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苏教版高中数学选修2-2《1.3.3 最大值与最小值》教案


教学目标: 1.使学生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数 f(x)在闭区间 上所有点 (包括端点 a , b) 处的函数中的最大 (或最小) 值 必有的充分条件; 2.使学生掌握用导数求函 数的极值及最值的方法 和步骤 . 教学重点: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学过程: 一、问题情境 1.问题情境. 函数极值的定义是什么? 2.探究活动. 求函数 f(x)的极值的步骤. 二、建构数学 1.函数的最大值和最小值. 观察图中一个定义在闭区间上的函数 f(x)的图象. 图中 f(x1)与 f(x3)是极小值, f(x2)是极大值.函数 f(x)在上的最大值是 f(b),最小值是 f(x3).

一般地,在闭区间上连续的函数 f(x)在上必有最大值与最小值. 说明: (1)在开区间( a , b ) 内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值.如函数
1 f ( x )= 在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值; x

(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极 值点附近函数值得出的. (3)函数 f(x)在闭区间上连续,是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分

条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可 能不止一个,也可能没有一个. 2.利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端 点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f(x)在上连续,在( a , b ) 内可导,则求 f(x)在 上的最大值与最小值的 步骤如下: (1)求 f(x)在( a , b ) 内的极值; (2)将 f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较得出函数 f(x)在上的最值. 三、数学运用 例1 例2 注 求函数 f(x)=x2-4x+3 在区间内的最大值和最小值. 求函数 f(x)=
1 x+sinx 在区间上的最值. 2

在实际问题中,若函数只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是

最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 练习 设 f(x)=ax3-6ax2+b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a > b ,求 a , b 的值. 四、回顾小结 (1)函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数 不存在的点,区间端点; (2)函数 f(x)在闭区间上连续,是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件; (3)闭区间上的连续函数一定有最值;开区间( a , b ) 内的可导函数不一定有 最值,若有惟一的极值,则此极值必是函数的最值. 五、课外作业 1.课本第33页第2,3,4题. 2.补充. 求函数 y=
1 4 1 3 1 2 x + x + x 在区间 上的最值. 4 3 2


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