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广东省惠阳高级中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学(理)试题 Word版含答案




广东惠阳高级中学 2014-2015 学年度 第一学期月考高二年级(理数)数学试题(2014-10-6)
一:选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1. 已知全集 A. B. , 集合 C. , , D. 等于( )

2.函数 A. B.

的定义域是(

) C. D.

3.已知函数 A. B.



( C.2 关于平面

) D.-2 对称的点为 ,则 , 两点间的距离

4.在空间直角坐标系中,点 为( )

A.

B.

C.4

D.2

5.执行如下图的程序框图,如果输入的 A.15 B.105

的值是 6,那么输出的 C.120

的值是(

) D.720

6.一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,则这个几 何体的体积为 ( ) A. B.
2 2

C.

D.

7.当点 P 在圆 x +y =1 上运动时,它与定点 Q(3,0)连线段 PQ 中点的轨迹方程是( ) A.(x+3) +y =4
2 2

B.(x-3) +y =1 C.(2x-3) +4y =1 D.(2x+3) +4y =1

2

2

2

2

2

2

-1-



8.某学校在校学生 2000 人,学校举行跑步和爬山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一 项比赛,各年级与比赛人数情况如下表: 高一级 爬山 跑步 高二级 高三级

其中

,全校参与爬山的人数占总人数的

.为了了解学生对本次活动的满 )

意程度,从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高三级参与爬山的学生中应抽取( A.15 人 B。30 人 C。40 人 D。45 人

二:填空题(每小题 5 分,满分 30 分) 9.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 值
为 填 , 则 循 环 体 的 判 断 框 内 ① 处 应 。

10.某单位 200 名职工的年龄分布情况如下图,现要从中抽 取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按 1- 200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1-5 号, 6-10 号…, 196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的 号码应是 应抽取 ;若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段 人。

11 . 经 过 圆 x + 2x + y = 0 的 圆 心 C , 且 与 直 线 x + y = 0 垂 直 的 直 线 方 程 是 ____________________ 12.圆心在 轴上,且与直线
2 2

2

2

相切于点(1,1)的圆的方程为____________________
2 2 2

13.集合 A={(x,y)|x +y =4} ,B={(x,y)|(x-3) +(y-4) =r } ,其中 r>0,若 A∩B 中有且 仅有一个元素,则 r 的值是_______或__________ 14.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥ n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正 确的一个命题:_______________(填序号即可)

-2-



三:解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分为 12 分)

已知函数

(1)求

的值;

(2)设



的值.

16.(本题满分 14 分)已知直线 l 经过 A(4,0)、B(0,3) ,求直线 l1 的一般 方程,使得: .. (1) l1 ∥ l ,且经过两直线 3x+y=0 与 x+y=2 交点; (2) l1 ? l ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6. 17. (本小题满分 14 分) 在学校开展的综合实践活动中, 某班进行了小制作评比, 作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日, 评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图 (如下图所示) , 已知从左到右各长方形高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为 12,请解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数量最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?
A1

B1

C1

A

B

D

C

AB ? 8 , 18、 (本题满分 14 分)在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱) ABC ? A 1B 1C1 中,

AC ? 6 , BC ? 10 ,A1A=6, D 是 BC 边的中点.
(1)求证: AB ? A 1C ; (3)求点 A 到面 A1BC 的距离; (2)求证: A1C ∥ 面 AB1 D ;

19.(本小题满分 14 分)
-3-



已知圆 (1)求圆

以原点为圆心,且过 A 2 2 ,1 的方程;

?

?

(2)求圆

关于直线 x+y=2 对称的圆的方程;

(3) 经过点

且与圆

相切的直线方程

(4)若直线

与圆

相交所截得的弦长是

,求 .

20. (本题满分 12 分) 设平面直角坐标系 xoy 中, 设二次函数 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? x ? R ? 的
2

图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (方程中可含参数 b) (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论

广东惠阳高级中学 2014-2015 学年度
-4-



第一学期月考高二年级(理科)数学试题(答题卷)
题号 一 选择题 二 填空题 15 得分 16 三 解答题 总分

17

18

19

20

一:选择题(每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二:填空题(每小题 5 分,共 30 分)
9________________ 10__________ __________ 11___________________________ 14____________________

12_____________________.13_________. 或____________

三:解答题(共 80 分)
15(本小题满分 12 分)

16(本小题满分 14 分)

-5-



17(本小题满分 14 分)

A1

B1

C1

18(本小题满分 14 分)

A

-6-

B

D

C



19(本小题满分 14 分)

20(本小题满分 12 分)

-7-





第一学期月考高二年级(理科)数学试题(答案)

-8-



一:选择题(每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 B 6 A 7 C 8 A

二:填空题(每小题 5 分,共 30 分)
9、_______3____, 10、_______ __, ___ _______,

11、_________

_________12_________

______.

13、————3—或——7———— 14—①③④?②或②③④?①

三:解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 12 分)

;

,又



,又



. 16、(本小题满分 14 分)

x y x y ? ? 1 ,设直线 l1 的方程为 ? ? m . 4 3 4 3 ?1 3 3 ? ? . 因为直线 l1 经过两直线的交点 C (?1,3) ,所以 m ? 4 3 4 x y 3 故直线 l1 的方程为 ? ? ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0. ——————7 分 4 3 4
解: (1)直线 l 的方程为

x y ? ? n ,当 x ? 0 时, y ? ?4n ;当 y ? 0 时, x ? 3n . 3 4 1 2 直线 l1 与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ? | 3n | ? | ?4n |? 6 ,即 n ? 1. 2
(2)设直线 l1 的方程为

-9-



? n ? ?1.
故直线 l1 的方程为

x y ? ? ?1,即 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 .————14-分 3 4

17.(本小题满分 14 分) 解 (1)依题意知第三组的频率为
1 4 = ,…………3 分 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 5

又因为第三组的频数为 12, ∴本次活动的参评作品数为
12 =60. …………6 分 1 5

( 2 ) 根 据 频 率 分 布 直 方 图 , 可 以 看 出 第 四 组 上 交 的 作 品 数 量 最 多 , 共 有 60 ×
6 =18(件). …………10 分 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1

(3)第四组的获奖率是

10 5 = ,…………12 分 18 9

第六组上交的作品数量为 60×
1 =3(件) , 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1

∴第六组的获奖率为 = ,显然第六组的获奖率高. …………14 分 18、(本小题满分 14 分) 证明: (I)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面三边长 AB ? 8 , AC ? 6 , BC ? 10 ∴ AC ? AB ,………………………………………………2 分 又 AA1 ? 平面ABC ,∴ AA1 ? AB

2 3

6 9

AA1

AC ? A
B1

A1

? AB ? 面 AC1
∴ AB ? AC …………………………………………5 分 1 (2)设 A1 B 与 AB1 的交点为 E ,连结 DE ………….6 分 ∵

C1

A

D 是

BC 的 中 点 , E 是 AB1 的 中 点 , ∴

B

D

C

DE // AC …………8 分 1 ? 平面A DB1 ,∴ AC ∵ DE ? 平面A DB1 , AC 1 1 // 平面A DB 1 ………10 分
24 41 (3)等体积法可求得距离为 41 ————————————14 分
19.(本小题满分 14 分) (1)圆的方程为 x2+y2=9—————————3 分
- 10 -



(2)对称点坐标为(2,2)——————————————6 分 2 2 圆的方程为(x-2) +(y-2) =9——————————————7 分 (3).解:当过点 P 的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为 k,------8 分 由点斜式可得切线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y-3k+1=0,----9 分 |-3k+1| 4 ∴ k2+1 =3,解得 k=-3. 4 故所求切线方程为-3x-y+4+1=0,即 4x+3y-15=0.----10 分 当过点 P 的切线斜率不存在时,方程为 x=3,也满足条件. 故所求圆的切线方程为 4x+3y-15=0 或 x-3=0.-----11 分 (4)

,……………………………13 分 …………………………14 分 20.(本小题满分 12 分) 解: (1)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ;
2 令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且 ? ? 4 ? 4b ? 0 ,

解得 b<1 且 b≠0.———————————————5 分 (2)设所求圆的一般方程为 x ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

令 y =0 得 x 2 ? Dx ? F ? 0 ,它与 x 2 ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b . 令 x =0 得 y 2 ? Ey ? F ? O ,此方程有一个根为 b,代入得出 E ? ?b ? 1 . 所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .——————————9 分 (3)由 x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 得 x ? y ? 2x ? y ? (1 ? y)b ? 0 .
2 2

2

2

2 当 y ? 1 时,得 x ? 2 x ? 0 ,? x ? ?2,或 x ? 0.

1)和(0,1) .————————12 分 所以,不论 b 为何值,圆 C 必过定点 (?2,

- 11 -


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