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人教版高中数学必修一《实数指数幂及其运算》学案


第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3、1、1 实数指数幂及其运算 第一部分 走进复习 【 预 习 】阅读教材第 85~90 页,试回答下列问题 1、 a 的 n 次方根的定义 2、根式的定义 3、分数指数幂的意义 4、无理指数幂的意义 第二部分 走进课堂 【 复 习 】 1、初中指数幂的定义 2、初中指数幂的运算律 问题 :当指数 m、n 是有理数和实数时,初中那些指数运算律还成立吗? 【探索新知】 1、 a 的 n 次方根的定义 在初中, (?2) ? 4 ? ?2是4的平方根, 2 33 ? 27 ? 3是27 的立方根 0 2 ? 0 ? 0是0的平方根 27 ? 128 ? 2是128 的七次方根 (-4) 3 ? -64 ? -4是64的立方根, 于是: (?2) ? 16 ? ?2是16 的四次方根 4 (-3) 5 ? 243 ? -3是243 的五次方根 于是我们得到 a 的 n 次方根的定义: ①当 n 是正奇数时, a 的 n 次方根记作 n a ,例如: 7 128 ? 2 , 5 ? 243 ? ?5 ②当 n 是正偶数时, x ? a 是非负数, a 的 n 次方根记作 n a (a ? 0) n 例如: 529 ? 23, 6 729 ? 6 其中, n a (a ? 0) 是 a 的非负 n 次方根。 特别地, (1) n 0 ? 0 , (2 ) 负数 没有 偶次方根。 再如:16 的四次方根为: ? 4 16 ? ?2 , 9 0 ? 0 , ? 6 729 ? ?3 2、根式的 定义 式子 n a 叫做根式,例如: 3 ? 27 , 3 4 , n 0 , 3 , 3 ? 27 , 5 7 等都是根 式。 [来源: ①当 n 是正奇数时, n a 是 a 的 n 次方根 例如: 3 ? 27 是 ? 27 的三次方根, 5 7 是 7 的五次方根。 ②当 n 是正偶数时, x ? a 是非负数, n a (a ? 0) 是 a 的 n 次非负方根, n 一个正数 a 正的方根 n a 叫做正数 a n 次算术根。 例如: 4 16 ? 2 是 16 的四次算数根, 5 是 5 的二次算数根( 算术平方根) 3 7 是 7 的三次算数根 显然有公式: (n a ) n ? a ( n ? N ? , n ? 1 ) 当 n 是正偶数时, a ? R 当 n 是正偶数时, a ? 0 例如: (3 2 ) 3 ? 2 , (5 ? 27) 5 ? ?27 问题: n a n ? a 吗? 2 3 例子:计算 (?3) , 4 2 4 , 3 (?3) , 5 2 5 于是可以得到结论: 2 2 3 2 再计算: 3 (?8) , ( ?10 ) , (3 ? ? ) , ( a ? b) ( a ? b) 练习:当 a ? 0 时,求下列各式的值 (1) 5 a10 (2) 3 a12 (3) 7 a 28 3、分数指数幂的意义 上面的练习说明: ①当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式。 ②推广一下,当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂 的形式。 2 1 5 x 2 3 4 5 例如:当 a、b、c ? 0 时, a ? a 3 , b ? b 2 , c ? c 4 即 n a ? a (a ? 0, m、n ? N ? ) m ?n m n 又由于 a 1 ? n ,所以,可以 推广为 a n ? a

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