当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列的前n项和


等差数列的前 n 项和
一、教学内容分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学(5) 》 (人教 A 版)中第 二章的第三节“等差数列的前 n 项和” (第一课时) 。本节课主要研究如何应用倒序相加 法求等差数列的前 n 项和以及该求和公式的应用。 它是进一步学习数列知识和解决一类 求和问题的重要基础和有力工具。通过对公式推导,可以让学生进一步掌握从特殊到一 般的研究问题方法,对培养学生的创新意识和发展学生的思维能力有重要的作用。 根据实际教学处理,等差数列的前 n 项和这部分内容共分为三个层次:第一层次教 师通过引导学生对实际问题的探索,总结;第二层次带着疑问,通过倒序相加法求得等 差数列的前 n 项和公式;第三层次利用等差数列的前 n 项和进行简单的应用。学生通过 对等差数列的前 n 项和公式的探索、发现和证明,感受“观察——归纳——证明——应 用”这一思维方法,养成善于总结、善于思考的品质和勇于求真的精神。 二、学生学习情况分析 我所教学的学生是我校高二(1)班的学生,经过一年的学习,大部分学生知识经 验已较为丰富,他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演 绎推理能力,但也有一部分学生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授 课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理 发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质; 同时学生已有了函 数知识,因此在教学中可适当渗透函数思想。高斯的算法与一般的等差数列求和还有一 定的距离,如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的障碍。 三、设计思想 本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学 生独立自主和合作交流为前提,以问题为导向设计教学情境,以“等差数列的前 n 项和 公式的发现和证明”为基本探究内容,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问 题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,在知识的形成、 发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思 维的能力。 四、教学目标 1.知识与技能目标: 理解等差数列前 n 项和公式的推导过程;掌握等差数列前 n 项和公式及推导思想方 法并且能较熟练应用等差数列前 n 项和公式解决简单的实际问题。 2.能力与方法目标: 在公式的探索、发现中,体会数形结合的思想,渗透函数思想,体验从特殊到一般 的研究方法,培养学生类比思维能力,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感态度与价值观目标: 通过具体生动的现实问题,激发学生探究学习的兴趣和欲望,增强学生学习 数学的自信心,逐步养成科学严谨的学习态度,培养学生合作交流、独立思考等良好的 个性品质。

五、教学重点和难点 教学重点:探索并掌握等差数列前 n 项和公式,学会用公式解决一些实际问题。 教学难点:等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。 教学准备:制作多媒体课件 六、教学过程 (一)创设情境,让学生体验数学知识 教师: (多媒体展示三角形图案) , 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格, 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层,你知道这 个图案一共花了多少宝石吗? 学生:思考,提出应该计算 1+2+3+?+100=? 教师:如何计算呢? 学生:思考交流。 [设计意图]从实际问题入手,图中蕴含算数,能激发学生学 习新知识的兴趣,并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的 应用,为新课的讲解作铺垫。 教师:高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子” 。200 多年前,高斯的算术教师提出了下面的问题: 1+2+3+?+100=? 据说, 当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时, 10 岁的高斯却用下面的方法迅速算 出了正确答案: (1+100)+(2+99)+??+(50+51)=101×50=5050。 你能发现其中的规律吗? 学生:思考,交流,总结规律。在此过程中,教师引导。 [设计意图]高斯的算法蕴涵着求等差数列前 n 项和一般的规律性.教学时,应给 学生提供充裕的时间和空间,让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律。学生 对高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配对的方法来求和。 (二)循序渐进,在自主探究与合作中学习 教师: 图案中,第 1 层到第 51 层一共有多少颗宝石? 学生: 分组讨论,在合作中学习,并把小组发现的方法一一呈现,大致有以下几 种方法: 学生 1:原式=(1+2+3+??+50)+51 学生 2:原式=0+1+2+??+50+51 学生 3:原式=(1+2+?+25+27?+51)+26 教师:表示对学生赞赏,几种方法都有自己的道理。 [设计意图] 这是求奇数个项和的问题,若简单地摹仿高斯算法,将出现不能全部 配对的问题,借此渗透化归思想。 教师:在刚才的问题中,如果求图案中从第 1 层到第 n 层(1<n <100,n∈N*) 共有多少颗宝石? [设计意图]层层递进的启发,视学生具体情况而定,实际情景的提供,唤醒了学生记
1

