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2014年高考新课标1全国卷理科数学试题及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 1 理科数学 第Ⅰ卷
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的一项. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3… 0} , B ? {x | ?2? x ? 2} ,则 A ? B ? (

A . ??2, ?1?

B . ? ?1, 2?

C . ??1,1?

D . ?1, 2 ?

).

2.

(1 ? i )3 ? ( ). (1 ? i ) 2 A .1 ? i B .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i
).

3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是(

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B . f ( x) g ( x) 是奇函数

C . g ( x) f ( x) 是奇函数

D . f ( x) g ( x) 是奇函数
).

4.已知 F 是双曲线 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为(

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( ).

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP , 过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y ? f ( x) 在

?0, π? 上的图像大致为(

).

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M ? (

).

A.

20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8
).

8.设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则( 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 3? ? ? ?

?
2

C . 2? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

9.不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: x ? 2 y ? 4 ? p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 . 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 ,
). B . p1 , p2

其中真命题是( A . p2 , P 3

C . p1 , p4

D . p1 , P 3

10.已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个焦点,若
2

FP ? 4FQ ,则 | QF |? ( ). 7 5 C. A. B. 3 2 2

D .2
).

11.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围为(

A . ? 2, ???

B . ?1, ?? ?

C . ? ??, ?2?

D . ? ??, ?1?

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最 长的棱的长度为( ).

A .6 2

B .6

C .4 2

D .4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必 须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 .(用数字填写答案)

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知 A , B , C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a ? 2 ,且 (2 ? b )(sin A ? sin B ) ? (c ? b ) sinC , 则 ?ABC 面积的最大值为 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ;

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.

(Ⅱ)是否存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由.

18.(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分 布直方图:

(Ⅰ) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 (同一组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,其中 ? 近似为 样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s . (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间
2 2

?187.8, 212.2? 的产品件数,利用(i)的结果,求 EX .
2

附: 150 ? 12.2 ,若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) ? 0.9544 .

19.(本小题满分 12 分) 如图三棱锥 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 BB 1C1C 为菱形, AB ? B 1C .

(Ⅰ)证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o , AB ? BC ,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知点 A ? 0, ?2? ,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的右焦 a b 2 2 3 点,直线 AF 的斜率为 , O 为坐标原点. 3
(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程为 y ? e( x ? 1) ? 2 . x

(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE (Ⅰ)证明: ?D ? ?E ; (Ⅱ)设 AD 不是 O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB ? MC ,证明: ?ADE 为等边三角形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t (Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; o (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.
已知曲线 C :

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ)求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

参考答案
一、选择题 ADCAD CDCBB 二、填空题 13. ?20 三、解答题 17.(1)证明:由题意得 ? 14. A CB 15.

π 2

16.

3

所以 an?1an?2 ? an an?1 ? ?an?1 又因为 an ? 0 所以 an?1 ? 0 所以 an? 2 ? an ? ?

?an an?1 ? ? Sn ?1 ?an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1

(2)解:假设存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列. 由(1)知 ? 因为 a1 ? 1 所以 ?

?a1a2 ? ? a1 ? 1 ?a3 ? a1 ? ?

?a2 ? ? ? 1 ?a3 ? ? ? 1

因为 a1 ? a3 ? 2a2 所以 ? ? 4 故 an?2 ? an ? 4,

所以 ? ? 2 ? 2 ? ? ?1?

所以 ?a2n?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n?1 ? 4n ? 3;

?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 4n ?1.
所以 an ? 2n ?1, an?1 ? an ? 2. 因此存在 ? ? 4 ,使得 ?an ? 为等差数列. 18.解: (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ?210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200 2 2 2 s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22
?0 ? 0.33 ? 102 ? 0.24 ? 202 ? 0.08 ? 302 ? 0.02 ? 150

(2) (1)由(1)知, Z ~ ? 200,150? ,从而

P ?187.8 ? Z ? 212.2? ? P ? 200 ?12.2 ? Z ? 200 ?12.2? ? 0.6826
(2)由(1)知,一件产品的质量指标值位于区间 ?187.8, 212.2? 的概率为 0.6826

依题意知 X ~ B ?100,0.6826? ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 19.解: (1)连结 BC1 ,交 B1C 于 O ,连结 AO .因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ,且 O 为 B1C 与 BC1 的 中点. 又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1 (2)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO ? CO 又因为 AB ? BC ,所以 BOA ? BOC 故 OA ? OB ,从而 OA , OB , OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点, OB 的方向为 x 轴正方向, OB 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz . 因为 ?CBB1 ? 60 ,所以 CBB1 为等边三角形.又 AB ? BC ,则

? ? ? 3? 3 ? 3 ? A? 0, 0, , 0 ,0? , B ?1,0,0 ? , B1 ? 0, , C ? 0, ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3? 3? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? AB1 ? ? 0, , ? ? ? ? 3 ? ? ?, 3 3 ? ? ? ? ? 3 ? B1C1 ? BC ? ? ? 1, ? ,0? ? ? 3 ? ?
设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AA 1B 1 的法向量,

? 3 ?n ? AB1 ? 0 ? ? ? 3 即? ? ? ?n ? A1 B1 ? 0 ? x ? ? ? 所以可取 n ? 1, 3,

y?

