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【跃渊风暴】【恒心】数学高考满分冲刺-概率与统计


§2 概率与统计 真题热身
1.(2011· 江苏)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为

3.2 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s2=________.

10+6+8+5+6 1 2 解析 x = =7,∴s = 5 [(10-7)2 +(6 5 16 2 2 2 2 -7) +(8-7) +(5-7) +(6

-7) ]= 5 =3.2.

2.(2011· 山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、 400、300 名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方 法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查, 应在丙专业

16 抽取的学生人数为________. 40 4 解析 抽样比为 = , 150+150+400+300 100 4 因此从丙专业应抽取 ×400=16(人). 100

3.(2011· 课标全国改编)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自 参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同, 1 3 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________.

解析 甲、 乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 3×3 =9(种), 其中甲、 乙两人参加同一个小组的情况有 3(种). 故 3 1 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率 P=9=3.

4.(2011· 福建)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为 边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概 1 率为________. 2

解析 这是一道几何概型的概率问题,点 Q 取自△ABE 1 |AB|· S△ABE 2· |AD| 1 内部的概率为 = = . |AB|· |AD| 2 S矩形ABCD

考点整合
1.随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围为 0≤P(A)≤1; 必然事件的概率为 1; 不可能事件的概率为 0. (2)古典概型的概率 m A中所含的基本事件数 P(A)= = . n 基本事件总数 (3)几何概型的概率 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

2.统计 (1)抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. (2)利用样本频率分布估计总体分布 ①频率分布表和频率分布直方图. ②总体密度曲线. ③茎叶图. (3)用样本的数字特征估计总体的数字特征 ①众数、中位数. x1+x2+?+xn ②平均数 x = . n ③方差与标准差 1 2 方差 s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n 1 标准差 s= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n

分类突破
一、随机抽样 例1 (2010· 湖北)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002, ?,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随 机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区, 301 到 495 在第Ⅱ营区, 496 到 600 从 从

25,17,8 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为___________. 600 解析 由题意知间隔为 50 =12,故抽到的号码为 12k+3(k
=0,1,?,49),列出不等式可解得:第Ⅰ营区抽 25 人, 第Ⅱ营区抽 17 人,第Ⅲ营区抽 8 人.
归纳拓展 解决有关随机抽样问题首先要深刻理解各种抽样 方法的特点和实施步骤,其次要熟练掌握系统抽样中被抽个 体号码的确定方法及分层抽样中各层人数的计算方法.

变式训练 1 某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如表 所示.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的 概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则 16 应在三年级抽取的学生人数为________. 一年级 女生 男生 373 377 二年级 x 370 三年级 y z

解析 由 2 000×0.19=380 知二年级的学生人数为 380+ 370=750,由于一年级的学生人数为 373+377=750,于是 三年级的学生人数为 2 000-750-750=500, 那么三年级应 64 抽取的人数为 500×2 000=16(人).

二、频率分布直方图或频率分布表 例2 (2010· 湖北)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况, 从这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼,称得每条鱼的 质量(单位: kg), 并将所得数据分组, 画出频率分布直方图(如 图所示).

(1)在下面表格中填写相应的频率; 分组
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

频率
? ?

1.00,1.05?? 1.05,1.10?? ? 1.10,1.15?? 1.15,1.20?? ? 1.20,1.25?? 1.25,1.30??
? ? ? ? ?

(2)估计数据落在 1.15,1.30 中的概率为多少; (3)将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库.几天后 再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼,其中带有记号的鱼 有 6 条.请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.



(1)根据频率分布直方图可知,频率=组距×(频率/组距), 分组
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

故可得下表: 频率
? ? ? ? ? ? ? ?

1.00,1.05?? 1.05,1.10?? 1.10,1.15 1.15,1.20?? 1.20,1.25?? 1.25,1.30??

0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02

(2)因为 0.30+0.15+0.02=0.47,所以数据落在[1.15,1.30)中的 概率约为 0.47. 120×100 (3) =2 000,所以水库中鱼的总条数约为 2 000. 6

归纳拓展

在统计中,为了考查一个总体的情况,通常是从总

体中抽取一个样本,用样本的有关情况去估计总体的相应情况, 这种估计大体分为两类,一类是用样本频率分布估计总体分布, 另一类是用样本的某种数字特征(例如平均数、 方差等)去估计总 体的相应数字特征.

