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高一下数学第一次周考试卷及答案


白鹭洲中学 2012~2013 高一年级下学期第一次周考数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分;答题 时间 150 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在括号内(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分). 1.在△ABC 中,AB

=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为 A. ?( )

2? 3

B.

3? 4

C.

? ? 3

D.

5? ? 6


2.在△ABC 中,若 2cos B sin A ? sin C ,则△ABC 的形状一定是(
A.等边三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 (

3.在 ?ABC中, A ? 60 ? , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,则 B 等于 A. 135? B. 45? C. 60?



D. 45?或 ? 135
5 b,A=2B,则 2

4.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c,若 a= cos B 等于?( A.
5 3

) B.
5 4

C.

5 ? 5

D.

5 ? 6

5.函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
( ) A. y ? ?4sin( B. y ? 4sin(

?
2

, x ? R) 的部分图像如图-1 所示,则函数表达式为
y
4

?
8

?

x? ) 4

?

x? ) 8 4

?

C. y ? ?4sin( D. y ? 4sin(

?

?

x? ) 8 4 x? ) 4
3 4

?

-2

O
-4 图-1

6

x

?

8

6.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为
A.





5 18

B.

C.

3 2

D.

7 8


7.在△ABC 中,∠ C=90° AB ? (k ,1), AC ? (2,3), 则 k 的值是 ,
A. ? 3 B.-5 C. 3
2
1

( D. 5

2

? ? ? 8.设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
① ( a ? b)c ? (c ? a )b ? 0 ;

? ? ?

? ? ?

② | a | ? | b |?| a ? b | ;

?

?

?

?

③ (b ? c) a ? (c ? a )b 不与 c 垂直;
2 2 ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 | a | ?4 | b | 中真命题的有

? ? ? ?

? ? ? ?

?

?

?

?

?



) D.③ ④

A.① ②

B.② ③

C.② ④

9.已知函数 f ( x) ? (cos2x ? 1) cos2 x, x ? R ,则 f (x) 是 ( A.最小正周期为 ? 的偶函数 B.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为



? 的偶函数 2

D.最小正周期为

? 的奇函数 2


10. 200m 高的山顶上, 在 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30?,60? , 则塔高为 (

A.

400 m 3

B.

200 3 m 3

C.

400 3 m 3

D.

200 m 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在横线上.

2 3 11.在 ?ABC中,A= 60? ,边长 b,c 是方程0 x 2 ? 27 x ? 32 的两实根,则边长 BC 的 0 长是_____________, 8 π 12.函数 y=sin x+ 3cos x 在区间[0, ]上的最小值为______________, 0 2 8 a?b?c 13. 在 ?ABC中,A= 60? , a ? 6 3, 则 0 =__ __,

sin A ? sinB ? sinC 5 14 . 在 斜 三 角 形 ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 若
tan C tan C a 2 ? b2 ? ? 1, 则 = tan A tan B c2



15.关于函数 f(x)=4sin(2x+

? 3

)(x∈ R),有下列命题:

① f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; 由 ② y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x- ③ y=f(x)的图象关于点(-

? ,0)对称; 6 ? ④ y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6
其中正确的命题的序号是 ②③

? ); 6

(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 5 个大题, 共 75 分)。 16.(12 分) 设 ?ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c , 且
a cos B ? 3, b sin A ? 4

(1)求边长 a (2)若 ?ABC的面积为 S=10,求 ?ABC的周长 L。

17. (12 分) .在 ?ABC中,设角 A.B.C 的对边分别为为 a,b,c,且
(1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2且a ? c ,求 ?ABC的面积。

cosC 3a ? c ? cos B b

18(12 分)若函数 f ( x) ?
定常数 a 的值.

1 ? cos 2 x 2 sin(

?
2

? sin x ? a 2 sin( x ?

?
4

) 的最大值为 2 ? 3 ,试确

? x)

3

?? A 19.(12 分)A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c。若 m =(-cos 2 , ? ?? ? 1 A A A sin ), n =(cos ,sin ),且 m · = . n 2 2 2 2
(1)求 A; (2)若 a=2 3,三角形面积 S= 3,求 b+c 的值.

20. (13 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 为( 3 -1)海里的 B 处 有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向距离 A 为 2 海里的 C 处有我方一艘 辑私艇奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里 /小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问辑私艇沿什么方向,才能最 快追上走私船?需要多长时间?

21. (14 分)在△ABC 中,已知 2 AB? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC , (1)求角 A 的大小. (2)若边 AC= 3,求△ABC 的面积及△ABC 的外接圆与内切圆的半径。。

2

4

白 鹭 洲 中 学 2012~2013 高 一 年 级 下 学 期 第 一 次 周 考 数学答题卷
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项是正确的,请把正确地选项填在题后的括号内.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写在题中的横线上,或按题 目要求作答.
考号

11、 13、 15、

12、 14、

姓名

三、解答题:共 75 分.要求写出必要的文字说明、重要演算步骤,有数值计算 的要明确写出数值和单位,只有最终结果的不得分.

