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全国中学生物理竞赛辅导1


中 学 物 理 奥 赛
(选修课)
1

全国中学生物理竞赛简介
全国中学生物理竞赛是在中国科协的领 导下,由中国物理学会主办,各省(自治区、 直辖市)自愿参加的群众性的课外学科竞赛 活动。各项活动得到教育部的同意和支持。 竞赛的目的是激发学生学习物理的兴趣和主 动性,促使他们改进学习方法,增强学习能 力;帮助学校开展多样化的物

理课外活动, 活跃学习空气;发现具有突出才能的青少年, 以便更好地对他们进行培养。
2

竞赛分为预赛、复赛和决赛。预赛由全国竞 赛委员会统一命题,采取笔试的形式,只考物理理 论部分,满分为200分。所有在校的高中学生都可 以报名参加。在预赛中成绩优秀的学生由地方竞委 会确定参加复赛。复赛包括理论和实验两部分。理 论部分由全国竞赛委员会统一题,满分为160分; 实验部分由各省(自治区、直辖市)竞赛委员会命 题,满分为40分。根据复赛中理论和实验的总成 绩,由省(自治区、直辖市)竞赛委员会推荐成绩 优秀的三名学生参加决赛。决赛由全国竞赛委员会 命题和评奖。每届决赛设一等奖30名左右(占参 加决赛人数的1/6),二等奖60名左右(占参加决 赛人数的1/3),三等奖80名左右。此外,还设总 成绩最佳奖、理论成绩最佳奖、实验成绩最佳奖和 3 女学生成绩最佳奖等单项特别奖。

全国中学生物理竞赛开始于1984年,每学 年举行一次。历届竞赛的基本情况如下表:
届次
1 2 3 4 5 6

预 时 间 84.11
86.1 86.11 87.10 88.10 89.10


参赛人数

43079 52925 58766 57523 55855 53096

决 时 间 85 .2
86.4 87.2 88.1 89.1 89.12


地 点 北京 上海 天津 兰州 广州 长春
参赛人数

76 104 105 101 106 127
4

届次 7 8 9 10 11 12

预 时 间 90.10 91.6 92.9 93.9 94.9 95.9


参赛人数

54393 73806 60617 46843 65146 55867

决 时 间 90 .12 91.9 92.10 93.10 94.10 95.10

赛 地 点 福州
参赛人数

105

桂林、南宁 104

合肥 长沙 西安 太原

101 105 109 112
5

届次 13

预 时 间 96.9

决 参赛人数 时 间 86173 96.10



赛 地 点 杭州
参赛人数

114

14 15 16 17
18

97.6 98.9 99.9 00.9
01.9

90607 97.10 134559 98.10

南昌 大庆 南京 武汉
海口

118 121 126 143
145
6

169282 93.10 225683 00.10
267363 01.10

届次 19 20 21 22 23

预 赛 决 时 间 参赛人数 时 间 02.9 322043 02.10 03.9 04.9 05.9 06.9 359835 03.10 328134 04.10 363139 05.10 426673 06.11



地 点 郑州
济南 重庆 沈阳 深圳

参赛人数

146 170 173 167 173

24

07.11

宁波
7

从第2届开始,由全国中学生物理竞赛决赛的一等奖 获得者中选出我国准备参加国际物理奥林匹克竞赛的集 训队(15人左右)。经过短期培训及队内多次理论和实验测 验,从中选出正式参赛的代表队(5人)。1986年7月,我国 首次参加了在英国伦敦举行的第17届国际物理奥林匹克 竞赛,3名选手全部获奖。在以后的历届国际竞赛中,我 国每年选派5名学生参赛(2003年第34届在台湾举行,我 国大陆未派选手参加),至2006年为止,共派出98人,全 部获奖。共获金牌67块、银牌20块、铜牌9块、表扬奖2 名,位居参赛各国前列。其中第22届、23届、26届、27 届、29届、31届、35届、36届及06年的37届,我国所派 参赛学生全部获金牌。我省江门一中陈涵同学、华师附 中陈阳同学分别参加了第23届、第33届竞赛,都获得了 金牌。20多年来,全国中学生物理竞赛受到广大中学生 的欢迎和社会各界的好评。 8