变式训练 2 (2011· 浙江)某中学为了解学生数学课程的学习情 况, 3 000 名学生中随机抽取 200 名, 在 并统计这 200 名学生 的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图 (如 图).根据频率分布直方图推测,这 3 000 名学生在该次数学 考试中成绩小于 60 分的学生数是________. 600

解析

由直方图易得数学考试中成绩小于 60 分的频率为

(0.002+0.006+0.012)×10=0.2,所以所求分数小于 60 分 的学生数为 3 000×0.2=600.

三、茎叶图与数字特征 例 3 (2011· 北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植 树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示. 甲组 乙组

9 1

9 1

0 1

X 0

8

9

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这 两名同学的植树总棵数为 19 的概率. 1 2 (注:方差 s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x n 为 x1,x2,?,xn 的平均数)



(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是 8+8+9+10 35 8,8,9,10,所以平均数为 x = = ; 4 4 1 35 2 35 2 35 2 35 2 11 2 方差为 s = [(8- ) +(8- ) +(9- ) +(10- ) ]= . 4 4 4 4 4 16 (2)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数 依次为 9,8,9,10.分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学,所有可 能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2), (A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4), 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件, 则 C 中的结果有 4 个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2), 4 1 (A4,B2),故所求概率为 P(C)= = . 16 4

归纳拓展 茎叶图的特点 (1)茎叶图的优点是保留了原始数据,便于记录及表示,能反应 数据在各段上的分布情况. (2)在做茎叶图或读茎叶图时,首先要弄清楚“茎”和“叶”分 别代表什么. (3)根据茎叶图,我们可方便地求出数据的众数与中位数,大体 上估计出两组数据平均数的大小与稳定性的高低.

变式训练 3 某校开展“爱我江苏、爱我家 乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去 掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在 复核时, 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清, 若记分员

1 计算无误,则数字 x 应该是__________.

解析 当 x≥4 时, 89+89+92+93+92+91+94 640 = 7 ≠91, 7 89+89+92+93+92+91+x+90 ∴x<4,∴ =91, 7 ∴x=1.

四、古典概型与几何概型 例 4 (1)(2010· 浙江)在平行四边形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交点,P、Q、M、N 分 别是线段 OA、OB、OC、OD 的中点,在 A、P、M、C 中任取一点记为 E,在 B、 Q、 D 中任取一点记为 F, G 为满足向量OG=OE+OF N、 设 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为________.

→ → →

解析

按以下两种情况进行分类:

①若点 E 选在 P、M 点,则点 G 组成的集合中的点落在平行四 边形 ABCD 外有 4 个; ②若点 E 选在 A、C 点,则点 G 组成的集合中的点落在平行四 边形 ABCD 外有 8 个; 所以点 G 组成的集合中的点落在平行四边形 ABCD 外(不含边界) 4+8 3 的概率为:P= = . 4×4 4

3 答案 4

(2)(2011· 江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机 1 地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 ,则周末去 2 1 看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 4

13 16 看书.则小波周末不在家看书的概率为________.

π×1 解析 ∵去看电影的概率 P1= π×12 ? 1? 2 π×?4? 1 ? ? 去打篮球的概率 P2= 2 = 16, π×1 3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P=4+16=16.

2

?1?2 -π×?2? ? ?

3 = , 4

归纳拓展

1.有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事

件总数和所求事件包含的基本事件数,这常用到计数原理与排 列、组合的相关知识.对于较复杂的题目,要注意正确分类,分 类时应不重不漏. 2.正确区分古典概型与几何概型: 两种概型的共同点是基本事件发生的可能性相等; 不同点是古典 概型中基本事件的个数是有限的, 而几何概型中基本事件的个数 是无限的.

变式训练 4 设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三 个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的 一个数,求上述方程有实根的概率.



设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”.

当 a>0,b>0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0), (2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共 12 个. 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,所以事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)=12=4.

(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 1 2 3×2- ×2 2 2 故所求概率为 = . 3 3×2

规范演练
一、填空题 1.(2011· 湖北)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率

28 145 为________.(结果用最简分数表示)
C2 117 27 解析 所取 2 瓶饮料全是未过保质期的概率为 2 = , C30 145 117 28 ∴至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 1-145=145.

2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向 上”为事件 A, “骰子向上的点数是 3”为事件 B, 则事件 A,

7 B 中至少有一件发生的概率是______. 12 1 1 解析 ∵P(A)= ,P(B)= , 2 6 1 5 ∴P( A )= ,P( B )= .又 A、B 为相互独立的事件, 2 6 1 5 5 ∴P( A · )=P( A )· B )=2×6=12. B P(

∴A、B 中至少有一件发生的概率为 5 7 1-P( A · )=1- = . B 12 12

3.在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中,某高校学生开 发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标 原点出发,每次只能移动一个单位,沿 x 轴正方向移动的概 2 1 率是 ,沿 y 轴正方向移动的概率为 ,则该机器人移动 6 3 3 160 次恰好移动到点(3,3)的概率为________. 729

解析 若该机器人移动 6 次恰好到点(3,3), 则机器人在移 动过程中沿 x 轴正方向移动 3 次、 y 轴正方向移动 3 次, 沿 因此机器人移动 6 次后恰好位于点(3,3)的概率为 ? ? ? 2?3 8 160 3 2 3 P=C6?3? ?1-3? =20×729=729. ? ? ? ?

4.(2010· 福建)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问 题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋 级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且 每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问

0.128 题就晋级下一轮的概率为________.
解析 由题设,分两类情况:(1)第 1 个正确,第 2 个错误, 第 3、4 个正确,由乘法公式得 P1=0.8×0.2×0.8×0.8= 0.102 4; (2)第 1、2 个错误,第 3、4 个正确, 此时概率 P2=0.2×0.2×0.8×0.8=0.025 6. 由互斥事件概率公式得 P=P1+P2=0.102 4+0.025 6=0.128.

5.在某超市的四类包装食品中,抽取一个容量为 20 的样本进 行检测,已知四类包装食品中果脯类、火腿类、饼干类、蛋 糕类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种,若采用分层抽样的 方法抽取,则抽取果脯类、饼干类食品的种数之和为______. 14

解析 由题意得,果脯类有 40 种、饼干类有 30 种,且四 类包装食品共有 100 种, 所以所求的两类食品应抽取的种 20 数之和为 ×(40+30)=14. 40+10+30+20

6.有 3 张奖券,其中 2 张可中奖,现有 3 个人按顺序依次从中

2 3 抽一张,小张最后抽,则他抽到中奖券的概率是________.

解析 抽奖券的情况为:(未中,中 1,中 2),(未中,中 2, 中 1),(中 1,未中,中 2),(中 1,中 2,未中),(中 2,未 中,中 1),(中 2,中 1,未中),共计 6 种情况,其中他抽 到中奖券的情况(未中, 1, 2), 中 中 (未中, 2, 1), 中 中 (中 4 2 1,未中,中 2)(中 2,未中,中 1),所以所求的概率为6=3.

7. 用计算机随机产生的有序二元数组(x, 满足条件-1<x<1, y),

π 4 -1<y<1, 记事件 E 为 x2+y2≤1, E 发生的概率是______. 则

解析 如图,区域 A 表示边长为 2 的正方形的内部(不含边 SB 界), 区域 B 表示单位圆及其内部, E 发生的概率是 P= 则 SA π×12 π π = = ,所以填写答案为 . 4 2×2 4

8.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比 依次为 2∶3∶4,现用分层抽样方法抽出一个容量 n 的样本,

72 样本中 A 种型号产品有 16 件. 那么此样本的容量 n=______. 2 16 解析 根据分层抽样的原理有:9= ,∴n=72. n

二、解答题 9.(2011· 天津)编号分别为 A1,A2,?,A16 的 16 名篮球运动员 在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分 区间 人数 (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人, ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率. A1 15 A2 35 A3 21 A4 28 A5 25 A6 36 A7 18 A8 34

A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 17 26 25 33 22 12 31 38

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格. [10,20) [20,30) [30,40]



(1)4,6,6.

(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为 A3, 4, 5, 10, 11, A A A A A13,从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4}, {A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4, A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13}, {A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共 15 种. ②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人 得分之和大于 50”(记为事件 B)的所有可能结果有:{A4,A5}, {A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共 5 种. 5 1 所以 P(B)= = . 15 3

10.(2011· 福建)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级 系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件, 对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件, 等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值. (2)在(1)的条件下, 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1, 2, x x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3, y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可 能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级 系数恰好相等的概率.



(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,即 a+b+c=

0.35.因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所 3 以 b= =0.15. 20 2 等级系数为 5 恰有 2 件,所以 c= =0.1. 20 从而 a=0.35-b-c=0.1,所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,所有可能的结果为: {x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2, y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}. 设事件 A 表示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,其等 级系数相等”,则 A 包含的基本事件为 {x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共 4 个. 4 又基本事件的总数为 10,故所求的概率 P(A)= =0.4. 10

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