3 z?0 3

?

3 z?0 3 3

?

设 m 是 平 面 A1 B1 C1的 法 向 量 , 则 同理可取 m ? 1, ? 3, 3 则 cos n, m ?

?

?
1 . 7

?m ? B1C1 ? 0 ? ? ? ?m ? A1 B1 ? 0

n?m n m

?

1 7

所以二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值为 20.解: (1)设 F ? c,0? ,由条件知, 又

2 2 3 ,得 c ? 3 ? c 3

c 3 2 2 2 ,所以 a ? 2 , b ? a ? c ? 1 ? a 2 x2 ? y 2 ? 1. 故 E 的方程为 4

(2)依题意设直线 l : y ? kx ? 2 将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1得 4 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0

2 2 当 ? ? 16 4k ? 3 ? 0 ,即 k ?

?

?

8k ? 2 4k 2 ? 3 3 时, x1,2 ? 4 4k 2 ? 1

4 k 2 ? 1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 1 2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d ? ,所以 OPQ 的面积 k 2 ?1
从而 PQ ?

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

S

OPQ

1 4 4k 2 ? 3 ? d ? PQ ? 2 4k 2 ? 1
OPQ

4t 4 ? t ?4 t? 4 t 4 7 因为 t ? ? 4 ,当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ? 时等号成立,且满足 ? ? 0 t 2 所以当 OPQ 的面积最大时, l 的方程为
2 设 4k ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S

?

2

y??

7 x ? 2. 2
a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e ? e , x x x

x 21.解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? ae ln x ?

由题意可得 f ?1? ? 2 , f ? ?1? ? e 故 a ? 1, b ? 2.
x (2)由(1)知, f ? x ? ? e ln x ?

设函数 g ? x ? ? x ln x ,则 g? ? x ? ? 1 ? ln x .

2 2 x ?1 e 从而 f ? x ? ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? . e x

? 1? ?1 ? ? e? ?e ? ? 1? ?1 ? 故 g ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增,从而 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 的最小值为 ? e? ?e ? 1 1 ? ? g? ? ? ? . e ?e? 2 ?x ?x 设函数 h ? x ? ? xe ? ,则 h? ? x ? ? e ?1 ? x ? . e 所以当 x ? ? 0,1? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 .故 h ? x ? 在 ? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递
所以当 x ? ? 0, ? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 . 减,从而 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 的最大值为 h ?1? ? ?

综上,当 x ? 0 时, g ? x ? ? h ? x ? ,即 f ? x ? ? 1 .

1 . e

22.(1)由题设得, A, B, C , D 四点共面,所以 ?D ? ?CBE ,所以 ?D ? ?E 由已知得, ?CBE ? ?E (2)设 BC中点为N ,连接 MN ,则由 MB ? MC ,知 MN ? BC 所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径, M 为 AD 中点,故 OM ? AD 即 MN ? AD 所以 AD // BC ,故 ?A ? ?CBE . 又 ?CBE ? ?E ,故 ?A ? ?E 由(1)知 ?D ? ?E 所以 △ADE 为等边三角形。

? x ? 2cos ? (? 为参数) ? y ? 3sin ? 直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0
23.(1)曲线 C 的参数方程为 ?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 5 4 d 2 5 ? tan ? ? 则 PA ? 其中 为锐角。且 ? 5sin( ? ? ? ) ? 6 3 sin 300 5 22 5 当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, PA 取得最大值 5 2 5 当 sin(? ? ? ) ? 1 PA 取得最小值 5
(2)在曲线 C 上任意取一点 P(2cos ? ,3sin ? ) 到 l 的距离为 d ? 24.(1)由 ab ?

1 1 2 ? ? 得 ab ? 2 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立。 a b ab

故 a3 ? b3 ? 2 a3b3 ? 4 3 且当且仅当 a ? b ?

2 时等号成立。

由于 4 3 ? 6 ,从而不存在 a, b使得2a ? 3b ? 6 。


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