当前位置:首页 >> 数学 >>

高考文科数学基础自己复习之二


数学基础知识与典型例题复习之二函数 函 1.函数定义:函数就是定义在 例 3.已知扇形的周长为 20,半径为 r ,扇形面 数 非空数集 A,B 上的映射,此 积 为 S , 则 S ? f (r ) ? ;定义域 时称数集 A 为定义域,象集 为 。 C={f(x)|x∈A}为值域。 x 2 ? 3x ? 4 例 4. 求函数 f ( x ) ? 的定义域. 2.函数的三要素:定义域,值 x ?1 ? 2 域,对应法则. 从逻辑上讲, 定义域,对应法则决定了值 域,是两个最基本的因素。 3. 函数定义域的求法: 列出使 函数有意义的自变量的不等 关系式, 求解即可求得函数的 定义域.常涉及到的依据为: ① 分母不为 0;②偶次根式中被 开方数不小于 0;③对数的真 数大于 0,底数大于零且不等 例 5. 若函数 y ? f (x) 的定义域为[?1,1],求函 1 1 于 1;④零指数幂的底数不等 数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。 于零; ⑤实际问题要考虑实际 4 4 意义等. 注:求函数定义域是通过解关 于自变量的不等式(组)来实 现的。 函数定义域是研究函数 性质的基础和前提。 函数对应 法则通常表现为表格, 解析式 和图象。 函 4.函数值域的求法:①配方法 1 ? x2 例 6. 已 知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f ? g ( x) ? ? 2 (x?0), 数 (二次或四次);②判别式法; x ③反函数法(反解法) ;④换 1 求 f ( ). 元法(代数换元法) ;⑤不等 2 式法;⑥单调函数法. 注:⑴求函数值域是函数中常 见问题,在初等数学范围内, 直接法的途径有单调性, 基本 不等式及几何意义, 间接法的 途径为函数与方程的思想, 表 现为△法,反函数法等,在高 等数学范围内, 用导数法求某 些函数最值 (极值) 更加方便. ⑵常用函数的值域, 这是求其 他复杂函数值域的基础。 ①函数 y ? kx ? b(k ? 0, x ? R) 的值域 例 7. 求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域.



R; ② 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0, x ? R) 当 a ? 0 时值
2
2

域是 [ 4ac ? b , ??) ,当 a ? 0 时值
4a

域是 ( ??,

4ac ? b 2 4a
x

];③反比

例函数 y ? k (k ? 0, x ? 0) 的值域 为 { y | y ? 0} ; ④ 指 数 函 数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1, x ? R) 的 值 域 为 R ? ;⑤对数函数 y ? loga x ? 例 8. 下列函数中值域为 ?0 , ? ? 的是( ) (a ? 0, 且a ? 1, x ? 0) 的值域为 R; 1? x 1 ?1? ⑥ 函 数 y ? sin x, y ? cos x( x ? R) (A) y ? 5 2? x (B) y ? ? ? ?3? 的 值 域 为 [-1 , 1] ; 函 数 x ? ?1? , y ? tan x, x ? k? ? y ? cot x (C) y ? ? ? ? 1 (D) y ? 1 ? 2 x 2 ?2? ( x ? k? , k ? Z ) 的值域为 R; 单 函数的单调区间可以是整个 例 9.讨论函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的单调性。 调 定义域, 也可以是定义域的一 性 部分. 对于具体的函数来说可 能有单调区间, 也可能没有单 调区间,如果函数在区间(0, 1)上为减函数,在区间(1, 2)上为减函数,就不能说函

( 1 )(, 上 数 在 0, ? 1 2) 为 减 函 数.
单 单调性: 研究函数的单调性应 调 结合函数单调区间, 单调区间 性 应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法: ①定 义法 (作差比较和作商比较) ; ②图象法; ③单调性的运算性 质(实质上是不等式性质) ; ④复合函数单调性判断法则; ⑤导数法(适用于多项式函 数) 函数单调性是函数性质中最 活跃的性质, 它的运用主要体 现在不等式方面,如比较大 小,解抽象函数不等式等。 例 10. 函数 y ? 2 在定义域上的单调性为 ( ) (A)在 ?? ?,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是增函 数;(B)减函数;(C)在 ?? ?,1? 上是减函数, 在 ?1,??? 上是减函数;(D)增函数 例 11.已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函数,求 证:f [g (x)]在 R 上也是增函数。
1 x ?1

