当前位置:首页 >> 数学 >>

巧用点差法公式解决中点弦问题


巧用点差法公式解决中点弦问题 解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点,而其中的计 算往往是非常困难的。 解题过程中, 常设一些量而并不解出这些量, 利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决,这 种方法称为“设而不求法” 。 “点差法”是一种常见的设而不求的方 法,是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程,得到两个等式,两 式相减,可以得到一个与弦的斜率及中点相关的

式子,再结合有关 条件来求解,这就可以降低解题的运算量,优化解题过程。 一、抛物线 【规律探踪】在抛物线 y2=2mx(m≠0)中,若直线 l 与抛物线相 交于 m、n 两点,点 p(x0,y0)是弦 mn 的中点,弦 mn 所在的直线 l 的斜率为 kmn,则 kmn·y0=m。 注意:能用这个公式的条件:①直线与抛物线有两个不同的交点; ②直线的斜率存在. 例 1 设 a(x1,y1) ,b(x2,y2)两点在抛物线 y=2x2 上,l 是 ab 的垂直平分线。 ⑴当且仅当 x1+x2 取何值时, 直线 l 经过抛物线的焦点 f?证明你 的结论。 ⑵当 x1=1,x2=-3 时,求直线 l 的方程。 解析:⑴∵x2=12y,∴p=14,f(0,18) 。 设线段 ab 的中点为 p (x0, y0) , 直线 l 的斜率为 k, 则 x1+x2=2x0 若直线 l 的斜率不存在,当且仅当 x1+x2=0 时,ab 的垂直平分线 l 为 y 轴,经过抛物线的焦点 f。 若直线 l 的斜率存在,则其方程为 y=k(x-x0)+y0,kab=-1k。 由 1kab·x0=p 得:-kx0=14,∴x0=-14k。 若直线 l 经过焦点 f,则得:18=-kx0+y0=14+y0,y0=-14,与 y00 相矛盾。 ∴当直线 l 的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点 f。 综上所述,当且仅当 x1+x2=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 f。 ⑵当 x1=1,x2=-3 时,a(1,2) ,b(-3,18) ,x0=x1+x22=-1, y0=y1+y22=10. 由 1kab·x0=p 得:k=14。 ∴所求的直线 l 的方程为 y=14(x+1)+10,即 x-4y+41=0 二、椭圆 【规律探踪】在椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,若直线 l 与椭圆 相交于 m、n 两点 p(x0,y0) ,点是弦 mn 的中点,弦 mn 所在的直 线 l 的斜率为 kmn,则 kmn·y0x0=b2a2。 例 2 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 f1、f2, 离心率 e=22,右准线方程为 x=2。 ⑴求椭圆的标准方程; ⑵过点 f1 的直线 l 与该椭圆相交于 m、 n 两点, 且|f2m+f2n|=2263, 求直线 l 的方程。 解:⑴根据题意,得 e=ca=22 x=a2c =2 ∴a=2,b=1,c=1。∴所求的椭圆方程为 x22+y2=1. ⑵椭圆的焦点为 f1(-1,0) 、f2(1,0) 。设直线 l 被椭圆所截的 弦 mn 的中点为 p(x,y) 。 由平行四边形法则知:f2m+f2n=2f2p。 由|f2m+f2n|=2263 得:|f2p|=263。 ∴(x-1)2+y2=269.?????????????① 若直线 l 的斜率不存在,则 l⊥x 轴,这时点 p 与 f1(-1,0)重 合,|f2m+f2n|=|2f2f1|=4,与题设相矛盾,故直线 l 的斜率存在. 由 kmn·yx=-b2a2 得:y

相关文章:
用点差法巧解弦中点问题
用点差法巧解弦中点问题解决直线被圆锥曲线所截得的弦中点有关问题时, 通常...x, y ? ,因为 P 是弦 AB 的中点,由中点 坐标公式得: x1 ? x2 ? 2 ...
巧用点差法公式解决中点弦问题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 巧用点差法公式解决中点弦问题 作者:傅景华 来源:《中学课程辅导· 教学研究》2013 年第 22 期 解析几何中的圆锥曲线是...
巧用点差法公式解决中点弦问题
巧用点差法公式解决中点弦问题_数学_高中教育_教育专区。巧用点差法公式解决中点弦问题 解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点,而其中的计 算往往是非常困...
第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
第7 讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆 x2 y2 + = 1( a > b >0)中,若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y 0 ) ...
第7讲_点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
第7 讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆 x2 y2 ? ? 1( a > b >0)中,若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) a2...
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 定理 在椭圆 x2 y2 ? ? 1( a > b >0)中,若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是 a2 b2...
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚(邮政编码 530007) 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题和解答题中都是命题...
解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用
巧用点差法公式解决中点... 暂无评价 3页 ¥3.00 点差法公式在椭圆中点弦...“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型...
高三用点差法解中点弦问题专题教案
高三用点差法解中点弦问题专题教案_数学_高中教育_教育专区。教师公开课,教学生...巧用点差法公式解决中点... 暂无评价 4页 ¥3.00 优质课评比正式教案.点差...
更多相关标签:
椭圆中点弦公式点差法 | 点差法求中点轨迹方程 | 点差法公式 | 椭圆点差法公式 | 抛物线点差法公式 | 双曲线点差法公式 | 中点坐标公式 | 中点公式 |