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函数的单调奇偶及周期性


三、函数的性质 1.函数的单调性 (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是增函数. (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是减函数. (3)若函数 f ( x ) 在某个区间上总是递增(或递减)的,则该区间是函数的一个单调增(或减)区间.若 函数 f ( x ) 在整个定义域上总是递增(或递减)的,则称该函数为单调增(或减)函数. 2.函数的奇偶性 (1)若一个函数具有奇偶性,则它的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称, 那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件,即这个函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)若奇函数 y ? f ( x) 的定义域内有零,则由奇函数定义知 f (?0) ? ? f (0) ,即 f (0) ? ? f (0) ,所 以 f (0) ? 0 . (3)奇、偶性图象的特点 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个 函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的对称图形;反之,如果一个函数的图象是 y 轴 为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数. 例 4.设定义在 R 上的函数 y= f(x)是偶函数,且 f(x)在(-∞,0)为增函数.若对于 x1 ? 0 ? x2 ,且

x1 ? x2 ? 0 ,则有 (

) B. f (? x2 ) ? f (? x1 ) D. f (? x1 ) ? f ( x2 )

A. f (| x1 |) ? f (| x2 |) C. f ( x1 ) ? f (? x2 ) 【答案】D 举一反三:

【变式 1】(1)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 则( ) A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

1

(2)定义在 R 上的偶函数 f (x),对任意 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则( x2 ? x1



【解析】 (1)由函数 f ( x ) 是奇函数且 f ( x ) 在[0,2]上是增函数可以推知 f ( x ) 在[-2,2]上递增,又

f ( x ? 4) ? ? f ( x) ? f ( x ? 8) ? ? f ( x ? 4) ? f ( x) , 故 函 数 f ( x) 以 8 为 周 期 , f (?25) ? f (?1) , f (11) ? f (3) ? ? f (3 ? 4) ? f (1) , f (80) ? f (0) ,故 f (?25) ? f (80) ? f (11) .故选 D.
(2)由题知, f ( x ) 为偶函数,故 f (2) ? f (?2) ,又知 x∈[0,+∞)时, f ( x ) 为减函数,且 3>2>1, ∴ f (3) ? f (2) ? f (1) ,即 f (3) ? f (?2) ? f (1) .故选 A. 例 5.设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? ( A.{x|x<-2 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} B.{x|x<0 或 x>4} D.{x|x<-2 或 x>2} )

3 ? ? x ? 8, x ? 0 【思路点拨】先求 f ( x ) 的解析式,即 f ( x) ? ? 3 ,然后再去解 f ( x ? 2) ? 0 这个不等式。 ? ?? x ? 8, x ? 0

【解析】 当 x<0 时,-x>0,∴ f (? x) ? (? x)3 ? 8 ? ? x3 ? 8 ,又 f ( x ) 是偶函数,
3 ∴ f ( x) ? f (? x) ? ? x ? 8 ,∴ f ( x) ? ?
3 ? ? x ? 8, x ? 0 , 3 ? x ? 8, x ? 0 ? ?

?( x ? 2)3 ? 8, x ? 0 ? x ? 0 ?x ? 0 ? ∴ f ( x ? 2) ? ? ,? 或? . 3 3 3 ? ??( x ? 2) ? 8, x ? 0 ?( x ? 2) ? 8 ? 0 ? ?( x ? 2) ? 8 ? 0
解得 x>4 或 x<0,故选 B. 例 8. 已知函数 f ( x ) ? x ?
2

a (x≠0,常数 a∈R) . x

(1)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f ( x ) 在 x∈[2,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 【思路点拨】 (1)对 a 进行分类讨论,然后利用奇函数的定义去证明即可。 (2)由题意知,任取 2≤x1 <x2,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,即可得 a 的取值范围。 【答案】 (1)当 a=0 时,为偶函数;当 a≠0 时,既不是奇函数,也不是偶函数. (2) (-∞,16].
2

【解析】 (1) 当 a=0 时, f ( x) ? x2 , 对任意 x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , f (? x) ? (? x)2 ? x2 ? f ( x) , ∴ f ( x ) 为偶函数.当 a≠0 时, f ( x ) ? x ?
2

a (a≠0,x≠0) ,取 x=±1,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0 , x

∴ f (?1) ? ? f (1) , f (?1) ? f (1) ,∴函数 f (?1) ? f (1) 既不是奇函数,也不是偶函数. (2)解法一:设 2≤x1<x2,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ?

a a x ?x 2 ? x2 ? ? 1 2 ? [ x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a] ,要使函数 f ( x) 在 x∈[2,+∞)上为增 x1 x2 x1 x2

