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柯西不等式2(学生)


已知 a,b ? R ? ,a+b=1, x1 , x2 ? R? ,

求证: ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ x1 x2

一般形式的柯西不等式
巩固练习: 1.已知 a , b 为任意实数,求证: (a4 ? b4 )(a2 ? b2 ) ≥ (a3 ? b3 )2
2 2 x y 2. 设 x, y ? R? ,求证: 2 ? 2 ≥1 y ? yx x ? yx

3.已知 x ? 2 y ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值.
1 2 4.设 x, y ? R ,且 x+2y=36,求 ? 的最小值. x y
?

5.求函数 y ? 2 1 ? x ? 2 x ? 1 的最大值.

猜想柯西不等式的一般形式
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n 2

(a ? a ? ? ? a )(b ? b ? ? b ) ≥ (a1b1 ? a2b2 ? ? anbb ) ②

定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式 设a1 , a 2 , a 3 , ? , a n , b1 , b2 , b3 , ? , bn是 实 数 ,则
(a ? a ? ? ? a )(b ? b ? ? b ) ≥ (a1b1 ? a2b2 ? ? anbb )
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n 2

当且仅当 bi ? 0( i ? 1,2, ? , n)或 存 在 一 个 数 k , 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2, ? , n)时, 等 号 成 立 。

例 1 已知 a1 , a2 ,?, an 都是实数,求证: 1 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ≤ a1 ? a2 ? ? ? an n

例 2 已知 a , b, c, d 是不全相等的正数,证明: a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

课堂练习: 1.设 x1 , x2 ,? xn ? R? , 且x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1,
2 2 2 xn x1 x2 1 求证: ? ??? ≥ 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n?1

2.已知实数 a , b, c , d , e 满足 a ? b ? c ? d ? e ? 8,

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? e 2 ? 16, 求 e 的取值范围. 1 4 9 ? 3.已知 x, y, z ? R ,且x ? y ? z ? 1, 求证: ? ? ≥ 36 x y z

课外练习: 1在?ABC中, 设 其 各 边 长 为 a , b, c , 外 接 圆 半 径 为 R,

1 1 1 2 求 证 : (a ? b ? c )( 2 ? ? ) ? 36 R si n A si n2 B si n2 C 2.设a , b, c为 正 数 , 且a ? b ? c ? 1,
2 2 2

1 2 1 2 1 2 100 求 证 : (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? a b c 3
3.若n是 不 小 于 2的 正 整 数 , 试 证: 4 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 7 2 3 4 2n ? 1 2n 2

4.设a , b, c ? R? , 且满足abc ? 1, 试证明 : 3 ? 3 ? 3 ? 3 a (b ? c ) b (a ? c ) c (a ? b) 2 1 1 1

课外思考:
2 2 a ? b ?1. 1.已知 a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1, 求证: 2.设 a,b,c 为正数且不相等,求证: 2 2 2 9 ? ? ? . a?b b?c c?a a?b?c 3. 设 x1 , x2 , ?, xn ? R ? , 求证:

2

2

x x x x2 ? ??? ? ≥ x1 ? x2 ? ? ? xn x2 x3 xn x1

2 1

2

2 n ?1

2 n


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