16、

学校__________班级

考场

______________________________________________ 17、

5

班级:

姓名:

学号:

… … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … … … … … … … …

线…………………………………………………

19、

18、

______________________________________________

6

20、

7

21、

8

白鹭洲中学 2012~2013 高一年级下学期第一次周考数学试卷 参考答案: 1,A
11,

2,C

3,B

4,B
1

5,A
13,

6,D
12

7,D
14, 3

8,C

9,C

10,A

7 , 12,

15,

②③

16.解析(1) 由题意可得

a cosB 3 a sin A 由正弦定理得 ? ? b sin A 4 b sin B cos B 3 6 9 两式相乘得 ? cos2 B ? sin2 B ? (1 ? cos2 B) sin B 4 19 16 9 所以 cos2 B ? , 依题意得 2 cos2 B ? 9 所以 a 2 =25,解得 a=5 a 25 1 1 4 (2)因为 S ? bcsin A ? ? bc ? ? 2c ,因为 S=10 所以 c=5 2 2 b
由余弦定理可得 b ?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 5

所以周长 l ? a ? b ? c ? 2(5 ? 5 ) 17. 解析 (1)由正弦定理得

cosC 3 sin A ? sinC ? 即sinB cosC ? cos B sinC ? 3 sin A cos B cos B sinB

所以 sin( B ? C) ? 3sin A ? cos B, 又因为A ? B ? C ? 180?所以sin A ? 3sin A cos B 因为 0? ? A ? 180 , 所以cos B ? ? (2)由余弦定理 cos B ?

1 2 , 所以sinB ? 2 3 3

a2 ? c2 ? b2 1 , 再由 b ? 4 2,a ? c, cos B ? 得c 2 ? 24 2ac 3

所以 S ?ABC ?

1 1 acsinB ? c 2 sinB ? 8 2 2 2
1 ? 2 cos2 x ? 1 2 sin( ? x) 2 ? sin x ? a 2 sin(x ? ) 4

18.解析: f ( x) ?

?

?

?

2 cos 2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin( x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin( x ? ) 2 cos x 4 4

? 2 sin(x ? ) ? a 2 sin(x ? ) ? ( 2 ? a 2 ) sin(x ? ) . 4 4 4
因为 f (x ) 的最大值为 2 ? 3, sin( ? x 所以 a ? ? 3.

?

?

?

?

4

) 的最大值为 1,则 2 ? a 2 ? 2 ? 3,

9

?? ? ?? ? 1 A A A A n 19.解:(1)∵m =(-cos 2 ,sin 2 ), n =(cos 2 ,sin 2 ),且 m · =2,
A A 1 1 2 ∴ -cos2 2 +sin2 2 =2,即-cosA=2,又 A∈ (0,π),∴ A=3π? . 1 1 2 (2)S△ABC=2bc· sinA=2b· sin3π= 3错误!未找到引用源。,∴ c· bc=4. 又由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc· cos120° 2+c2+bc. =b 2 ∴ 16=(b+c) ,故 b+c=4. 20,解:如图,设需要 t 小时追上走私船. ……1 分 ∵BC2=AC2+AB2-2AC?ABcosCAB =22+( 3 -1)2-2?2?( 3 -1)cos120°=6, ∴BC= 6 , ……4 分

在△CBD 中,∠CBD=120°

BC2 ? BD2 ? DC2 6 ? 100 2 ? 300 2 t t cosCBD= , ? 2 ? BC ? BD 2 6 ? 10t
整理,得 100t2-5 6 t-3=0 解得 t= ,

6 6 或 t=(舍去) .……8 分 10 20

又∵

10 3t 10t DC BD ,? . ? ? sin 120 ? sin DCB sinCBD sinDCB

解得∠DCB=30°.……12 分 答:沿北偏东 60°追击,需

6 小时.……13 分 10

21,解:(1)设△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c, 由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ,得 2cosA= 3 由①cos A= ①

3 ,又 0°<A<180°,则 A=30°,……4 分 2 ?2cos A= 3, ? , ? 得 2 ? ?bc= 3a , ① ②

(2)由

b2+c2-a2 b2+c2-a2 3 根据余弦定理 cos A= ,即 = ,③ 2bc 2bc 2

10

②代入③整理得 则 b= 当 b= 4c±

3b2-4bc+

3 c2=0, 3 c,或 c= 3b. ……8 分

16c2-12c2 ,解得 b= 2 3

3 c 时,c=a,则 C=A=30°,B=180°-(A+C)=120°;
3 , 4

A=C=30°,B=120° s ?ABC ?
此时;a=c=1,R=a/2sinA=1 S=

1 (a+b+c)r,r=( 2 3 - 3 )/2 2

……11 分

当 c=

3 b 时,b=a,则 B=A=30°,C=180°-(A+B)=120°.
3 3 4

s?ABC ?

此时;a=b= 3 ,c=3,R=a/2sinA= 3 又 S=

1 (a+b+c)r,r= 3( 2 ? 3 ) /2 2

……14 分

11


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