函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立.∵x1-x2<0,x1 x2>4,即 a<x1 x2 (x1+ x2)恒成立. 又∵x1+ x2>4,∴x1x2(x1+ x2)>16.∴a 的取值范围是(-∞,16]. 解法二:当 a=0 时, f ( x) ? x2 ,显然在[2,+∞)上为增函数. 当 a<0 时,反比例函数 当 a>0 时,同解法一. 举一反三:【变式 1】已知函数 f ( x ) ? kx ? (1)求实数 k 的值及函数的定义域; (2)判断函数在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明. 【答案】 (1)2 【解析】 (1) (2)单调递增 ? ??,0? ? 0, ??? ;

a a 2 在[2,+∞)上为增函数,∴ f ( x ) ? x ? 在[2,+∞)上为增函数. x x 1 ,且 f(1)=1. x

1 f (1) ? 1,? k ? 1 ? 1,? k ? 2 ,? f ( x) ? 2 x ? ,定义域为: ? ??,0? x

? 0, ??? .

(2)在(0,+∞)上任取 x1 , x2 , 且x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ?

1 1 1 = ( x1 ? x2 )(2 ? ? 2 x2 ? ) x1 x2 x1 x2 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 x2

x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, 2 ?
所以函数 f (2) ? 2 x ?

1 在 ? 0, ??? 上单调递增. x
2

类型四:函数的综合问题 例 10. (1)已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上最大值为 4,求实数 a 的值;
2 (2)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 ,x∈[-1,1],求函数 f ( x ) 的最小值.

【思路点拨】第(1)小题中应对二次项系数进行全面讨论,即按 a=0,a>0,a<0 三种情况分析; 第(2)小题中的抛物线开口方向确定,对称轴不稳定.
3

【答案】 (1)-3 或

3 ; (2)略 8

(1) f ( x) ? a( x ? 1)2 ? 1 ? a . ①当 a=0 时,函数 f ( x ) 在区间[-1,2]上的值为常数 1,不合题意; ②当 a>0 时,函数 f ( x ) 在区间[-1,2]上是增函数,最大值为 f (2) ? 8a ? 1 ? 4 , a ?

3 ; 8

③当 a<0 时,函数 f ( x ) 在区间[―1,2]上是减函数,最大值为 f (?1) ? 1 ? a ? 4 ,a=―3. 综上,a 的值为-3 或

3 . 8

(2) f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 ? ( x ? a)2 ? 2 ? a2 ,对称轴为直线 x=a,且抛物线的开口向上,如下图所示:

当 a≥1 时,函数 f ( x ) 在区间[―1,1]上是减函数,最小值为 f (1) ? 3 ? 2a ; 当―1<a<1 时,函数 f ( x ) 在区间[-1,1]上是先减后增,最小值为 f (a) ? 2 ? a2 ; 当 a≤―1 时,函数 f ( x ) 在区间[―1,1]上是增函数,最小值为 f (?1) ? 3 ? 2a . 【变式 1】设函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ,x∈[t,t+1],t∈R,求函数 f ( x ) 的最小值.

?t 2 ? 2t ? 2, t ? 1 ? 【答案】 f ( x) ? ?1, 0 ? t ? 1 ?t 2 ? 1, t ? 0 ?
【解析】 二次函数是确定的,但定义域是变化的,依 t 的大小情况作出对应的图象(抛物线的一段) , 从中发现规律.

f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ?1)2 ? 1 ,x∈[t,t+1],t∈R,对称轴为 x=1,作出其图象如下图所示:

2 当 t+1<1,即 t<0 时,如上图①,函数 f ( x ) 在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为 f (t ? 1) ? t ? 1 ;

当 1≤t+1≤2,即 0≤t≤1 时,如上图②,最小值为 f (1) ? 1 ;
4

当 t>1 时,如上图③,函数 f ( x ) 在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为 f (t ) ? t 2 ? 2t ? 2 .

?t 2 ? 2t ? 2, t ? 1 ? 综上有 f ( x) ? ?1, 0 ? t ? 1 ?t 2 ? 1, t ? 0 ?

函数的单调性、奇偶性及周期性综合训练卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且最小值为 1,则 f(x)在[-b,-a]上是( ) A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最小值是-1 D.减函数且最大值是-1 2.函数 f ( x ) ? A. 0 ? a ?