忆深处的东西,并为“倒序相加求和法“的出现提供了一个直接的模型。 学生:通过激烈的讨论后,发现 n 为奇数时不能配对,分 n 为奇数、偶数的情况分 别求解。 教师:这种方法是可以的,我们能否仿照高斯算法来求呢?如果采用高斯算法,我 们应该怎么做呢? 学生:动手实验。一些学生得到结论。 [设计意图] 从求确定的前 n 个正整数之和到求一般项数的前 n 个正整数之和,让 学生领会从特殊到一般的研究方法,旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进。 教师:启发: (多媒体演示)如右图,在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与 原图补成平行四边形。这等价于: ∵1 + 2 + 3 +?(n-1) + n n +(n-1)+ (n-2)+? + 2 + 1
____________________________________________________________________

(n+1) +

(n+1) + (n+1)

+? +(n+1) +

(n+1)

∴1+2+3+?+n=

n ( n +1) 2

[设计意图] 借助几何图形的直观性,能启迪思 路,唤醒学生记忆深处的东西,并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型。 教师: 在公差为 d 的等差数列{an}中,定义前 n 项和 Sn=a1+a2+?+an,如何求 Sn? 【设计意图】层层推进,由特殊到一般,到一类,得到等差数列的前 n 项和公式。 学生:根据高斯算法,得出如下过程: ∵Sn=a1+a2+?+an =a1 + (a1+d) + (a1+2d) +?+[a1+(n-1)d] Sn= an+?+a2+ a1 =an + (an-d) +(an-2d)+?+[an-(n-1)d] ∴

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ??? ? (a1 ? an ) ?????? ? ??????? ?
n个

n(a1 ? an ) ? Sn ? 2

(公式 1)

教师:在公式 1 中若将 an=a1+(n-1)d 代入又可得出哪个表达式? 学生:动手演算,得到 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d (公式 2) 2

教师:很好!这样,我们就得到了等差数列的前 n 项和公式。 【设计意图】通过教师对学生的肯定评价,创造一个教与学的和谐环境,既激发学 生的学习兴趣,使紧接着的问题能更好地得到学生的认同,又有利于学生和教师的共同 成长。
2

(三)设置典例,深入探索 教师:通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析,根据公式各自的特点,帮 助学生恰当地选择合适的公式。 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了 《关于在中小学实施 “校校通” 工程的统治》 。 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小 学建成不同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元。 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 教师:引导学生提取有用信息,构建等差数列模型,板演。 学生:独立思考,小组讨论,探究解法,教师引导,采用两种方法,得出结论。 【设计意图】 该例题是将课本 P46 习题 2.3A 组第 3 题改编成表格形式, 可以锻炼 学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发,选用 公式 1;也可以从首项、公差、项数出发,选用公式 2,通过两种方法的比较,引导学 生在解题时注意选择适当的公式,以便于计算。 例 2 已知等差数列 5,4

2 7

,3

4 7

,?

求(1)数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前几项和为

125 ? 7

(3)Sn 的最大值为多少?并求出此时相应的 n 的值。 师生共同讨论,得出结论。 [设计意图] 通项公式与求和公式中共有 a1、d、n、an、Sn 五个基本元素,如果已 知其中三个,就可求其余两个,主要是训练学生的方程(组)思想。第(3)小题是让 学生初步接触用函数观点解决数列问题,为以后函数与数列的综合打下基础。 (四)指导应用,鼓励创新 练习 1 已知等差数列{an}的前 10 项和是 310,前 20 项的和是 1220,求前 n 项和 Sn. 练习 2 等差数列{an}中,a1= - 4, a8= -18, n=8,求公差 d 及前 n 项和 Sn. 学生动手,教师多媒体展示详细解答过程。 [设计意图] 让学生熟练掌握公式,加深对公式的认识和应用,培养学生思维的 灵活性。 (五)小结概括,深化知识 组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法, 小组之间互相补充完成课堂 小结,实现对等差数列前 n 项和公式的再次深化. 1.从特殊到一般的研究方法; 2.体会倒序相加的算法,掌握等差数列的两个求和公式,领会方程(组)思想; 3. 前 n 项和公式的函数意义 (六)布置作业
3