全国中学生物理竞赛内容提要 (2005年1月修订,2006年实行)
一、理论基础 力学

1.运动学 参照系 质点运动的位移和路程、速度、加速度 相对速度 矢量和标量 矢量的合成和分解 *矢量的标积和矢积 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成 抛体运动 圆周运动 刚体的平动和绕定轴的转动 2.牛顿运动定律 力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律 惯性参考系的概念 摩擦力 弹性力 胡克定律 万有引力定律 均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) 开普勒定律 行星和人造卫星运动 *惯性力的概念

9

3.物体的平衡 共点力作用下物体的平衡 力矩 刚体的平衡条件 重心 物体平衡的种类 4.动量 冲量 动量 质点与质点组的动量定理 动量守恒定律 *质心 *质心运动定理 反冲运动及火箭 5.*冲量矩 *角动量 *质点和质点组的角动量定理(不 引入转动惯量) *角动量守恒定律 6.机械能 功和功率 动能和动能定理 重力势能 引力势能 质点及均匀球壳壳内、外的引力势能公式(不要求导出) 弹簧的弹性势能 功能原理 机械能守恒定律 碰撞 恢复系数 10

7.流体静力学 静止流体中的压强 浮力 8.振动 简谐振动(表达式) 振幅 频率和周期 相位 振动的图像 参考圆 振动的速度(表达式) 由动力学方程确定简谐振动的频率 简谐振动的能量 同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动 受迫振动和共振(定性了解) 9.波和声 横波和纵波,波长、频率和波速的关系 波的图像 平面简谐波的表示式 波的干涉和衍射(定性) *驻波 声波 声音的响度、音调和音品 声音的共鸣 乐音和噪声 *多普勒效应
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热学
1.分子动理论 原子和分子的量级 分子的热运动 布朗运动 温度的微观意义 分子力 分子的动能和分子间的势能 物体的内能 2.热力学第一定律 热力学第一定律 3.*热力学第二定律 *热力学第二定律 *可逆过程与不可逆过程 4. 气体的性质 热力学温标 理想气体状态方程 普适气体恒量 理想气体状态方程的微观解释(定性) 理想气体的内能 理想气体的等容、等压、等温和绝热过程(不要求用微 12 积分运算)

5.液体的性质 液体分子运动的特点 表面张力系数 浸润现象和毛细现象(定性) 6.固体的性质 晶体和非晶体 空间点阵 固体分子运动的特点 7.物态变化 熔解和凝固 熔点 熔解热 蒸发和凝结 饱和气压 沸腾和沸点 汽化热 临界温度 固体的升华 空气的湿度和湿度计 露点 8.热传递的方式 传导、对流和辐射 9.热膨胀 热膨胀和膨胀系数
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电学
1.静电场 库仑定律 电荷守恒定律 电场强度 电场线 点电荷的场强 场强叠加原理 均匀带电球壳壳内、壳外 的场强公式(不要求导出) 匀强电场 电场中的导体 静电屏蔽 电势和电势差 等势面 点电荷电场的电势公 式(不要求导出) 电势叠加原理 均匀带电球壳壳内、外的 电势公式(不要求导出) 电容 电容器的连接 平行板电容器的电容公式(不要求导 出) 电容器充电后的电能 电介质的极化 介电常数 2.稳恒电流 欧姆定律 电阻率和温度的关系 电功和电功率 电阻的串、并联 电动势 闭合电路的欧姆定律 一段含源电路的欧姆定律 *基尔霍夫定律 电流表 电压表 欧姆表 惠斯通电桥 补偿电路 14

