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苏教版高中数学必修五教案(全册)-第二章 数列第十课时 等比数列的前n项和(二)


第十课时 等比数列的前 n 项和(二) 教学目标: 综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前 n 项求和公式解决相关问题,提高学 生分析、解决问题的能力. 教学重点: 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 教学难点: 灵活使用有关知识解决问题 教学过程: Ⅰ.复习回顾 前面我们学习了哪些有关等比数列的知识? an 定义式: =q(q≠0,n≥2) an-1 通项公式:an=a1qn 1(a1,q≠0) 若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq, - a1(1-qn) a1-anq Sn= = (q≠1) 1-q 1-q Sn=na1,(q=1) an=Sn-Sn-1(n≥2),a1=S1(n=1) Ⅱ.讲授新课 我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们. 1 1 1 [例 1]求和: (x+ )+(x2+ 2 )+…+(xn+ n ) (其中 x≠0,x≠1,y≠1) y y y 分析:上面各个括号内的式子均由两项组成,其中各括号内的前一项与后一项分别组成 等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和. 解:当 x≠0,x≠1,y≠1 时, 1 1 1 1 1 1 (x+ )+(x2+ 2 )+…+(xn+ n )=(x+x2+…+xn)+( + 2 +…+ n ) y y y y y y 1 1 (1- n ) + y y x(1-xn) x-xn 1 yn-1 = + = + n+1 n 1 1-x 1-x y -y 1- y 此方法为求和的重要方法之一:分组求和法. [例 2]已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,求证:a2,a8,a5 成等差数列. 分析:由题意可得 S3+S6=2S9,要证 a2,a8,a5 成等差数列,只要证 a2+a5=2a8 即可. 证明:∵S3,S9,S6 成等差数列,∴S3+S6=2S9 若 q=1,则 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,由等比数列中,a1≠0 得 S3+S6≠2S9,与题设 矛盾,∴q≠1, a1(1-q3) a1(1-q6) a1(1-q9) ∴S3= ,S6= ,S9= 且 1-q 1-q 1-q a1(1-q3) a1(1-q6) 2a1(1-q9) + = 1-q 1-q 1-q xkb1.com 整理得 q3+q6=2q9,由 q≠0 得 1+q3=2q6 又∵ a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3),∴ a2+a5=a1q· 2q6=2a1q7=2a8 ∴a2,a8,a5 成等差数列. 评述:要注意题中的隐含条件与公式的应用条件. [例 3]某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨,如果平均每年的产量比上一年增加 10%,那么从 第 1 年起,约几年内可使总产量达到 30 万吨(保留到个位)? 分析:由题意可知,每年产量比上一年增加的百分率相同,所以从第 1 年起,每年的产 量组成一个等比数列,总产量则为等比数列的前 n 项和. 解:设每年的产量组成一个等比数列{an},其中 a1=5,q=1+10%=1.1,Sn=30 ∴ 5(1-1.1n) =30,整理可得:1.1n=1.6 1-1.1 lg1.6 两边取对数,得 nlg1.1=lg1.6,即:n= ≈5 lg1.1 答:约 5 年内可以使总产量达到 30 万吨. 评述:首先应根据题意准确恰当建立数学模型,然后求解. Ⅲ.课堂练习 课本 P58 练习 1,2,3 Ⅳ.课时小结 通过本节学习,应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质

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