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5 几何概型


人教 A 版必修 3《3.3.1 几何概型》
教学内容: 人教版《数学必修 3》第三章第 3.3.1 节几何概型。 学情分析: 本节课是新教材人教 B 版必修 3 第三章第三节的第一课, 它在课本中的位置排在古典概型之后, 在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的,一是为了体现和古典概型的区别和联系,在比较中 巩固这两种概型;二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求

法,在教材中起承上启下的作用. 这部分是新增加的内容,介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何 概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的,随机模拟部 分是本节的重点内容。几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有 限个。 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例 2 中的随机撒豆子的模型等, 教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性。几何概型也是一种概率模 型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个;它的特点是在一个区域内均匀分布,所以 随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关。 教材的地位与作用: 概率的初步知识在初中已经介绍,在选修模块的系列 2 中还将继续学习概率的其他内容,因此, 本章在高中阶段概率的学习中,起了承前启后的作用。 本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律,让学生初步形成用科学的态度、辩证的 思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度,并获取认识世界的初步知识和科学方法;这 对全面系统地掌握概率知识,对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用。 教学目标: 知识与技能 了解几何概型的意义,会运用几何概型的概率计算公式,会求简单的几何概型事件的概率。 过程与方法 通过游戏、案例分析,学习运用几何概型的过程,初步体会几何概型的含义,体验几何概型与 古典概型的联系与区别。 情感、态度与价值观

1

通过对几何概型的研究,感知生活中的数学,体会数学文化,培养学生的数学素养。 教学重点: 几何概型的特点,几何概型的识别,几何概型的概率公式。 教学难点: 将现实问题转化为几何概型问题,从实际背景中找几何度量。 教学过程: 一.问题情境 情境 1:取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,剪得两段的长都不小于 1m 的概率 有多大? 分析: 从每一个位置剪断都是一个基本事件, 剪断位置可以是长度为 3m 的绳子上的任意一点. 虽 然类似于古典概型的 “等可能性” , 但是基本事件有无限多个, 不能用古典概型的方法求解. 如右图, 记“剪得两段的长都不小于 1m”为事件 A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事 件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的 于是事件 A 发生的概率 P(A)=

1 , 3

1 . 3

情景2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金 色.金色靶心叫"黄心".奥运会的比赛靶面直径为 122cm,靶心直径为 12.2cm.运动员在 70m 外 射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的,射中黄心的概率为多少? 分析:射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为 122cm 的大圆内的任意 一点.如图,记“射中黄心”为事件 B,由于中靶心随机地落在面积为 而当中靶点落在面积为

1 ? ? ? 122 2 cm2 的大圆内, 4

1 ? ? ? 122 2 cm2 的黄心内时, 4
1 4 1 4

事件 B 发生,于是事件 B 发生的概率 P(B)=

? ? ?12.2 2 =0.01. ? ? ?1222

情景 3.下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在

两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
2

情景 4

一只苍蝇在一棱长为 60cm 的正方体笼子里飞,苍蝇距笼边大于 10cm 的

概率是多少? 教师实物展示正方体框架,在里面嵌套一个小正方体框架. 学生思考并回答该问题.

【设计意图】三个情景设置让学生发现试验的结果有无限个,因此发现它们不是古典概型, 无法 用古典概型的方法求解,然后师生探索此问题怎样解决,最后教师点题:这就是我们今天要学习的 几何概型.情境 1 的设计是从长度方面考虑问题,是为了引入概念,情境 2-4 的设计从面积和体积方 面考虑问题,是为了让学生全面了解几何概型的概念,并且渗透数形结合的数学思想方法.小组的讨 论是为了培养学生的合作意识和团队精神,用转盘的形式发奖品,让学生亲身体验概率游戏的乐趣. 二.建构数学 1、几何概型的概念:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内 随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上 述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处 理随机试验,称为几何概型. 2、几何概型的基本特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)每个 基本事件出现的可能性相等. 3、几何概型的概率:一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个 区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率 P(A)=

d的测度 . D的测度

说明:其中“测度”的意义依 D 确定,当 D 分别是线段,平面图形,立体图形时,相应的“测 度”分别是长度,面积和体积. 4、古典概型和几何概型的比较

古典概型 所有基本事件的个数 每个基本事件发生的可能性 有限个 等可能

几何概型 无限个 等可能

概率的计算公式

P ( A) ?

m n

P( A) ?

?A ??

3

4、怎样求几何概型的概率 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区 域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解. ⑴ 利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解; ⑵ 把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω ; ⑶ 把随机事件 A 转化为与之对应的区域 A; ⑷ 利用几何概型概率公式计算。 三、例题讲解 例1.取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的 概率. 分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的,于是豆子落 入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. ( “测度”为面积) 解:记“豆子落入圆内”为事件 A,则

圆面积 ? a2 ? P( A) ? ? ? 正方形面积 4a 2 4 .
答:豆子落入圆内的概率为

? . 4

说明:区域 D 内随机取点是指:该点落在区域内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能 性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.
练习:在 1L 高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子,从中随机取出 10mL,含有麦锈病种子 的概率是多少? 分析:病种子在这 1L 种子中的分布可以看做是随机的,取得的 10mL 种子可视作区域 d,所有 种子可视为区域 D. ( “测度”为体积) (解:取出 10mL 麦种,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则

P( A) ?

取出种子的体积 10 1 ? ? 所有种子的体积 1000 100 .答:含有麦锈病种子的概率为 1 . )

100

例 2.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的 时间不多于 10 分钟的概率。

分析:他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间
4

段的位置无关,这符合几何概型的条件,由于收音机每一小时报一次,可以认为此人打开收音机的 时间正处于两次报时之间,即处于[0,60]的任意一点,于是概率等于等待时间段的长度与两个整点 之间长度的比。 解:记“等待的时间不多于 10 分钟”记为事件 A, 则 P(A)=

10 1 = 60 6 1 . 6

答:等待的时间不多于 10 分钟的概率为

四、小结:1.几何概型的概念及基本特点;2.几何概型中概率的计算公式 五、教学小结与反思: 本节课的几个亮点: 1.用实物演示,加深学生对学习内容的印象,让学生在做中学,增强了学生学习数学的兴趣. 2. 颇具特色的情景引入,让学生很自然地把实际问题演变成数学概念,体验到了探寻数学规律的乐趣, 符合新课改精神. 3.转盘游戏寓教于乐,活跃了课堂气氛,使学生能够轻松愉悦地接受新知识. 4.两次的小组讨论学习,培养学生的合作意识和团队精神,尝试到合作的乐趣提高了学习的主动性. 5.例题的设置从长度、面积、体积三种几何度量设置题目,由浅入深,覆盖面广,符合学生认知规律. 6.例题 2 的处理让学生来批改解答作业,学会发现错误,发现解题的不足之处,有利于学生自觉地养 成良好的学习习惯. 7.本节课充分使用了多媒体、实物演示、影片剪辑,声情并茂,活跃了课堂的气氛,让数学课堂如此 的生动有趣. 本节课的特色: 1.注重加强数学应用意识,本课时在情境选择、问题设置、作业布置等方面都注重与实际生活紧密 联系,让学生体会到数学的应用价值,通过师生互动,实现了概念的意义建构. 2.注重知识的探求与发现,本课时在形成概念、推导公式、实际应用等教学环节中,突出体现了以 学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学生层层深入,培养学生自主探索以及发现问题、 分析问题和解决问题的能力. 3.注重数学思想方法的渗透,本课时的教学中,每一个细节都别具匠心,多次渗透了数形结合、随 机模拟、从特殊到一般等数学思想方法.

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