 ??? BC
11.已知 a 为正实数, 函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a , 且对任意的 x ? [0, a] , 都有 f ( x) ? [?a, a] , 则实数 a 的取值范围为______. 12.若直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与椭圆 mx2 ? ny2 ? 1 交于点 C , D ,点 M 为 CD 的中点,直线

OM ( O 为原点)的斜率为

1 ,且 OC ? OD ,则 m ? n ? _______. 2
1

? x 1 ? xe ? , x ? 0, 13.已知函数 f ( x ) ? ? 若函数 y ? f ( f ( x) ? a) 有四个零点,则实数 a 的所 e 2 ? ? x ? 2 x , x ? 0.
有可能取值构成的集合是_______. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?2,0) ,点 B 是圆 C : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 上的点, 点 M 为 AB 的中点,若直线 l : y ? kx ? 5k 上存在点 P ,使得 ?OPM ? 30? ,则实数 k 的取值范围为______.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作 答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分)

? 为常数, ?, ? ? 0 ,? 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(其中 A , 且 A ? 0,
的部分图象如图所示. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 f (? ) ?

?
2

?? ?

?
2



6 ? ? , 0 ? ? ? ,求 f ( 2? ? ) 的值. 5 2 12

(第 15 题) 16.(本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中, ?B ? 45? , D 是边 BC 上一点, AD ? 5 , CD ? 3 , AC ? 7 . (1)求 ?ADC 的值; (2)求 BA? DA 的值.

17.(本小题满分 14 分) 已知直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 相交于 A ,B 两点, 弦 AB 的中点为 M (0,1) .
2

(1)求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆过原点 O ,求圆 C 的方程.

18.(本小题满分 16 分) 如图,地面上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为 C ,与地面的接触点为 G .与圆形标志 物在同一平面内的地面上点 P 处有一个观测点, 且 PG ? 50 m .在观测点正前方 10 m 处 (即 PD ? 10 m )有一个高为 10 m (即 ED ? 10 m )的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能 看到的圆形标志的最大部分即为图中从 A 到 F 的圆弧. (1)若圆形标志物半径为 25 m ,以 PG 所在直线为 x 轴, G 为坐标原点,建立直角坐标 系,求圆 C 和直线 PF 的方程; (2)若在点 P 处观测该圆形标志的最大视角(即 ? APF )的正切值为 物的半径.

41 ,求该圆形标志 39

F

A
E P D

C

G
第 18 题

19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , F 为椭圆的右焦点,点 A , B 分别为椭圆的上下顶点, a 2 b2

过点 B 作 AF 的垂线,垂足为 M . (1)若 a ?

2 , △ ABM 的面积为 1,求椭圆方程;

(2)是否存在椭圆,使得点 B 关于直线 AF 对称的点 D 仍在椭圆上.若存在,求椭圆的离 心率的值;若不存在,说明理由.

3

y
A D

F
M B
第 19 题

x

20.(本小题满分 16 分) 已知函 数 f ( x) ? x 2 ? a ln x .( a ? R ) (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的极值; (2)已知函数 f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线为 l .若此切线在点 A 处穿过 y ? f ( x) 的图 像(即函数 f ( x) 上的动点 P 在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时从 l 的一侧进 入另一侧).求函数 f ( x) 的表达式; (3)若 a ? 0 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 有且只有一个零点,求实数 a 的值.

数学加试试卷(物理方向考生作答)
4

解答题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
1.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 15 ,M 是圆 C 上的动点,N (1,0) ,MN 的垂直平分线交 CM 于点 P ,求点 P 的轨迹方程.

2.已 知 函 数 f ( x) ? sin( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) , f ?( x ) 为 f ( x) 的 导 函 数 . 若

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,求 ? 的值.

3.已知 P 是 △ ABC 内一点,且满足条件 AP ? 2BP ? 3CP ? 0 ,设 Q 为 CP 的延长线与

AB 的交点,令 CP ? p ,用 p 表示 CQ .

4.已知 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 0 ? a ?

1? a ? 1(a ? R) . x

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 2 1 1 (2)设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 . 当 a ? 时 , 若 对 任 意 x ? [ , e] , 存 在 x2 ? [1,2] , 使 4 e

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解
5

答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.6 6. [? 2. 6 5 3. (??,1] 8. (0,1) ? (100,??) 12. 4. 3x ? y ? 2 ? 0 9. 13. (1,1 ? ) 5.

?

5 2

6 25 10. 13

,0]

7.0 11. (0,2]

25 3
14. [?2,2]

5 4

1 e

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作 答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 解: (1)由图可知, A ? 2 ,

T ? 2? ,故 ? ? 1 ,所以, f ( x) ? 2 sin(x ? ? ) ,
又 f( 于

? ? ? 2? 2? ) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 ,且 ? ? ? ? ,故 ? ? ? . 6 2 2 3 3
是 ,

f ( x) ? 2 s

x? ). 6

?

i ......................................................

n

.....................................6 分 (2)由 f (? ) ? 因为 0 ? ? ?

