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4-4平面直角坐标系教案


4-4 第一讲: 平面直角坐标系 教学目标 1、了解用有序实数对确定点的位置,用方程刻画几何图形,体会坐标系的作用; 2、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 过程与方法 本节课首先通过实例让学生感受到建立适当的坐标系解决几何问题带来的方便, 然后在 三角函数图像变换的基础上了解坐标的伸缩变换。 情感态度价值观 “坐标法”是解析几何的始终,同学们在解决问题的过程中不断地体会“数形结合”的 思想方法。 教学方法: 启发法、诱导发现教学法 教材分析 选修 4-4 平面直角坐标系是在学生原有知识的基础上进行拓展, 通过本节课的学习学生 感受到应用坐标系解决几何问题带来的方便并在三角函数图形变换的基础上理解坐标系的 伸缩变换,对学生的知识进行了一定的拓展,并对数学的系统知识有了进一步的理解。 设计意图 本节课的设计首先通过实例让学生感受到建立适当的坐标系解决几何问题带来的方便, 然后在三角函数图像变换的基础上了解坐标的伸缩变换, 并进行实例应用让学生对知识加以 理解。 教学过程 一、平面直角坐标系 1、利用平面直角坐标系解决几何问题: 例 : 已 知 平 面 上 定 点 F1 , F2 且 F1 F2 =8 , 则 满 足 MF 1 ? MF2 =18 的 点 的 轨 迹 是 ( ) 。

练习:已知 A 为定点,线段 BC 在定直线 l 上滑动,已知 BC =4,点 A 到直线 l 的距离为 3, 求△ABC 的外心的轨迹方程。x2-6y+5=0 例:已知△ABC 的两个顶点 B(-2,0),C(2,0),顶点 A 在抛物线 y ? x ? 1 上移动,
2

求△ABC 的重心的轨迹方程。 y ? 3 x ?
2

1 3

二、平面直角坐标系中的伸缩变换: 1、 伸缩变换的定义: 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ?: ?

? x ' ? ?x(? ? 0) ? y ' ? ?y ( ? ? 0)

的作用下,点 P((x,y)对应到点 P ( ' x' , y' ) 称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换,简称为伸缩 变换。 2、伸缩变换中对λ ,μ 的理解: 1)当λ >1 时,横向拉伸变换,0<λ <1 横向压缩变换; 2)当μ >1 时,纵向拉伸变换,0<μ <1 纵向压缩变换。 例:在平面直角坐标系中,已知 ?: ?

?x ' ? 2 x ? y' ? 3 y

1) 求 2x+3y=0 经过伸缩变换后的图形; 哪个图形经过伸缩变换后得到 x 2 ? y 2 ? 1 解:1)由题可知: x ?

x' 1 , y ? y ' 代入 2x+3y=0 得: x ' + y' =0 2 3

2) (2 x) 2 ? (3 y) 2 ? 1 即 4 x 2 ? 9 y 2 ? 1 例:求满足下列条件的伸缩变换: 由曲线 4 x 2 ? 9 y 2 ? 1 变成 x 2 ? y 2 ? 1 解:设变换为 ?
2 2

? x ' ? ?x(? ? 0) 2 2 2 2 2 2 2 2 代入 x' ? y' ? 1则 (?x) ? (?y) ? 1 , ? x ? ? y ? 1 y ' ? ? y ( ? ? 0 ) ?
x2 y2 ? ?1 , 9 4

由 4 x ? 9 y ? 1 得,

1 ? x ' ? x ? 1 1 1 1 2 2 3 ? ? ,? ? , ? ? ,? ? , ?: , ? 1 9 4 3 2 ? y' ? y 2 ? 2 练习:在同一平面直角坐标系中,将曲线 x ? 36y 2 -8x+12=0 变成曲线 x' 2 ? y' 2 ?4 x' +3=0,
求满足图像变化的伸缩变换? 解:设变换为 ?: ?

? x ' ? ?x(? ? 0) 代入 x' 2 ? y' 2 ?4 x' +3=0 得 ?2 x 2 ? ? 2 y 2 ? 4?x ? 3 ? 0 y ' ? ? y ( ? ? 0 ) ?

?2

1 ? ? 2 ? 4? 3 ? ? ? , ? ? ,? ? 3 2 1 ? 36 ? 8 12
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? ' 1 x ? x ? ? 3 1. 在同一平面坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形 ?y' ? 1 y ? 2 ? 2 2 2 2 x x x y 2 ? ? 1; ? ?1 (1) (2) (3) y ? 2 x . 9 4 18 12

2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ? 求曲线 C 的方程并画出图像.

' ? ? x ? 3x 后,曲线 C 变为曲线 x '2 ? 9 y '2 ? 9 , ' ? ?y ? y

3.在同一平面直角坐标系中,求满足下列图像变换的伸缩变换: (1) 直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x ' ? y ' ? 4 ; (2) 曲线 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 变成曲线 x '2 ? 16y '2 ? 4 x ' ? 0

思考 如图,直角坐标系 x Oy 所在的平面为 ? ,直角坐标系 x ' oy ' Oy (其中 y ' 轴与 y 轴重合)所在 平面为 ? , ?xox ' ? 45 (Ⅰ)已知平面内有一点 P (2 2, 2) ,则点 P ' 在平面 ? 内的射影 P 的坐标为
2 2



(Ⅱ)已知平面 ? 内的曲线 C ' 的方程是 ( x '? 2) ? 2 y ' ? 2 ? 0 ,则曲线 C ' 在平面 ? 内的射影 C 的方程是 . 2 答案: (2,2) ( x ? 1) ? y 2 ? 1


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