3.物质的导电性 金属中的电流 欧姆定律的微观解释 液体中的电流 法拉第电解定律 气体中的电流 被激放电和自激放电(定性) 真空中的电流 示波器 半导体的导电特性 P型半导体和N型半导体 晶体二极管的单向导电性 三极管的放大作用(不要求机理) 超导现象 4.磁场 电流的磁场 磁感应强度 磁感线 匀强磁场 长直导线中的电流的磁场 安培力 洛仑兹力 电子荷质比的测定 质谱仪 回旋加速器 5.电磁感应 法拉第电磁感应定律 楞次定律 *感应电场(涡旋电场) 15 自感系数 互感和变压器

6.交流电 交流发电机原理 交流电的最大值和有效值 纯电阻、纯电感、纯电容电路 整流、滤波和稳压 三相交流电及其连接法 感应电动机原理 7.电磁震荡和电磁波 电磁振荡 振荡电路及振荡频率 电磁场和电磁波 电磁波的波速 赫兹实验 电磁波的发射和调制 电磁波的接收、调谐、检波

光学
1.几何光学 光的直进、反射、折射 全反射 光的色散 折射率和光速的关系 平面镜成像 球面镜成像公式及作图法 薄透镜成像公式及作图法 眼睛 放大镜 显微镜 望远镜 2.波动光学 光程 光的干涉和衍射 双缝干涉 单缝衍射 光谱和光谱分析 16 电磁波谱

近代物理
1.光的本性 光电效应 爱因斯坦方程 光的波粒二象性 光的能量与动量 2.原子结构 卢瑟福实验 原子的核式结构 玻尔模型 用玻尔模型解释氢光谱 玻尔模型的局限性 原子的受激辐射 激光 3. 原子核 原子核的量级 天然放射现象 放射线的探测 质子的发现 中子的发现 原子核的组成 核反应方程 质能方程 裂变和聚变 “基本”粒子 *夸克模型 4.*不确定关系 *实物粒子的波粒二象性 5.*狭义相对论 爱因斯坦假设 时间和长度的相对论效应 相对论动量与能量 6.*太阳系 银河系 宇宙和黑洞的初步知识

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数学基础
1.中学阶段全部初等数学(包括解析几何) 2.矢量的合成和分解 极限、无限大和无限小的初步概念 3.不要求用微积分进行推导或运算

二、实验
1.复赛实验试题从全国中学生物理竞赛常委会组编的《全国中学 生物理竞赛实验指导书》中选定. 2.本内容提要的“理论基础”和《全国中学生物理竞赛实验指导 书》是决赛实验的基础.

三、其它方面
物理竞赛的内容有一部分有较大的开阔性,主要包括以下方面: 1.物理知识在各方面的应用。对自然界、生产和日常生活中一 些物理象的解释. 2. 近代物理的一些重大成果和现代的一些重大消息. 3. 一些有重要贡献的物理学家的姓名和他们的主要贡献.
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附录:全国中学生物理竞赛章程
全国中学生物理竞赛章程
(中国物理学会常务理事会1991年2月12日制定, 2004年11月30日修订)

第一章

总则

第一条 全国中学生物理竞赛(对外可以称中国物理奥林 匹克,英文名为(Chinese Physics Olympiad,缩写CPhO) 是群众性的课外学科竞赛活动.这项活动由中国科学技术协 会主管,中国物理学会主办,并得到国家教育部批准. 竞赛的目的是激发学生学习物理的兴趣和主动性,促使 他们改进学习方法,增强学习能力;帮助学校开展多样化的 物理课外活动,活跃学习空气;发现具有突出才能的青少年, 以便更好地对他们进行培养.
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第二条 全国中学生物竞赛要贯彻“教育要面向 现代化、面向世界、面向未来”的精神,竞赛内容的 深度和广度可以比中学物理教学大纲和教材有所提高 和扩展. 第三条 参加全国中学生物竞赛者主要是对物理 学习有兴趣并学有余力的在校普通高中学生.竞赛应 坚持学生自愿参加的原则.竞赛活动主要应在课余时 间进行,不要搞层层选拔,不要影响学校正常的教学 秩序. 第四条 学生参加竞赛主要依靠学生平时的课内 外学习和个人努力.学校和教师不要为了准备参加竞 赛而临时突击,不要组织“集训队”或搞“题海战 术”,以免影响学生的正常学习和身体健康.学生在 物理竞赛中的成绩只反映学生个人在这次活动中所表 现出来的水平,不应当以此来衡量和评价学校的工作 20 和教师的教学水平.

第二章

组织领导

第五条 全国中学生物理竞赛由中国物理学会主办.中国 物理学会常务理事会制定《全国中学生物理竞赛章程》;设立 全国中学生物理竞赛委员会(简称全国竞委会),统一领导全国 中学生物理竞赛活动.全国中学生物理竞赛委员会由主任一人、 副主任和委员若干人组成.主任和副主任由中国物理学会常务 理事会聘任,组成全国中学生物理竞赛委员会常务委员会(简 称常委会).全国中学生物理竞赛委员会可设名誉主任,由中 国物理学会常务理事会聘任. 全国竞委会委员任期一年,产生办法如下: 1.每省(自治区、直辖市)物理学会各委派委员1人; 2.承办本届和下届决赛的省(自治区、直辖市)各委派 3 人; 3.由常委会根据需要聘请若干人任特邀委员.
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第六条 常委会在中国物理学会常务理事会领导下 主持全国竞委会工作;制定有关竞赛工作的各项实施 细则. 全国竞委会在决赛期间召开全体会议,研究和讨论 与本届和下届竞赛有关事宜,交流组织竞赛活动的经 验,提出意见和建议;审议通过决赛获奖学生名单. 全国竞委会委员在任期内负责常委会和本省(自 治区、直辖市)竞赛委员会工作上的联系. 第七条 常委会下设全国中学生物理竞赛命题组 (简称命题组)和全国中学生物理竞赛办公室(简称 办公室)等工作机构. 命题组成员由常委会聘请专家担任.命题组负责预赛、 复赛理论试题及决赛的理论、实验试题的命题工作筹 备与组织工作. 22 办公室负责处理有关竞赛的日常事务

第八条 每年承办决赛的省(自治区、直辖市)物 理学会与有关方面协商组成该届全国中学生物理竞赛组 织委员会(简称组委会),组委会负责决赛期间各项活 动的筹备与组织工作以及命题会议的会务工作. 组委会工作接受常委会指导. 第九条 各省(自治区、直辖市)物理学会与各有 关方面协商组成省(自治区、直辖市)中学生物理竞赛 委员会(简称地方竞委会).地方竞委会要按照《全国中 学生物理竞赛章程》和常委会制定的有关竞赛工作的各 项实施细则,负责组织和领导本省(自治区、 直辖市) 有关竞赛的各项活动. 地方竞委会的工作受全国竞委会的指导和监督.
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第三章 竞赛程序 第十条 全国中学生物理竞赛每年举行一 次,包括预赛、复赛和决赛,在校高中学生可 向学校报名,经学校同意,由学校到地方竞委 会指定的地点报名.凡报名参加全国中学生物 理竞赛的学生均在地方竞赛委员会指定的地点 参加预赛,预赛由全国中学生了竞赛命题组统 一命题和制定评分标准,办公室统一制卷.各地 方竞委会组织赛事和评定成绩.预赛满分为 200分,竞赛时间为3小时.地方竞委会不得组 织其它考试来确定学生参加预赛的资格.
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第十一条 复赛包括理论和实验两部分.理 论题由全国中学生物理竞赛命题组统一命题和 制定评分标准,办公室统一制卷.理论考试满 分为160分,时间为3小时.各地方竞委会组织赛 事和评定成绩.复赛实验由地方竞委会命题和 评定成绩,满分为40分,实验时间为3小时.复 赛实验的日期、地点和组织办法 由各地方竞委 会根据实际情况自行决定. 参加复赛的学生由人数地方竞委会根据预赛成 绩确定.参加复赛理论考试的人数不得少于本 赛区一等奖名额的5倍.参加复赛实验考试的人 数不得少于本赛区一等奖名额的1.2倍.
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第十二条 各地方竞委会根据学生复赛的总成绩(理论考 试成绩和实验考试成绩之和)择优推荐3名学生参加决赛.对 于在上届竞赛中成绩较好的省(自治区、直辖市)给予奖励 名额,凡有学生获一等奖,一律奖励1名.在当年举行的国际物 理奥林匹克竞赛中获金、银、铜奖的学生所在省(自治区、 直辖市)每有1名学生获奖,就奖励1名. 承办决赛的省(自治区、直辖市)参加决赛的名额可增加3 名. 若参加决赛的最后一个名额有两名以上的学生总成绩相同, 则地方竞委会应根据他们的理论成绩高低择优确定1名;若理 论成绩最高的学生有两名以上也相同,则地方竞委会可对理 论成绩并列最高的学生以笔试的形式进行加试,选取成绩最 好的1名. 决赛由全国中学生物理竞赛命题组命题和制定评分标准.决赛 包括理论和实验两部分,竞赛时间各3小时.理论满分为140 分,实验满分为60分.由组委会聘请高校教师阅卷评分. 由常委会聘请专家组成评奖组,由评奖组核审学生决赛成绩, 26 提出获奖名单,最后由全国竞委会审议通过.

第四章

命题原则

第十三条 竞赛命题要从我国目前中学生的实际 情况出发,但不必拘泥于现行的教学大纲和教材.常 委会要根据此原则编写《全国中学生物理竞赛内容提 要》和《全国中学生物理竞赛复赛实验指导书》. 第十四条 预赛、复赛和决赛理论命题均以《全 国中学生物理竞赛内容提要》为依据,复赛实验题目 从《全国中学生物理竞赛复赛实验指导书》中选 定.决赛实验命题以《全国中学生物理竞赛内容提要》 和《全国中学生物理竞赛复赛实验指导书》为基础.

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第五章

奖励办法

第十五条 全国中学生物理竞赛只评选 个人奖,不搞省、地、市、县或学校之间的 评比. 根据决赛成绩和参加决赛人数,每届评选出 一等奖、二等奖、三等奖.一等奖和二等奖 人数各占参加决赛人数的1/6和1/3.若一 (或二)等奖最后一个名额有两名或两名以 上的学生总成绩相同,则都评为一(或二) 等奖.由全国竞委会给予奖励.在举行决赛 的城市召开授奖大会,颁发全国中学生物理 竞赛获奖证书.

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第十六条 对于在预赛和复赛中成绩优秀的学生,全国竞 委会设立赛区一、二、三等奖,由地方竞委会按学生成绩进行 评定.赛区一等奖的评定应以复赛总成绩为准.赛区二等奖的 评定以复赛理论成绩为准.赛区三等奖的评定标准由地方竞委 会根据学生成绩和当地实际情况决定.赛区一、二、三等奖获 奖者均颁发相应的获奖证书. 赛区一等奖的名额由常委会决定,若赛区一等奖最后一个名 额有两名以上的学生总成绩相同,则地方竞委会应根据他们的 理论成绩高低择优确定一名;若理论成绩最高的学生有两名以 上也相同,则地方竞委会可对理论成绩并列最高的学生以笔试 的形式进行加试,选取成绩最好的1名.赛区二、三等奖的名额 由各省(自治区、直辖市)物理学会确定. 对获奖学生的奖励要有利于学生的健康成长. 第十七条 对在决赛中获奖和获赛区一、二等奖的学生的 指导教师,由各地方竞委会确定名单,以全国竞委会名义给予 表彰,发给荣誉证书.
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第七章 经费 第十九条 全国中学生物理竞赛所需经费 应根据中国科协的规定主要通过各种途径自筹, 但必须严格遵守国家的各项法律法规. 第二十条 学生参加预赛和复赛应缴纳报 名费和试卷费.报名费收入全部由地方竞委会 留用,试卷费上交全国竞委会办公室.参加决 赛的学生要交纳决赛参赛费,作为全国竞委会 和组委会进行与决赛有关的各项工作的部分经 费. 学生参加竞赛所需食、宿、交通费用原则上由 学生自理.对经济有困难的学生由地方竞委会 与有关方面协商给予补助. 30

