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【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教B版必修2


本章优化总结

知识体系网络 本 章 优 化 总 结

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专题探究精讲

数形结合思想 通过本章的学习,体会到了“数形结合” 通过本章的学习,体会到了“数形结合”的思想 方法及其解决几何问题的有效性和普遍性. 方法及其解决几何问题的有效性和普遍性.在解 有关圆的问题时,充分利用圆的几何性质, 有关圆的问题时,充分利用圆的几何性质,会使 问题的解决变得简捷直观. 问题的解决变得简捷直观.

例1 已知点 P(x,y)满足关系式:x2+y2- 6x- 满足关系式: , 满足关系式 -

4y+12=0. + = y 求 的最大值和最小值; (1)求 的最大值和最小值; x 2 2 (2)求 x +y 的最大值和最小值; 的最大值和最小值; 求 (3)求 x-y 的最大值与最小值; 求 - 的最大值与最小值; (4)若 A(-1,0),B(1,0),求|PA|2+|PB|2 的最大值 若 - , , 与最小值. 与最小值.

【分析】 将已知条件中的关系式视为圆的方 分析】 y 程,设x=k,则 y=kx 表示直线,照此方法, , = 表示直线,照此方法, 此题可解. 此题可解.
【解】 将 x2+y2-6x-4y+12=0 配方得 - + = 配方得(x 为圆心, -3)2+(y-2)2=1,它表示以 C(3,2)为圆心,半 - , 为圆心 径 r=1 的圆. = 的圆. y (1)设 =k,得 y=kx,∴k 表示过原点的直线 设x , = , 的斜率,如图(1)所示 所示. 的斜率,如图 所示.

y 的切线时, 取得最值, 当直线 y=kx 为圆 C 的切线时,x取得最值, = |3k-2| - 3± 3 ∴ , = 2=1,解得 k= 4 . 1+k + 3+ 3 3- 3 + - y . 故x的最大值为 ,最小值为 4 4

(2)设 u= x2+y2,则 u 为圆 C 上的点到原点的距 设 = 如图(2)所示 所示, 离,如图 所示,连接 OC 并延长交圆于 A、B 两 、 点,圆心 C(3,2)与原点 O 的距离是 与原点 的距离是|OC|= 13. = ∴|OA|= 13-1,|OB|= 13+1. = - , = + ∴u2 =|OB|2=( 13+1)2=14+2 13, + + , max u2 =|OA|2=( 13-1)2=14-2 13. - - min 故 x2+y2 的最大值为 14+2 13,最小值为 14- + , - 2 13. (3)设 x-y=m,即 y=x-m,m 为直线在 y 轴上截 设 - = , = - , 距的相反数,如图(3)所示 所示, 距的相反数,如图 所示,则当直线 y=x-m 与 = - 圆 C 相切时,x-y 取得最值. 相切时, - 取得最值.

|3-2-m| - - ∵ =1,∴m=1± 2. , = 2 故 x-y 的最大值为 1+ 2,最小值为 1- 2. - + , -

m2-2 (4)设|PA|2+|PB|2=m2,则有 x2+y2= . 设 2 ∵P(x,y)在圆 -3)2+(y-2)2=1 上, , 在圆(x- - 在圆 2 ∴m >2. 2 m -2 2 2 ∴x +y = 表示过圆 C 上的点且以原点为 2 m2-2 圆心, 为半径的圆. 圆心,以 为半径的圆. 2 m2-2 由图(4)可知 当圆 x2+y2= 可知, 相切时, 由图 可知, 与圆 C 相切时, 2

|PA|2+|PB|2 有最值. 有最值. 又∵|OC|= 13,∴ = , m -2 ±1= 13, = , 2
2

解得 m2=30±4 13. ∴|PA|2+|PB|2 的最大值为 30+4 13, + , 最小值为 30-4 13. -
点评】 【点评 】 有些看似是纯代数问题, 有些看似是纯代数问题 , 直接求解不

易解决,若挖掘其几何意义,利用数形结合, 易解决 , 若挖掘其几何意义 ,利用数形结合 , 往 往会柳暗花明,使问题轻松获解. 往会柳暗花明,使问题轻松获解.

分类讨论思想 在解决直线的斜率、直线与直线、直线与圆、 在解决直线的斜率、直线与直线、直线与圆、 圆与圆的位置关系问题时常常用到分类讨论的 思想. 思想.

例2

已知一曲线是与两定点(0,0)和 (3,0)的距 和 已知一曲线是与两定点 的距

离之比为m(m>0)的点的轨迹 , 求此曲线方程并 的点的轨迹, 离之比为 的点的轨迹 说明是什么曲线. 说明是什么曲线. 【 分析 】 分析】 本题是求轨迹方程并探求曲线类型

的问题, 依据题意, 可采取直接法求轨迹方程, 的问题 , 依据题意 , 可采取直接法求轨迹方程 , 但要注意对参数进行讨论. 但要注意对参数进行讨论.

【解】 设所求曲线上任一点为 P(x,y), , , x 2+ y 2 由题意, 由题意,得 , 2 2=m, (x-3) +y - ) 即(m2-1)x2+(m2-1)y2-6m2x+9m2=0. + 3 x= 其轨迹为两定点的中垂线; 其轨迹为两定点的中垂线; 当 m=1 时,= , = 2

3m2 2 2 ) +y = 当 m≠1 时 , 方 程 可 化 为 (x - 2 ≠ m -1 3m 2 ( 2 ), m -1 3m2 3m 其轨迹是以( 0)为圆心 为圆心, |为半径 |为半径 其轨迹是以( 2 , 0)为圆心,以 | 2 m -1 m -1 的圆. 的圆.

【点评】 漏.

对参数进行讨论要做到不重不

转化与化归思想 转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归 结为已有知识范围内可解决的问题的一种思维方 式.在解析几何中主要应用于直线和圆的方程、 在解析几何中主要应用于直线和圆的方程、 最值问题等代数与几何相互转化的问题之中. 最值问题等代数与几何相互转化的问题之中.可 使问题直观化、简单化,从而快速解决问题. 使问题直观化、简单化,从而快速解决问题.

从圆C: 外一点P(x 从圆 : x2 + y2 - 4x- 6y+ 12= 0外一点 1 , - + = 外一点 y1)向圆引切线 , 切点为 , O为坐标原点 , 且有 向圆引切线, 为坐标原点, 向圆引切线 切点为M, 为坐标原点 |PM|=|PO|,求使 最小的P点坐标 = ,求使|PM|最小的 点坐标. 最小的 点坐标. 分析】 首先求出满足|PM|= |PO|的点 的轨迹 , 的点P的轨迹 【 分析 】 首先求出满足 = 的点 的轨迹, 然后从中找出使|PO|最小的点 即可. 最小的点P即可 然后从中找出使 最小的点 即可.
例3

【 解 】 将方程 2 + y2 - 4x-6y+12=0配方 将方程x - + = 配方 后, 得(x-2)2+(y-3)2=12, - - 圆心为C(2,3),半径 =1. ∴圆心为 ,半径r= ∵切线PM与半径 切线 与半径CM垂直 如图所示), 垂直(如图所示 , 与半径 垂直 如图所示

∴|PM|= |PC|2-|CM|2 = = (x1-2)2+(y1-3)2-1. ) ) 2 2 由|PM|=|PO|,得: x1+y1 = , ) ) = (x1-2)2+(y1-3)2-1. 化简整理, 化简整理,得 2x1+3y1=6, , 故满足|PM|=|PO|的 P 点轨迹是方程 2x+3y-6 故满足 = 的 + - =0 表示的直线. 表示的直线. ∴|OP|的最小值为 O 点到此直线的距离,即 的最小值为 点到此直线的距离, 6 . d= = 13

? 2 36 2 ?x1+y1= , 13 由? ? , ?2x1+3y1=6,

? ?x =12, ? 1 13 得? 18 ? ?y1=13, ?

12 18 点为( 即满足题设条件的 P 点为 , ). . 13 13
点评】 【点评】 把待解决的知识转化为已有知识范 围内,使问题变得更加容易解决. 围内,使问题变得更加容易解决.

待定系数法 待定系数法,就是所研究的式子 方程 方程)的结构 待定系数法,就是所研究的式子(方程 的结构 是确定的,但它的系数 部分或全部 是待定的, 部分或全部)是待定的 是确定的,但它的系数(部分或全部 是待定的, 然后根据题目所给条件来确定这些系数的方 法.

例4

根据下列条件,求直线方程. 根据下列条件,求直线方程.

(1)已知直线经过点 -2,2),且与两坐标轴所 已知直线经过点P(- 已知直线经过点 , 围成的三角形面积为1; 围成的三角形面积为 ; (2)过两直线 -2y+1=0和x+3y+4=0的交 过两直线3x- + = 和 + + = 的交 过两直线 点,且垂直于直线x+3y+4=0. 且垂直于直线 + + =

x y 【解】 (1)设所求直线的方程为a+b=1(a≠0, 设所求直线的方程为 ≠ ,
?-2 2 ? , ? a +b=1, b≠0) , 依 题 意 , 得 ? ≠ ?1 = , ?2|ab|=1, ? ?a=2, ?a=- , =-1, = , =- ? 或? =-2. = , =- ?b=1, ?b=-

解得

x x y 所以所求的直线方程是 +y=1 或 + = =1, , 2 -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0. + - = + + = (2)设所求直线的方程为 设所求直线的方程为 (3x-2y+1)+λ(x+3y+4)=0, - + + + + = , 即(3+λ)x+(3λ-2)y+(1+4λ)=0. + + - + + = 由所求直线垂直于直线 x+3y+4=0,得 + + = , + 1 ? 3+λ ? 3 ?=- ,解这个方程,得 λ= . =-1,解这个方程, - ·?- = 3 ? 3λ-2? 10 - 故所求直线的方程是 3x-y+2=0. - + =

点评】 【点评】 (1)在利用直线的特殊形式求直线方程 在利用直线的特殊形式求直线方程 往往将斜率k和截距 和截距a、 作为参数引入 作为参数引入; 时 , 往往将斜率 和截距 、 b作为参数引入; (2) 求与直线Ax+ + = 平行的直线方程可设为 求与直线 + By+ C= 0平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0,与直线 +By+C=0垂直的直 + + = ,与直线Ax+ + = 垂直的直 线方程可设为Bx- + = , 线方程可设为 - Ay+ n=0, 将 m, n作为参数 , 作为参数 引入;(3)求过两相交直线的交点的直线 求过两相交直线的交点的直线, 引入;(3)求过两相交直线的交点的直线,可利用 直线系方程,设它的方程为A + + 直线系方程,设它的方程为 1x+B1y+C1+λ(A2x 引作参数, + B2y+C2)=0,将 λ引作参数, 通过确定这些参 + = , 引作参数 数的值来解题. 数的值来解题.


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