1 2

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是( ) x?2 1 B. a ? C.a<-1 或 a>1 D.a>-2 2
a b a b

3.已知 0<a<b<1,设 a , a , b , b 中最大为 M,最小为 m,那么( ) A. M ? a a , m ? b b B. M ? b b , m ? a a C. M ? a b , m ? b a ) D. 2 ? 2 ? 2
a c

D. M ? b a , m ? a b

4.函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b) ,则必有( A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C. 2
?a

? 2c

5.若 f(x)是奇函数,那么 y=f(x)反函数一定是( ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数

D.无法确定其奇偶性

6.设 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-2)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.不具有单调性 D.单调性由 m 确定

7.函数 f ( x) ? loga | x ? 1 | 在(0,1)上递减,那么 f(x)在(1,+∞)上是( ) A.递减且无最小值 B.递增且无最大值 C.递减且有最小值 D.递增且有最大值 8.已知函数 f(x)的最小正周期是 8,且等式 f(4+x)=f(4-x)对一切实数 x 成立,则 f(x) ( ) A.是偶函数不是奇函数 B.是奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数,也不是偶函数 9.如果 f(x)对一切实数 x 均有 f(a+x)=f(b+x) ,则 f(x)是( ) A.对称轴为 x ? C.以 T ?

a?b 的函数 2

B.对称轴为 x ?

a?b 为周期的函数 2

| a?b| 的函数 2 |a?b| D.以 T ? 为周期的函数 2

10.函数 y ?

4 x 2 ? 1 的单调性
1 4
B.在 [ ,?? ) 上单调递减,在 (?? , ] 上单调递增

A.在 [ ,?? ) 上单调递增,在 ( ?? ,? ] 上单调递减

1 4

1 4

1 4

5

C.在 [ ,?? ) 上单调递增,在 ( ?? ,? ] 上单调递减

1 2

1 2

D.在 [ ,?? ) 上单调递减,在 ( ?? ,? ] 上单调递增 )

1 2

1 2

11.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,则下列各点中,不在函数 y=f(x)图象上的点是( A.(-a,f(a) ) B.(-a,f(-a) ) C.(-a,-f(-a) ) D.(a,f(-a) ) 12.已知函数 f ( x) ?a n x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 是奇函数,则 a0 等于( ) A.-1 B.0 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) C.1 D.不能确定

13.定义在[-1,1]上的函数 y=f(x)是减函数,且是奇函数,若 f (a2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,则实 数 a 的取值范围是_______。

1 ? a 是奇函数,则常数 a=_________。 3 ?1 x x ? (a>0 且 a≠1)的奇偶性是________。 15.函数 y ? x a ?1 2
14.已知 f ( x ) ?
x

16.已知函数 f(x)在(0,+∞)上有意义,且单调递增,并且满足:对任意的 x、y∈(0,+∞) ,都 有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则不等式 f(x)<0 的解集是_________. 三、解答题(74 分) 17.若 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,它们有相同的定义域,且 f ( x ) ? g ( x ) ? (x)的表达式。 (12 分) 18.已知函数 f ( x) ? x 3 ? x, x ? R (1)指出 f(x)在定义域 R 的奇偶性与单调性; (只须写出结论,无须证明) (2)若 a,b,c∈R,且 a+b>0,b+c>0,c+a>0, 证明:f(a)+f(b)+f(c)>0。 (12 分) 19 . 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 且 对 于 定 义 域 内 任 意 的 x1 ? x 2 , 有

1 ,求 f(x) ,g x ?1

f ( x1 ? x2 ) ?

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论。 (12 分) f ( x2 ) ? f ( x1 )
x y

20.设 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且在(0,+∞)是递增的, f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)设 f(2)=1,解不等式 f ( x) ? f (

1 ) ? 2。 (12 分) x?3

21.如图 1-3-1 由 A 城运物到 B 城,先走一段水路 AD,再走一段公路 DB,已知水路运费是公路运费的 一半,AC=40 公里,BC=30 公里,问码头 D 建在何处才能使运费最省?(12 分)

6

22.已知 f ( x) ? x 2 ? c ,且 f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? 1) 。 (1)设 g(x)=f[f(x)],求 g(x)的解析式; (2)设? ( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问是否存在实数λ ,使? ( x) 在(-∞,-1)递减,且在(-1,0)上递增? (14 分) 参考答案 7.B 8.A 9.D 10.C 11.C 12.B

1.B 2.B

3.C 4.D

5.B 6.A

二、13. 1 ? a ?

1 ? 3 ? 33 14. 15.偶函数 16. (0,1) 2 2 1 1 ①,∴ f (? x) ? g (? x) ? ①′, x ?1 ? x ?1

三、17.解:∵ f ( x ) ? g ( x ) ?

∵f(x)是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ,g(x)是奇函数 ? g (? x) ? ? g ( x) , ∴①′ ? f ( x) ? g ( x ) ?

1 1 x ②,①+②得: f ( x ) ? 2 ,①-②得: g ( x ) ? 2 。 ? x ?1 x ?1 x ?1

18.解: (1)f(x)是定义域 R 上的奇函数且为增函数。 (2)由 a+b>0 得 a>-b,由增函数 f(a)>f(-b),且奇函数 f(-b)=-f(b) ,得 f(a)+f(b)>0。同理可得 f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0。相加得:f(a)+f(b)+f(c)>0。 19.解:∵ f ( x1 ? x2 ) ?

1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 )

?

1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) ?? ? ? f ( x1 ? x2 ) ,设 x ? x1 ? x2 ,则 ? x ? x2 ? x1 ,∴f(-x)=-f f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 )

( x) ;又∵f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)为奇函数。 20. (1)证明: f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,令 x=y=1,则有:f(1)=f(1)-f(1)=0,

x y

x 1 f ( xy) ? f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? f ( x) ? [ f (1) ? f ( y )] ? f ( x) ? f ( y ) 。 1 y y
(2)解:∵ f ( x) ? f (

1 ) ? f ( x) ? [ f (1) ? f ( x ? 3)] x?3
7

, ? f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ? 3x) ,∵2=2×1=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4) ∴ f ( x) ? f (

1 ) ? 2 等价于: f ( x 2 ? 3x) ? f (4) ①, x?3

且 x>0,x-3>0[由 f(x)定义域为(0,+∞)可得]。 ∵ x( x ? 3) ? x 2 ? 3x ? 0 ,4>0,又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴① ? x ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4 。又 x>3,∴原不等式解集为:{x|3<x≤4}。
2

21.解:设 AD=x 公里,则 CD=40-x 公里, BD ?

(40 ? x) 2 ? 30 2 公里。设每公里的水路费用 m,则

2 2 每公里的路费为 2m,由 A 城到 B 城的货物的总运费为: M ? mx ? 2m (40 ? x) ? 30 ①。令 y ?

M 显 m

然要求 M 最小值,只要求 y 最小值即可。把①整理得: 3x 2 ? 2(160? y) x ? (10000? y 2 ) ? 0 ①′,对方 程 ① ′ ? ? 0 ? 4(16 ? y) 2 ? 12(10000? y) 2 ? 0 ? y ? 40 ? 30 3 或 y ? 40 ? 30 3 ? 0 ( 舍 去 ) 。把 。 y ? 40 ? 30 3 代入①′解得 x ? 10(4 ? 3) ? 23 (公里) 答:将码头建在离 A 城约 23 公里处,运费最省。 22.解: (1)∵ f ( x) ? x 2 ? c ,∴ f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? c , ∴ g ( x) ? f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? c) ? ( x 2 ? c) 2 ? c 。 又 f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? c ? ( x 2 ? c) 2 ? c ? c ? 1 ,∴ g ( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 。 (2) ? ( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ? ? ( x 2 ? c) ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? 2 ? ? , 任取 x1 ? x 2 ,
4 4 2 2 2 则 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? x1 ? (2 ? ? ) x12 ? x2 ? (2 ? ? ) x 2 ? ( x12 ? x2 )(x12 ? x2 ? 2 ? ? ) ①。 2 2 ? ( x) 在 (??,?1) 上递减 ? x2 ? x1 ? ?1 ? x12 ? x2 ? x12 ? x2 ? 0 , x1 ? x 2 且 ? ( x) 递减 ? ①<0,又 2 2 2 x12 ? x2 ? 0 ,则: x12 ? x2 ? 2 ? ? ? 0 恒成立 ? ? ? x12 ? x2 ? 2, 2 2 x2 ? x1 ? ?1 ? 1 ? x12 ? x2 ? x12 ? x2 ? 2 ? 4 ? ? ? 4 ①′。 2 2 ? ( x) 在(-1,0)上递增 ? ?1 ? x2 ? x1 ? 0 ? x12 ? x2 ? x12 ? x2 ? 0。 2 2 x1 ? x 2 且 ? ( x) 递增 ? ①>0,又 x12 ? x2 ? 0 ,则 x12 ? x2 ? 2 ? ? ? 0 恒成立 2 2 2 ? ? ? x12 ? x2 ? 2 , ? 1 ? x2 ? x1 ? 0 ? 0 ? x12 ? 2 2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 ? ? ? 4

②′,由①′、②′知 ? ? 4 。
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