第二十一条 决赛活动所需经费由组委会 负责筹措,全国竞赛委员会给予适当的补助. 第二十二条 经费开支应贯彻勤俭节约的 原则.向学生收取的费用应根据竞赛成本核定, 不以赢利为目的.
第八章 附则

第二十三条 本章程由中国物理学会常务 理事会制定,本章程的解释权属中国物理学会 常务理事会.
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从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧
题目:设湖岸MN是一条直线,有一小船自岸 边的A点沿与湖岸成α=15°角的方向匀速向 湖中驶去,有一个人自A点同时出发,,他先 沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸 上走的速度为v1 =4m/s,在水中游泳的速度为 v2=2m/s,试求小船的速度至多为多大时,这 人才能追上小船?
Vmax=? M A

?

α N
32

方法1:微元法

B

M

A

? α

F θ ? C D E

N

如图,设人在D点入水并在B点刚好能追上小船,这表 明:此时人追上小船所用时间最少,对应的小船速度 最大. D点两侧各有入水点C和E,使得在该处入水追 船所用时间相等. 现设C、E是D点两侧附近无限靠近D点的两点,并 设分别从C、E点入水追小船所用总时间相等. 现在BC段截取BF=BE, 那么∠BFE=90°. 由于从C、E点入水追小船所用总时间相等,所以, 人在CE段走与在CF段游泳所用时间相等. 33

于是
所以

CE CF ? v1 v2

B

M ? α CF 1 A cos ? ? ? CE 2

F θ ? C D E

K N

? ? 60?
因为C、E两点无限靠近D点,所以∠BDN=θ =60°. 作BK⊥BD交MN于K,于是DK=2BD. 又因为v1=2v2,则人游DK段与走DK段所用时间相等.所 以人自出发经D点再到B点与人由A点一直走到K点所用 时间相同,并都等于小船从A到B所用的最少时间.
34

即有

AB AK ? vmax v1

B

在⊿ABK中, M ? α 用正弦定理可 A 得:

F θ ? C D E

K N

AB sin 30? 1 ? ? AK sin 135? 2
那么

vmax

2 ? ? v1 ? 2 2 (m / s) 2 2
35

v1

方法2:类比法

B

乙 设想MN为甲和乙两种介质 β ? 的分界面,光在甲中的速度 M A D N 甲 为v1,在乙中的速度为v2, 据费马原理可知,B→D→A是光从B传到A费时最少 的路径,而β是临界角. 这可类比本题人从A经D到B 的追船情况. 由此得: v2 ? ? arcsin ? 30? v1 下面解法与方法1相同.最后可得:

vmax ? 2 2 (m / s)
36

方法3:图解法

E

B 如图,设人开 α 始运动就一直 K M A N 游泳,那么他 能到达的区域 是以A为圆心、以v2t为半径的半圆中的任何一点,若 他一直沿湖岸走,那么他在t时间内可以到达AK=v1t 中的任何一点,若他先沿岸走一段再入水追船,那么 他可以在t时间内到达图中⊿AEF中的任何一点.所以, 他若能追上船,船也必须在t时间内到达这区域. 由于题设小船沿α角的方向运动,所以沿此方向的 直线与EK线的交点B是船以最大速度运动且又能被人 追上的地点.
37

E 在Rt⊿AEK中, B 因为AK=2AE, α 所以∠AKE= K M A 30°, 于是,∠ABK=180 °-15 °- 30°=135° 在⊿ABK中,据正弦定理得:

N

AB sin 30? 1 ? ? AK sin 135? 2 而 AB ? v maxt ? v max AK v1t v1
所以

vmax

2 ? ? v1 ? 2 2 (m / s) 2 2

v1

38

方法4:矢量图解法
M

? v2
α

C

N 设人先沿岸走一段,再入 水追船,以船为参考系, 由于人和船是同时由A点出发的,则人在沿岸走时, 船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”,离去的相 ? ? ? ? 对速度为1 : ? v1 ? v u u1 要人能追上船,即人能回到船上,则其返回的相对速 ? ? ? 度 u 2必须沿 u1的反方向,返回的相对速度 u 2 为:

A

? v1

K

? 作图:(1)以MN线上的A点为起点作矢量 v1 得K点;
(2)以A点为圆心,以v2的大小为半径作圆; (3)作直线AC,使它与MN线的夹角为α=15°;
39

? ? ? u 2 ? v2 ? v

E ? 设K点与圆上的任一点E ? u2 B ? C 的连线与AC线的交点为 v2 ? u1 ?v α B,则AB表示船速,BK ? v1 K N A 表示人相对船的“离开” M ? u 速度1 ,而BE表示人相 ? u2 对船的“返回”速度 . 显然,当KE与圆相切时,AB 线最长,表示船速最大, 由此有作图步骤:

(4)作KE与圆相切于E点,并与AC相交于B点. 由于AK=AE,所以,∠AKF=30°, ∠ABE=45°. 因而⊿ABE为等腰直角三角形,那么

vmax ? 2v2 ? 2 2 (m / s)

40

方法5:等效法

B

设人在B点追上船, α 30° C M A E N D 则人到达B点可能有很 K 多途径,如A→C→B, H F A→D→B,A→E→B等, P 这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速, 作∠NAP=30°,并分别作CK,DH,EF垂直AP,其中 设BDH为直线, 又设想MN线下方也变成湖水区域, 则因为AC=2CK,所以人由K点游泳到C点所用时间 与人在岸上走由A点到C点所用时间是相等的. 故人按题设情况经路径A→C→B所用时间与假想人全 部在水中游泳游过路径K→C→B所用时间相等, 同理,人按题设情况经路径A→D→B所用时间与假想 人全部在水中游泳游过路径H→D→B所用时间相等, 41

B 人按题设情况经路径 A→E→B所用时间与假 α 想人全部在水中游泳游 M A 30° C E N D 过路径F→E→B所用时 K H F 间相等, 显然,在这些途径中,因为 P HDB是直线,因此所用时间最少. 由以上分析可知,人沿等效途径HDB游泳就费时最少 地刚好追上船,这对应着最大船速,设为vmax,则有

因为⊿AHB是等腰直角三角形,所以 AB ? 2BH 故得 vmax ? 2v2 ? 2 2 (m / s)
42

AB BH ? vmax v2

方法6:极值法(利用三角函数) 如图,设人沿岸走到D点时,船 航行到C点,此时人入水游泳就 α 刚好能在B点追上船. M A 在⊿ACD中应用正弦定理得
C θ D

B β

N

sin(? ? ? ) AD ? sin(? ? ? ) AC
又设此时船速为v,人由A点走到D点耗时为t,则

AD ? v1t , AC ? vt
由以上两式得

v1 sin ? ? sin(? ? ? ) v
43

v1 sin ? ? sin(? ? ? ) v
又在⊿CDB中应用正弦定理得

(1)
C M A α D θ

B β

sin ? BD ? sin(? ? ? ? ? ) BC

N

设人游过DB段所用时间为 t ? ,则 BD ? v2 t ? , CB ? vt ?

v2 sin ? 由以上两式得 ? (2) sin(? ? ? ) v 由(1)、(2)式,并注意 v1 ? 2v2 ,可得

sin( ? ? ? ) ? 2 sin( ? ? ? )