奇 1.⑴偶函数: f (? x) ? f ( x) .设 例 12.判断下列函数的奇偶性: 偶 ( a, b )为偶函数上一点,则 1? x ① f ( x) ? ( x ? 1) , 性 ( ?a, b )也是图象上一点. 1? x ⑵偶函数的判定: 两个条件同 时满足①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上 不 是 偶 函 数 . ② 满 足 或 f ( ? x ) ? f ( x) , f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 , ② f ( x) ? x 2 ? 1 1 ? x 2 , f ( x) 若 f ( x) ? 0 时, ? 1.
f (?x)

2.⑴奇函数: f (? x) ? ? f ( x) .设 ( a, b )为奇函数上一点,则 ( ?a,?b )也是图象上一点. ⑵奇函数的判定: 两个条件同 时满足①定义域一定要关于 ? x 2 ? x ( x ? 0) ? 原点对称, 例如:y ? x 3 在 [1,?1) ③ f ( x) ? ? 2 上不是奇函数. ②满足 ? x ? x ( x ? 0) ? f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 若 f ( x) ? 0 时,
f ( x) ? ?1 . f (?x)

指 2. 对 数 函 数 : 如 果 a 例 21.设 x, y, z ? (0,??) 且 3 x ? 4 y ? 6 z , 数 ( a ? 0, a ? 1 ) 的 b 次 幂 等 于 函 1 1 1 ⑴ 求证: ? ? ;⑵比较 3x,4 y,6 z 的大小. b 数 N, x 2y z 就是 a ? N , b 就叫做以 数 与 a 为底的 N 的对数,记作 对 数 loga N ? b( a ? 0, a ? 1 ,负数和 函 零没有对数) ;其中 a 叫底数, 数 N 叫真数. ⑴对数运算:
① log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N M ? log a M ? log a N N ③ log a M n ? n log a M ② log a 1 ④ log a n M ? log a M ? n log a N ⑤a ?N ⑥换底公式: a N ? log log b N log b a

例 22.已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2 log x 2 , 试比较 f ( x)和g ( x) 的大小。

注:函数定义域关于原点对称是判 断函数奇偶性的必要条件, 在利用 定义判断时, 应在化简解析式后进 行,同时灵活运用定义域的变形, 如 f (? x) ? f ( x) ? 0 , f (? x) ? ?1 ( f(x)
f ( x)

⑦推论: a b ? log b c ? log c a ? 1 log ? log a1 a2 ? log a2 a3 ? ... ? log an?1 an ? log a1 an (以上M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a2 ,..., an ? 0且 ? 1)

例 23.求函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3x ? 18) 的单调减区
2

间,并用单调定义给予证明。

≠0)

例如: log a x 2 ? 2log a x(? 2log a x 例 19.函数 y ? a x ?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象 必经过点( ) (A)(0,1) (B)(1,1) (C) (2, 0) (D) (2,2) 3 例 20. 3 log 7 2 ? log 7 9 ? 2 log 7 ( ) 2 2 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R).

指 数 函 数 与 对 数 函 数

1. 指 数 函 数 : y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值 域为( 0,?? ).⑴①当 a ? 1 ,指 数函数: y ? a x 在定义域上为 增函数;②当 0 ? a ? 1 ,指数 函数: y ? a x 在定义域上为减 函数.⑵当 a ? 1 时, y ? a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1时,则相反.

例 24. 求下列函数的定义域、值域: 2 1 ① y ? 2 ?x ?1 ? ; ② y ? log 1 (? x 2 ? 4 x ? 5) 4 3 ⑵ y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) 与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越 大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反.

y轴对称 3x ? 7 1 图 ①y = (x)??? ? y ? f( ? x) f ? 例 25.讨论函数 y ? 的图象与 y ? 的图 x轴对称 象 ②y =f(x) ??? ? y ? ? f(x) x?2 x ? 象的关系。 变 ③ y =f ( x ) 换 ?原点对称 ? y ? ? f( ? x) ??? ④y=f(x)→y=f(|x|),把x轴上 方的图象保留, x轴下方的图 象关于x轴对称 ⑤y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右 边的图象保留, 然后将y轴右 边部分关于y轴对称。 (注意: 它是一个偶函数) ⑥伸缩变换:y=f(x)→y=f(ω x), y=f(x)→y=Af(ω x+φ )具 体参照三角函数的图象变换。 注:一个重要结论: f(a-x) 若 =f(a+x),则函数 y=f(x)的图 像关于直线 x=a 对称; 一 1.一元一次函数: y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减 次 函数; 函 b 数 2.一元二次函数:一般式: y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是 x ? ? ;顶点为 与 2a 二 (? b , 4ac ? b2 ) ;两点式: y ? a( x ? x )( x ? x ) ;对称轴方程是 ;与 x 轴的 1 2 2a 4a 次 ;顶点式: y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是 ;顶 函 交点为 ; 数 点为

