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黑龙江大庆实验中学2016届高三考前得分训练(一)数学(文)试题


2016 年大庆实验中学 文科数学得分训练试题(一)
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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题

给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.)
1.设全集 I ? R ,集合 A ? y y ? log 3 x, x ? 3 , B ? x y ? A. A ? B B. A ? B ? A C. A ? B ? ?

?

?

?

x ? 1 ,则(

D. A ? ?I B ? ?

? ?

?

)

2.设 i 为虚数单位,则复数

A. 4 ? 3i D. 4 ? 3i 3 . 已知 ? , ? , ? 为互不重合的三个平面,命题 p : 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? ;命题 q : 若 ? 上不共线的三点到 ? 的距离相等,则 ? ∥ ? .对以上两个命 题,下列结论中正确的是( ) A.命题“ p ? q ”为真 B.命题“ p ? ?q ”为假 C.命题“ p ? q ”为假 D.命题“ ? p ? q ”为真 4 .向平面区域 ? ?

3 ? 4i ?( ) i B. ?4 ? 3i C. ?4 ? 3i

?( x, y) 0 ? x ? ? , ?1 ? y ? 1? 投掷一点 P,则点 M ? ?( x, y ) y ? cos x, 0 ? x ? ? ? 的概率为( )
A.

P 落入区域

1 3

B.

1 2

C.

? 4

D.

? 2

5 . 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,且 c ? 4 2 , B ? ( ) A.

?
4

,面积 S ? 2 ,则 b 等于

113 B. 5 C. 41 D. 25 2 ? ? 1 6.函数 f ( x ) ? sin( x ? ) 的图象向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,那么所 3 2 6
得图象的一条对称轴方程为 A. x ?

?
4

B. x ? ?

?
4

(

)

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C. x ?

?
8

D. x ? ?

?
2
)

?x+y-3≤0,
7. 如果实数 x,y 满足不等式组?x-2y-3≤0,目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 6,则实数 k 的值为(

?

? ?x≥1,

A.1

B.2

C.3

D.4

8.如图给出的是计算 应填的语句分别是( A. i ? 40, n ? n ? 1 C. i ? 40, n ? n ? 2

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,则图中判断框内①处和执行框中的②处 2 4 6 40
) B. i ? 20, n ? n ? 2 D. i ? 20, n ? n ? 2
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9.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视图如图所示, 则其侧视图的面积为( ) A.

2 2

B.

1 2

1

C.

2 4

D.

1 4
)

10.函数 f ( x) ? 2 x ? A. (1,3)

2 ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是( x B. (1, 2) C. (0,3) D. (0, 2)

11 . 设 A1 , A2 分 别 为 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点 P,使得 a 2 b2

1 k PA1 ? k PA2 ? ? ,则该椭圆的离心率的取值范围是( ) 2 ? ? 2 ? 2? ? 1? A. ? 0, ? B. ? 0, C. ? ? ? ? ? 2 ,1? ? ? 2? ? 2 ? ? ?
12.定义区间 [ x1 , x2 ] 的长度为 x2 ? x1( x2 ? x1 ) ,函数 f ( x) ?

D. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

域都是 [m, n](n ? m) ,则区间 [m, n] 取最大长度时实数 a 的值为( A.

(a 2 ? a) x ? 1 (a ? R, a ? 0) 的定义域与值 a2 x


2 3 3

B.-3

C.1

D.3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选 考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.) 13.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 3:5:7,现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的 样本,其中甲种产品有 18 件,则样本容量 n = .

1 8 ? 的最小值为 m n ? ? 15 . 在三棱柱 ABC? A1B1C1 中侧棱垂直于底面, ?ACB ? 90 , ?BAC ? 30 , BC ? 1 ,且三棱柱 . ABC ? A1B1C1 的体积为 3,则三棱柱 ABC ? A1B1C1 的外接球的表面积为
14.已知向量 a ? ? m,1? , b ? ? 4 ? n, 2 ? , m ? 0, n ? 0 ,若 a ∥ b ,则 16.给出以下四个结论:

?

?

?

?

x ?1 1 1 的对称中心是 ( ? , ? ) ; 2x ? 1 2 2 1 (2)若关于 x 的方程 x ? ? k ? 0 在 x ? (0,1) 没有实数根,则 k 的取值范围是 k ? 2 ; x (3)已知点 P (a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧, 则 3b ? 2a ? 1 ;
(1)函数 f ( x ) ? (4)若将函数 f ( x) ? sin(2 x ? 其中正确的结论是:

?
3
.

) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后变为偶函数,则 ? 的最小值是

? , 12

三、解答题( 本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ?n ? 2?2 a ?n ? N ? ? 17(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 4?S n ? 1? ? n n ?1 (1)求数列的通项公式 an ; 3 n ?1 (2)设 bn ? , 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 an
18(本小题满分 12 分)已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试,学校决定 利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查,先将 800 人按 001,002,?,800 进行编号; (1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检查的 3 个人的编号; (下面摘取了第 7 行到第 9 行)

2

y P B

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 Q (2)抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表: 成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向,纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为 良好的共有 20+18+4=42. 人数 数学 优秀 地理 优秀 7 良好 20 及格 5

D

O

A x

C

良好 9 18 6 及格 a 4 b ① 若在该样本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a,b 的值: ② 在地理成绩及格的学生中,已知 a ? 10, b ? 8, 求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率. 19(本题满分 12 分)已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长 正方形, ?PAD 是正三角形,平面 PAD ⊥平面 ABCD , E, F , G 分别 为4的 是

PD, PC, BC 的中点. (I)求平面 EFG ? 平面 PAD ; (II)若 M 是线段 CD 上动点,求三棱锥 M ? EFG 的体积.
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20(本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O : x ? y ? 4 ,椭圆 C :
2 2

x2 ? y 2 ? 1, 4

A 为椭圆右顶点.过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B, C 两点,直线 AB 与圆 O 的另一交点为 6 P ,直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ,其中 D(? , 0) .设直线 AB, AC 的斜率分别为 k1 , k2 . 5
(1)求 k1k2 的值; (2)记直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC ,是否存在常数 ? ,使得 kPQ ? ?kBC ?若存在,求 ? 值;若 不存在,说明理由; 21(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对任意 t ?

ax ? 1 . ex

?1 ? , 2 , f (t ) ? t 恒成立,求实数 a 的取值范围. ? ?2 ? ?

请考生在第 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框 涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分. 22(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 B 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线 交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P。 M P (1)求证:PM2=PA· PC A O
C (2)若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM 求:MN 的长 23(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为
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N D

? x ? ?2 ? 3t (y-2)2 ? x2 ? 1 交于 A、B ,它与曲线 C: (t为参数) ? ? y ? 2 ? 4t
(1)求|AB|的长 (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (2 2,

两点。

3? ) ,求点 P 到线段 4

3

AB 中点 M 的距离。 24(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (a ? R) (1)当 a ? 4 a=4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集 (2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。

4

2016 年大庆实验中学 文科数学得分训练试题(一)参考答案
1-5 ACCBB 13.90 6-10 DBBDC 11-12 CD 16. ?3??4 ?

9 14. 2

15. 8?

n ?1 n 3 2 2 a ?n ? 2? a ? ?n ? 1? a ,即 an ? ?n ? 1? ∴ n ? an?1 ? ? ? a2 ? 4 an ? n n ?1 33 n ?1 n an ?1 n3 ?n ? 1?3 n3
又当 n ? 1 时, a1 ? 8, n ? 2 时, a2 ? 27 ?an ? ?n ? 1? (2) bn ? ∴ Tn ?
3

17.(1)当 n ? 2 时,有 4?S n ? 1? ?

?n ? 2?2 a

, n 4?S n ? 1? ?

?n ? 1?2 a

n ?1

n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 an ? n ? 1? n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 2 2 ? 3 3? 4 n?n ? 1? 1 3 1 ? 1 1? ?1 1? 1 ? 1 1 ?1 ? . = ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?= ? ? 4 ? 2 3? ? 3 4? ? n n ?1? 4 2 n ?1 4
18. (1)最先检查的 3 个人的编号为 785,667,199. (2)①? 100 ? 30 % ? 7 ? 9 ? a,? a ? 14, b ? 100 ? 30 ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? 17,

? a ? 14, b ? 17 , ?10 ? a ? 23,8 ? b ? 21, ②由已知 a ? 10, b ? 8, a ? b ? 100? 16 ? 42 ? 11 ? 31
所有可能的情况有(10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16) , (16,15) , (17, 14) , (18,13) , (19,12) , (20,11) , (21,10) , (22,9) , (23,8)共 14 种,满足数学成绩优秀的人 数比及格的人数少的有(10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16)共 6 种情况, 所求概率 P=

19. (I)证明:? AD ? CD , PD ? CD ,∴ CD ? 平面 PAD, ??2 分 ∵EF//CD,∴ EF ? 平面 PAD, ???4 分 ∵ EF ? 平面 EFG,∴平面 EFG ? 平面 PAD; ???6 分 (II)解:∵CD//EF,∴CD//平面 EFG,故 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离 等于 D 到平面 EFG 的距离,∴ VM ?EFG ? VD?EFG , ??9 分

6 3 ? 。 14 7

S ?EFG ?

1 ? EF ? EH ? 2 ,平面 EFGH ? 平面 PAD 于 EH, 2

∴D 到平面 EFG 的距离即三角形 EHD 的高,等于 3 ∴ 20.解: (1)设 B( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 ) ,

VM ? EFG ?