(3)
44

sin( ? ? ? ) ? 2 sin( ? ? ? ) (3) 又由于 AC ? v , 要v尽可能 AD v1 α
M A

C

B β
θ D N

大,即需AC/AD尽可能大, 而θ越大,则AC越大, 由于α为恒量,则θ越大,则 θ-α也越大,且(θ-α)为锐角,则sin (θ-α)随(θ -α)增大而增大,故得sin (θ-α)最大时,θ最大, 由(3)式可见,当sin (θ+β)=1时, sin (θ-α)有最大值为1/2,此时对应的θ值为 ? ? 45?,由此得 ? ? 45? ,
于是⊿CDB是等腰直角三角形,则有
45

vmax BC ? ? 2 v2 BD
所以,
M A
α

C

B β
θ D N

vmax ? 2v2 ? 2 2 (m / s)

46

方法7:极值法(利用一元二次函数判别式) 如图,设船出发后经时间t被人追上. S 则船的位移为s=vt,又设人在岸上 S2 α 走用时为kt(0<k<1),位移为 D N M A S1 s1=kv1t,人在湖中游用时为(1-k)t (0<k<1),位移为s2=(1-k)v2t. 那么,据余弦定理有:s 2 ? s 2 ? s 2 ? 2ss cos ? 2 1 1 把s、s1、s2的表达式及v1、v2的值代入并整理可得
B

4(1 ? k ) 2 ? 16k 2 ? v 2 ? 8kv cos15?


1 ? cos 30? cos15? ? ? 2

2? 3 3 ?1 ? 4 2 2
47

于是有 12k 2 ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]k ? (v 2 ? 4) ? 0

12k ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]k ? (v ? 4) ? 0
2 2

要这方程有实数解,其判别式⊿应满足:

? ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]2 ? 48(v 2 ? 4) ? 0
由此可解得:

v ? 2 2 或 v ? 2 2 ( 3 ? 1)
由本题的物理情景可知只能取:

vmax ? 2 2 (m / s)

48

方法8:极值法(利用一元二次函数判别式) 如图,设人在岸上D处入水追船, 运动方向与湖岸成θ角,并在B点处 追上船,这人由A→D→B用时为t . M A 则
B d
α

L ? d cot ? d t? ? v1 v 2 sin ? L 1 cos ? ? ?( ? )d v1 v 2 sin ? v1 sin ? 1 cos ? y? ? v 2 sin ? v1 sin ?

L

θ D

N

(1)

上式表明:t与θ有关,且在d、L、v1、v2一定时,由θ 决定,研究函数

(2)

49

1 cos ? y? ? v 2 sin ? v1 sin ?
两边平方得:
2 v12 ? 2v1v2 cos ? ? v2 cos 2 ? y2 ? 2 v12 v2 sin 2 ? 2 v12 ? 2v1v2 cos ? ? v2 cos 2 ? ? 2 v12 v2 (1 ? cos 2 ? )

(3)

整理后得:

( y v v ? v ) cos ? ? 2v1v2 cos ? ?v (1 ? y v ) ? 0
2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2

此方程有实数解的条件是:判别式⊿≧0,即有
50

4v v ? 4( y v v ? v )v (1 ? y v ) ? 0
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

由此解得:
2 v12 ? v 2 y2 ? 2 2 v1 v 2

所以
2 y min 2 v12 ? v2 ? 2 2 v1 v2

(4)

v2 1 ? 由(3)、(4)式得: cos ? ? v1 2

? ? 60?
51

这表明当θ=60°时,函数y有最小值,由(1)式 知此时t有最小值,对应的船速有最大值. v 把 ? ? 60? v1 ? 4m / s 、 2 ? 2m / s 、 L ? d cot 15? 、 代入(1)式得:

t min

d cot 15? 2 1 d ? ?( ? ) ? (cot 15? ? 3 ) v1 v1 3v2 3v1

对应的最大船速为:

v1 AB d vmax ? ? ? t min t min sin ? sin 15?(cot 15? ? 3 ) v1 v1 ? ? ? 2 2 (m / s) cos15? ? 3 sin 15? 2 sin 45?
52


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