一 ⑶二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ? 0 次 的两根为 x1 , x 2 ;则: 函 根的情 x1 ≥ x2 ? k x1 ≤ x2 ? k x1 ? k ? x 2 数 况 与 在区间 (k ,??) 上 在区间 (??, k ) 上 在区间 (k ,??) 或 等价命 二 题 (??, k ) 上有一根 有两根 有两根 次 函 Δ ? ≥0 Δ ? ≥0 数 ? b ? b ? ? 充要条 ?k ?k a·f(k)<0 ?? ?? 件 2a ? 2a ? ? ? a ? f ( k ) ? 0。 ? a ? f ( k ) ? 0。 ?
?a ? f ( p) ? 0 另外:①二次方程 f(x)=0 的一根小于 p,另一根大于 q(p<q) ? ? ? a ? f (q ) ? 0。 ? f ( p) ? 0 ②二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 ? (检 ?a ? f ( q ) ? 0
? f (q) ? 0 验)或 ? (检验) 。 ?a ? f ( p ) ? 0 ③若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的情况,得出结果,在令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。 注:常见的初等函数一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。 例 26. 当 0≤x≤1 时,函数 y=ax+a-1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值 范围是( ) 1 1 1 (A)a< (B)a>1 (C)a< 或 a>1 (D) <a<1 2 2 2 2 3 例 27.已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? a) x ? 1 在 (??,?1] 上递增,则 a 的取值范围是 ( ) (A) a ≤ 3 (B) ? 3 ≤ a ≤ 3

⑴一元二次函数的单调性: 当 a ? 0 时: 为增函数; 当 a ? 0 时: 为增函数; 为减函数;

为减函数;

⑵二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式,

(Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上,则当 a ? 0 时:在顶点处取得最小值, 最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最 小值在距离对称轴较远的端点处取得; (Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上,则当 a ? 0 时:最小值在距离对称轴较 近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a ? 0 时:最大值 在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;

一 次 函 数 与 二 次 函 (C) 0 ? a ≤ 3 (D) ? 3 ≤ a ? 0 数 2 例 28. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? (a 2 ? b) x ? c 的图像开口向上,且 f (0) ? 1 , ) f (1) ? 0 ,则实数 b 取值范围是( 3 3 (A) (??,? ] (B) [? ,0) (C) [0,??) (D) (??,?1) 4 4 x?0 ?1, ? x ? 0 ,则方程 x ? 1 ? (2 x ? 1) f ( x ) 的解为 例 29.设函数 f ( x ) ? ?0, . ?? 1, x?0 ?


相关文章:
浅谈高三文科数学的复习策略
因此如何根据文科学生的特点,在高考数学复习中提高学生的数学水平,这是我们教师在...(二)知识点的复习基础过关题的命制要细“细”即指以基本知识点为单位复习:...
2016年高三二轮复习计划-文科数学
学情分析 本期我担任高三文科数学教学工作。 本届高三学生基础相当薄弱, 处理...二、重点难点 参照近几年高考试卷(尤其是近三年的新课程试卷)中考查相对 稳定...
高中文科数学基本知识点总结
高中文科数学基本知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学高考复习...B ? {___ ___ ___};(2) A ? B ? {___ CU A ? {___ ___ ...
高考数学复习回归课本基础训练(文科)8
23页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 高考数学复习回归课本基础训练(文科)8 隐藏>> 高考复习回归...
高考文科数学基础题练习大全
高考文科数学基础练习大全_高考_高中教育_教育专区。高考文科数学基础练习大全...请说明你的理由 二.函数 1.函数的三要素:___,___,___, 1.函数的三要素...
高考数学复习回归课本基础训练(文科)5
q 高考复习回归课本基础训练(文科)2013.5.25 8.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切.则 C 的圆心轨迹为( A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆...
高考文科数学 科学复习、强化重点、回归基础
科学复习、强化重点、 高考文科数学 科学复习、强化重点、回归基础一、有哪些基础知识你清楚吗? 1、集合 2、简易逻辑 3、算法、框图 4、线性规划 5、复数 6、平...
高三文科数学复习的困惑与思考
如何在高考数学复习中提高文科学生 的数学成绩也是迫...文科生开始 害怕数学,厌恶数学,对数学的学习基本丧失...2.学生学习数学的习惯、思维习惯与数学学科的要求不...
2015届高考一轮复习基础知识检测数学(文科)
2015 届高考一轮复习基础知识检测数学(文科)一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共计 60 分) 2 1.已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x...
2016文科数学高考一轮复习进度
2016文科数学高考一轮复习进度_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 高考文科...线性规划(一)基本知识及画法和简单的求最优解 49.线性规划(二)含参问题及...
更多相关标签: