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2016年新高一数学参考教学案:3.4.2 换底公式(北师大版必修1)


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对数换底公式 [教学目的]使学生理解对数换底公式的意义,掌握其推导方法,初步学会 它在对数式恒等变形中的应用。 [教学重点]对数换底公式的应用 [教学难点]对数换底公式的推导 一、新课引入: 已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 log 5 6 =? 像 log 5 6 这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以 5 为底的对数,换成以 10 为底的对数呢?这就要学习对数换底公式。什么是 对数换底公式?怎样用我们所掌握的知识来得到它呢?又如何运用它呢? 这就是本节课要解决的问题。 二、新课讲解:

公式:

log b N ?

log a N log a b

x 证明:设 x ? logb N ,则 b ? N ,两边取以 a 为底的对数,得

x loga b ? loga N

?x?

log a N log a N log b N ? log a b ,即 log a b 。

1、成立前提:b>0 且 b≠1,a>0,且 a≠1 2、公式应用:对数换底公式的作用在于“换底” ,这是对数恒等变形中常 用的工具。一般常换成以 10 为底。 3、自然对数 lnN=log e N 三、巩固新课: 例 1、求证:1: loga b ? logb a ? 1 2: e=2.71828

log a b n ?
m

n log a b m
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例 2、求下列各式的值。 (1) 、log98?log3227 (2) 、 (log43+log83) ?(log32+log92) (3)、log49?log32 (4)、log48?log39 (5)、 (log2125+log425+log85) ?(log52+log254+log1258) 例 3、若 log1227=a,试用 a 表示 log616. 解:法一、换成以 2 为底的对数。 法二、换成以 3 为底的对数。 法三、换成以 10 为底的对数。 练习:已知 log189=a,18b=5,求 log3645。 例 4、已知 12 =3,12 =2,求 8
x y

1? 2 x 1? x ? y

的值。
2

练习:已知 log 8 a ? log 4 b ? 5, log 8 b ? log 4 a ? 7 ,求 a?b 的值;
2

例 5、有一片树林,现有木材 22000 方,如果每年比上一年增长 2.5%,求 15 年后约有多少方木材? 解:设 15 年后约有木材 A 方,则 A=22000(1+2.5%)15=22000×1.02515 LgA=lg22000+15×lg1.025 =4.3424+15×0.0107 =4.5029 ∴ A=131840 答:15 年后约有木材 131840 方。 练习: 1、某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,经
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过 3 小时,这种细菌由 1 个可繁殖成(

)个。

2、 在一个容积为 a 升的容器里满盛着酒精。 先向外倒出 x 升, 再用水注满; 第二次又倒出 x 升溶液,再用水注满;如此操作 t 次后,容器里剩余的纯 酒精为 b 升,试用含有 a、b、t 的式子表示 x。

三、小结:对数换底公式: 四、作业

log b N ?

log a N log a b

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