?

6 ? 3 ,得 sin(? ? ) ? . 5 6 5

2 ? 4 cos( ? ? ) ? . 6 5

,所以 ..........................................................

.............8 分 所以, sin( 2? ?

? ? 24 ) ? 2 sin(? ? ) cos( ? ? ) ? . 3 6 6 25 ? ? ? 7 cos( 2? ? ) ? cos 2 (? ? ) ? sin 2 (? ? ) ? . ............................. 3 6 6 25

?

......................6 分 所以 f (2? ?

?
12

) ? 2 sin( 2? ?

?
12

) ? 2 sin( 2? ?

?

? ) 3 4
..........................

?

? ? ? ? 31 2 . ? 2 sin(2? ? ) cos ? 2 cos(2? ? ) sin ? 3 4 3 4 25
.................14 分 16.(本小题满分 14 分)

(1)在 △ ADC 中,由余弦定理得: AD2 ? CD 2 ? 2 AD ? CD cos?ADC ? AC2 .

6

把 AD ? 5 , CD ? 3 , AC ? 7 代入上式得 cos ?ADC ? ? 因为 0 ? ?ADC ? ? ,所以

1 . 2

?ADC ?

2? . 3

............................................................

........7 分 (2)在 △ ADC 中,由正弦定理得: 故 AB ? 所

AD AB ? . sin ?ABD sin ?ADB

AD 5 6 . ? sin ?ADB ? sin ?ABD 2


BA? DA ?

5 6 25(3 ? 3 ) . ? 5 ? cos75? ? 2 4

...................................

....................14 分 17.(本小题满分 14 分) 解: (1)因为 22 ? 42 ? 4a ? 0 ,所以 a ? 5 . 因为 M (0,1) 在圆 C 内,所以 12 ? 4 ? a ? 0 ,所以 a ? 3 . 综 上 知 a ? 3. ................................................... ...................................3 分 因为弦 AB 的中点为 M (0,1) ,所以直线 l ? CM . 因为 kCM ? ?1 ,所以 kl ? 1 . 所 以 直 线

l









y ? x ?1.

.........................................................

..................7 分 (2)由 ?

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0, ? y ? x ?1


得 2 x 2 ? a ? 3 ? 0 ,故 x1 ?

3? a 3? a , x2 ? ? . 2 2






A(

3? a 3? a , ? 1) 2 2

B( ?


3? a 3? a ,? ? 1) . 2 2
OA ? OB ? ?

........................................10 分

3? a 3? a ?1? ? a?2?0 2 2





a ? 2.

........................................13 分

7



圆 ............................................

C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 2 ? 0 .
........ .....................14 分 18.(本小题满分 16 分) 解: (1)圆 C : x 2 ? ( y ? 25) 2 ? 252 . 直线 PB 方程: x ? y ? 50 ? 0 .

设直线 PF 方程: y ? k ( x ? 50)(k ? 0) ,

因 为 直 线

PF

与 圆

C

相 切 , 所 以

25 ? 50k 1? k 2

? 25 , 解 得

k?


4 . 3


...........................6 分 直 线

PF







y?

4 ( x ? 50 ) 3





4x ? 3 y ? 2

?0.

0 ........................................8 分

(2)设直线 PF 方程: y ? k ( x ? 50)(k ? 0) ,圆 C : x 2 ? ( y ? r )2 ? r 2 . 因 为

tan ?APF ? tan( ?GPF ? ?GPA ) ?
....................10 分

k ? 1 41 ? 1 ? k 39







k?

40 . 9

所以直线 PF 方程: y ? 因 为 直

40 ( x ? 50) ,即 40x ? 9 y ? 2000? 0 . 9 C 线 与 圆 相 切 PF







9r ? 2000 1600? 81

?r,

.......................................13 分

化简得 2r 2 ? 45r ? 5000? 0 ,即 (2r ? 125)(r ? 40) ? 0 . 故 ......................................................... ..............................................16 分 19.(本小题满分 16 分) 解: (1)直线 AF : y ? ?

r ? 40 .

b c x ? b ,直线 BF : y ? x ? b . c b

联立可得 M (

2b 2c b(2c 2 ? a 2 ) , ). a2 a2

8

所以 S△ ABC ? 又因为 a ? 所

1 2b 2c 2b3c ? 2b ? 2 ? 2 ? 1 . 2 a a

2 ,所以 b ? c ? 1 .
以 椭 圆 方 程 为

x2 ? y2 ? 1 . 2

...............................................................

..............................8 分 (2)因为 M (

2b 2c b(2c 2 ? a 2 ) 4b 2c b(4c 2 ? a 2 ) ,所以 , ) D ( , ). a2 a2 a2 a2 16b 4 c 2 b 2 (4c 2 ? a 2 ) 2 ? ? 1. a4 a 4b 2
简 得

代入椭圆方程得 化

2e 4 ? 2e 2 ? 1 ? 0 .

