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教育部课题等差数列


教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

等差数列(一)

数列不一定有规律,但有规律的数列我们要好好研究。

一.指出下列数列的 特征: (1)1,3,5,7……; (2)3,0,-3,-6……; 1 2 3

4 (3) ……..

, 10 , 10 , 10 10

特征:从第2项起,每一项与前一项的差 都等于一个常数.

二.等差数列 1.定义:对于数列{an},若a
n+1-

a n= d

( d为常数,n为

正整 数) 则这个数列为等差数列,常数d叫公差. 注:等差数列定义有文字语言和符号语言 等差数列这个名字取的形象不形象? 2.已知:等差数列{an}的首项为a,公差为d,求an

例1. 求等差数列8,5,2,……的第
20项.

例2. -401是不是等差数列-5,-9,

-13,……的项?如果是,是第 几项?

例3. 在等差数列{an}中,已知a5=10
a12=31,求首项a1与公差d.

例4. 梯子的最高一级宽33㎝,最低 一级宽110㎝,中间还有10级,

各级的宽度成等差数列,计算
中间各级的宽度。

例 :在等差数列{an}中 (1) 若a59=70,a80=112,求a101; (2) 若ap=q,aq=p (p≠q),求ap+q; (3) 若a12=23,a42=143, an=263,求n. 答案:(1)d=2,a101=154; (2) d=-1,ap+q=0;

(3) d=4,n=72.

4.如果a,A,b成等差数列,则A满足什 么条件? 解:由a,A,b成等差数列,得: A-a=b-A 所以
反过来

A-a=b-A,即a,A,b成等差数列。 5.如果a,A,b成等差数列,那么A叫做 a与b的等差中项。

A? 如果 A ?

a ?b 2 a ? b ,那么2A=a+b, 2

换个角度从函数角度看通项公式是什么?反过来成立吗?如何证明
答:根据等差数列定义来证明。要证明一个东西是不是人看这个 东西是不是符合人的定义。补充一点,有时候判断一个东西是不 是人我们是判断这个东西有没有人的性质?比如两只耳朵、一双 眼睛等等。等差数列有什么性质我们接下去学习。

等差数列的判定方法: (1) an+1-an=d ? {an}是等差数列
(2) 2an+1=an+ an+ 2 ? {an}是等差数列

(3) an=kn+b

? {an}是等差数列

3.已知: 等差数列{an}中,公差为d, 则an与ak(n,k∈N*)有何关系? 解:∵ an=a1+(n-1) d ak=a1+(k-1)d ① -②得: n-ak=(n-k)d a ①



∴ an = ak+(n-k)d

同学们,请任举一等差数列验证

a1 ? a7与a2 ? a6与a4 ? a4的关系
你能得到什么结论?

例5.(1)在等差数列{an}中,若m+n

=p+q, 则am+an=ap+aq.
(2)在等差数列{an}中,若a3+a4+

a5+a6+ a7=450,求a2+a8.

解:∵ a2+a8= a3+a7= a4+a6=2a5
∴ ∴ 5a5=450, a5=90, a2+a8= 2×90=180

举例发现:如果对于一个等差数列,选取一个子数列,下标成 等差数列,那这个子数列是什么数列?
总结:等差数列的定义和性质

例6. 已知:lga,lgb,lgc与lga-lg2b, lg2b-lg3c,lg3c-lga都是等差

数列,求a:b:c.
例7.已知,三个数成等差数列,其和为15 首末两项的积为9,求此数列.
若三个数成等差数列,可设三个数为a-d,a,a+d
若四个数成等差数列,可设四个数为a-3d,a-d,a +d,a+3d.

例8.等差数列{an}中已知a10=23,
(1)若a25=-22,问此数列从第几 项开始为负?

(2)若数列从第17项起各项均为负,
求公差d的取值范围。


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