2 3 ????12 分 3

x0 2 ? y0 2 ? 1 4 1 2 1 ? x0 2 y0 y0 y0 1 ? ? 2 ? 24 ?? 所以 k1 k 2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 x0 ? 4
(2)联立 ?

????5 分

? y ? k1 ( x ? 2)
2 2

?x ? y ? 4 2(k12 ? 1) ?4k1 解得 xP ? , , yP ? k1 ( xP ? 2) ? 2 1 ? k1 1 ? k12

得 (1 ? k12 ) x2 ? 4k12 x ? 4(k12 ?1) ? 0 ,

5

? y ? k1 ( x ? 2) ? 得 (1 ? 4k12 ) x2 ?16k12 x ? 4(4k12 ?1) ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ? 4 ? 4k1 2(4k12 ? 1) 解得 x B ? , y B ? k1 ( x B ? 2) ? ????9 分 2 1 ? 4k12 1 ? 4k1 ?4k1 yP 1 ? k12 ?5k yB ?2k1 所以 k BC ? , k PQ ? ? ? 2 1 , ? 2 2 6 2(k1 ? 1) 6 4k1 ? 1 xB 4k1 ? 1 xP ? ? 5 1 ? k12 5 5 5 5 所以 k PQ ? k BC ,故存在常数 ? ? ,使得 k PQ ? k BC . ????12 分 2 2 2 x ?1 ?x ? 2 21. (I)当 a ? 1 时 , f ( x ) ? x ? f ?( x) ? ?????2 分 ex e 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 2, f ?( x ) ? 0 得 x ? 2 ? f ( x ) 的单调递增区间为 (??,2) ,单调递减区间为 (2, ??) .?????4 分 ax ? 1 ?1 ? ?1 ? > x 恒成立, (II)若对任意 t ? , 2 , 使得 f (t ) ? t 恒成立, 则 x ? , 2 时, ? ? ? ? ex ?2 ? ?2 ? 1 ?1 ? x 即 x ? , 2 时, a ? e ? 恒成立????????????6 分 ? ? x ?2 ? 1 1 1 1 x x 设 g ( x ) ? e ? , x ? [ , 2] ,则 g ?( x ) ? e ? 2 , x ? [ , 2] x 2 x 2 1 2 1 1 x x 设 h ( x ) ? e ? 2 , h?( x ) ? e ? 3 ? 0 在 x ? [ , 2] 上恒成立? h( x ) 在 x ? [ , 2] 上单调递增 x x 2 2 1 1 x 即 g ?( x ) ? e ? 2 在 x ? [ , 2] 上单调递增??????8 分 x 2 1 1 1 1 1 Q g ?( ) ? e 2 ? 4 ? 0 , Q g ?(2) ? e2 ? ? 0 ? g ?( x ) ? e x ? 2 在 [ , 2] 有零点 m 4 x 2 2 1 1 x ? g ?( x ) ? e ? 2 在 [ , m ] 上单调递减,在 (m,2] 上单调 递增?????10 分 x 2 ?a ? e ? 2 1 ? 1 ?a ? g ( ) ? 2 ,? a ? e ? ????????12 分 ?? 2 ,即 ? 1 2 2 ? ?a ? e ? B ? a ? g (2) ? 2 22.解: (Ⅰ) 连结 ON,则 ON ? PN ,且 ?OBN 为等腰三角形,则 ?OBN ? ?ONB , ? ?PMN ? ?OMB ? 90? ? ?OBN , M P ? ?PNM ? 90 ? ?ONB ? ?PMN ? ?PNM , C A O ? PM ? PN . ??3 分
联立 ? x 2 由 条 件 , 根 据 切 割 线 定 理 , 有

PN 2 ? PA? PC , 所 以

N D

PM 2 ? PA? PC .??5 分
(Ⅱ) OM ? 2 ,在 Rt ?BOM 中, BM ? OB2 ? OM 2 ? 4 . 延长 BO 交⊙ O 于点 D,连结 DN.由条件易知

BO BM 2 3 4 ? ,即 ,得 BN ? 6 .?8 分 ? BN BD BN 4 3 所以 MN ? BN ? BM ? 6 ? 4 ? 2 . ??10 分 2 23.解: (Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t ? 12t ? 5 ? 0
?BOM ∽ ?BND ,于是

6

12 5 , t1t 2 ? ? . ??3 分 7 7 10 71 2 2 2 所以 AB ? (?3) ? (?4) t1 ? t 2 ? 5 (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? . ??5 分 7 (Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数 t ?t 6 为 1 2 ? . ??8 分 2 7 6 30 所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为 PM ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? ? . ??10 分 7 7
设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 24.解:: (Ⅰ) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 ?x ? 4 或? 或? ,解得: x ? 0 或 x ? 5 . ? ??2 x ? 5 ? 5 ?2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5 故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} . ??5 分
(Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以: f ( x)min ? a ?1 由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 . ??10 分 ??8 分

7


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