1.必做题:课本 P46 习题 2.3,第 1 题(1) (3) ,第 2 题(3) (4) 2.探索题 数列{

1 1 } 的 前 n 项 和 Sn = n ( n +1) 1× 2

+

1 2× 3

+

1 3× 4

+ ?+

1 ,求 Sn ; n× ( n +1)
[设计意图]必做题是让学生巩固所学的知识, 熟练公式的应用。 根据班级的特点, 为了促进数学成绩优秀学生的发展,培养他们分析问题解决问题的能力,我设计了探索 题,达到分层教学的目的,同时又关注学习基础比较差的学生。 七、教学反思 根据教学经历和学生的反馈,本人对本堂课有如下几点反思: (1)在教学过程中,以故事引课,增强学生的好奇心,激发学生的学习欲望和热情。 以问题为纽带,通过三个问题组织学生讨论,由特殊到一般,循序渐进。 (2)借助几何直观,启发学生独立思考,讨论交流,对问题进行层层递进的探究,使 学生从不同的思维角度掌握了等差数列的前几项和公式,从中深刻领会推导过程所蕴涵 的逻辑推理方法和数学思维方法。 (3)如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习,灵活把握课堂教 学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题。

4


赞助商链接
相关文章:
《等差数列的前n项和》教学设计
等差数列的前n项和》教学设计 - 教材分析: 等差数列的前 n 项和是人教实验版必修 5 第二章第 3 节的内容,是学生学习 了等差数列的定义 、通项公式后,...
等差数列及其前n项和专题训练
等差数列及其前n项和专题训练 - 等差数列及其前 n 项和专题训练 A 组 考点能力演练 1.已知等差数列{an}满足:a3=13,a13=33,则数列{an}的公差为( A.1 B...
高一数学等差数列的前n项和市优质课教案 人教版
高一数学等差数列的前 n 项和市优质课教案(一)教学目标 :一、知识与技能目标: 1 掌握等差数列前 n 项和公式, 2 能较熟练应用等差数列前 n 项和公式求和。...
等差数列前n项和公式导学案(一)
等差数列前n项和公式导学案(一) - 等差数列的前 n 项和(一) 一、等差数列前 n 项和 1、数列 2、引入 (2)如图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一 层...
等差数列前n项和的最值问题的两个解法
等差数列前n项和的最值问题的两个解法_军事/政治_人文社科_专业资料。等差数列前 n 项和的最值问题的两个解法 求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法: 1...
等差数列前n项和的最值求解方法
等差数列前n项和的最值求解方法 - 等差数列前 n 项和的最值求解方法 例 1 设等差数列{ an }的前 n 项和为 n ,已知 a3 =12, s12 >0, s13 ? 0 ...
数列前n项和的求法总结
一. 公式法(1) 等差数列前 n 项和: (2) 等比数列前 n 项和: 时, 时, (3) 其他公式:( ;) 例题 1:求数列 解: , , , , , 的前 n 项和 Sn...
《等差数列前n项和公式》教学设计
《等差数列前n项和公式》教学设计 - 《等差数列的前 n 项和》教学设计 一、设计理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展, 让学生利用自己的原有...
等差数列前n项和求解方法
等差数列前n项和求解方法 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 等差数列前 n 项和求解方法 作者:胡建华 来源:《中学生数理化· 学研版》2015 年第 05 ...
《等差数列前n项和公式》教学设计
6.2.3《等差数列的前 n 项和公式》教学设计 《等差数列的前 n 项和公式》教学设计职业技术学校 刘老师 大纲分析: 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个...
更多相关标签: