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湖南师范大学附属中学高一数学 等比数列(一)教案


湖南师范大学附属中学高一数学教案:等比数列(一)
教材:等比数列(一) 目的:要求学生理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。 过程: 一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例:得一个数列:

1,2,2 2 ,2 3 ,??,2 63
2.数列: 5,25,125,625,??

(1) (2) (3)

1 1 1 1,? , ,? ,?? 2 4 8

观察、归纳其共同特点:1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 2? 隐含:任一项 a n ? 0且q ? 0 3? q= 1 时,{an}为常数 二、通项公式:

? a3 ? a 2 q ? a1 q ? a ? ? a n ? a1 q n ?1 或 a n ? 1 ? q n 3? a 4 ? a3 q ? a1 q ? q ?????? ? ? 如数列: (1):a n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1
2

a 2 ? a1 q

(2):a n ? 5 ? 5 n ?1 ? 5 n 1 1 (3):a n ? 1 ? (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 2 2 a 图象:a n ? 1 ? q n 是经过指数函数纵向伸缩后图象上的孤立点。 q 1 如:数列(1) : a n ? 2 n ?1 ? ? 2 n (n ? 64, 且n ? N *) 2
三、 例一: (P127 例一) 实际是等比数列,求 a5 5 1 5 ∵a1=120, q=120 ∴a5=120×120 ? =120 例二、 (P127 例二) 强调通 项公式的应用 例三、求下列各等 比数列的通项公式: 1. a1=?2, a3=?8 解: a3 ? a1q ? q ? 4 ? q ? ?2
2

? 2.5 ×10

10

? a n ? (?2)2 n?1 ? ?2 n 或a n ? (?2)( ?2) n?1 ? (?2) n
2. a1=5, 且 2an+1=?3an

a n ?1 3 3 ?? 又:a1 ? 5 ? a n ? 5 ? (? ) n ?1 an 2 2 a n 3. a1=5, 且 n ?1 ? an n ?1 a a3 2 a a n 1 n ?1 ? 2 ? , ? , ??, n ? 解:? n ?1 ? an n ?1 a1 2 a 2 3 a n?1 n
解: q ?
1

以上各式相乘得: an ?

1 3 a1 ? n n

四、关于等比中项: 如果在 a、b 中插入一个数 G,使 a、G、b 成 GP,则 G 是 a、b 的等比中项。

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab (注意两 解且同号两项才有等比中项) a G
例:2 与 8 的等比中项为 G,则 G =16 G=±4 例四、 已知:b 是 a 与 c 的等比中项,且 a、b 、c 同号, 求证:
2

a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成 GP。 3 3
2

证:由题设:b =ac

得:

a?b?c 3 a ? b ? c 3 3 ab ? b 2 ? bc ab ? bc ? ca 2 ? abc ? ? b ? ?( ) 3 3 3 3


a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成 GP 3 3

五、小结:等比数列定义、通项公式、中项定理 六、作业:P129 习题 3.4 1—8

2


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