.........................................................

.......................................13 分 ? ? ?4 ? 0 因 为 , 所 以 方 程 无 解. ..................................................................... .........15 分 所 以 不 存 在 这 样 的 椭 圆 , 使 得 点 B 关 于 直 线 AF 对 称 的 点 D 仍 在 椭 圆 上. ..................16 分 20.(本小题满分 16 分) (1)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ln x . 因为 f ?( x) ? 2 x ?

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? , x x

所以函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增. 所 以 函 数

f ( x)











f (1) ? 1 .

..................................................................

...............4 分 (2)因为 f ?( x) ? 2 x ?

a ,所以 f ?(1) ? 2 ? a . x

所以切线方程为 y ? 1 ? (2 ? a)(x ? 1) ,即 y ? (2 ? a)(x ? 1) ? 1 . 构造函数 h( x) ? f ( x) ? [(2 ? a) x ? a ?1] ? x 2 ? a ln x ? (a ? 2) x ? a ? 1 .

9

因为 h?( x) ? 2 x ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a)(x ? 1) , ? (a ? 2) ? ? x x x
, 所 以



h?(1) ? 0

?

a ?1 2







a ? ?2 .
..10 分

..................................................................

a 2 x 2 ? ax ? a (3)因为 g ( x) ? x ? a ln x ? ax ,所以 g ?( x) ? 2 x ? ? a ? . x x
2

因为 a ? 0 ,所以令 g ?( x) ? 0 可得 x0 ?

a ? a 2 ? 8a . 4

所以函数 f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减, 在 ( x0 ,??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的极小值为 f ( x0 ) ? 0 . 可得 x0 ? a ln x0 ? ax0 ? 0 , 2x0 ? ax0 ? a ? 0 .
2 2









2 ln x0 ? x0 ? 1 .

..........................................................

....................................14 分 考查函数 y ? 2 ln x ? x ,可知 y? ?

2 ? 1 ? 0 ,故其在 (0,??) 上单调递增. x

又因为 x ? 1 时 y ? 2 ln1 ? 1 ? 1 ,故 2 ln x0 ? x0 ? 1有唯一解 x0 ? 1. 代 入 可 得 a ?1. ................................................................... ...........................................16 分

10

2016 届高三年级第二次学情检测 数学(加试)参考答案
1.解:由题有 NP ? PC ? MP ? PC ? 4 ? NC , 故 点 P 的 轨 迹 为 以 C 、 N 为 焦 点 , 长 轴 长 为 4 圆. .....................................5 分 所 以 点 的 轨 迹 方 程 P 的 椭 为

x2 y2 ? ? 1 . ................................................................ 4 3
...............10 分 2.解:因为 f ?( x) ? 3 cos( 3x ? ? ) , 所 以

g ( x) ? s
......3 分 因 为

3x ? ? ) ? 3 c

3x ? ? ) ? 2 s

3x ? ? ? ) . 3
函 数

?

...................

i

g ( x)











tan? ? ? 3 .
.........7 分 因 为

.............................................................

0 ?? ??







??

2? . 3

..............................................................

................10 分 3.解:? AP ? AQ ? QP , BP ? BQ ? QP ,

?( AQ ? QP) ? 2(BQ ? QP) ? 3CP ? 0 .? AQ ? 3QP ? 2BQ ? 3CP ? 0 .
又? A, Q, B 三点共线, C , P, Q 三点共线,? 令 AQ ? ? BQ , CP ? ? QP .

?? BQ ? 3QP ? 2BQ ? 3?CP ? 0 (? ? 2)BQ ? (3 ? 3?)QP ? 0 .
??? ? ??? ?
......................6 分



又? BQ , QP 为不共线的向量,? ? 解 得

? ? ? 2 ? 0, ?3 ? 3? ? 0.

? ? ?2



? ? ?1 .

................................................................

11

...............................8 分

??? ? ??? ? ??? ? ?CP ? ?QP ? PQ ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? CQ ? CP ? PQ ? 2CP ? 2 p .
4.解: (1) f ( x) ? ln x ? ax ?

, ................................. ... ...10 分



1? a ? 1( x ? 0) , x

1 a ? 1 ? ax2 ? x ? a ? 1 f ?( x) ? ? a ? 2 ? ( x ? 0) , x x x2
令 h( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a( x ? 0) , 由 h?( x) ? 0 ,即 ax2 ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? 当0 ? a ?

1 ?1 . a

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 . 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;
1 x ? (1, ? 1) 时, h( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1,?? ) 时, h( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减. a 1 1 1 ? 1) ,减区间为 (0,1) 和 ( ? 1,?? ) . 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 的增区间为 (1, 2 a a
............................................................ ........ ............................................5 分

12

13


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