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福建省漳州市七校2013届高三第一次联考数学文试题


漳州市七校 2013 届高三第一次联考数学文试题
(考试时间:120 分钟 总分:150 分)
命题人:欧阳海南 参考公式: 样本数据 x1,x2,? ,xn 的标准差 =
1 n ? ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? … ? ( x n ? x ) ? ? ?
2 2 2

审题人:曾美暄

锥体体积公式
1 3

s

V=

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 ? R ,V ?
2

4 3

?R

3

其中 R 为球的半径

(本试卷共 20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.复数 z ? 1 ? i , 则 A.
3 2 ? 1 2
? ? ? ? x

1 z

? z ? (


i

i

B.

1 2

?

3 2

C.

3 2

?

3 2

i

D.

1 2

?

3 2

i

2. 设函数 f ( x ) ? ? A.– 3 B.?3

, x ? 0,

若 f ( a ) ? f ( ? 1) ? 2 ,则 a 等于( D.?1



? x , x ? 0,

C.– 1

3.若将集合 P={1,2,3,4},Q={x

0<x<5,x∈R},则下列论断正确的是(
B. D.



A. x∈P 是 x∈Q 的必要不充分条件 C. x∈P 是 x∈Q 的充分必要条件 4.已知抛物线 A.
x ? ?4
2

x∈P 是 x∈Q 的即不充分也不必要条件。 x∈P 是 x∈Q 的充分不必要条件 )

y

? 2 px 上一点 M (1, 到其焦点的距离为 5, m) 则抛物线的准线方程为 (

B. x ? ? 8

C.

x=4

D. x=8

? x ? 2 y ? 8, ? ? 2 x ? y ? 8, x , y 满足不等式组 ? 5.已知 则目标函数 z ? 3 x ? y 的最大值为( ? x ? 0, ? y ? 0, ?



A.

32 3

B. 1 2

C. 8

D. 2 4 )

6.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为(

1

A. ? 1

B.0

C.3

D.1 )

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.2 B.1 C.
2 3

D.

1 3

8. 已知 m、 是两条不同的直线, 、 、 是三个不同的平面, n α β γ 则下列命题正确的是 (
A.若 α ⊥γ ,α ⊥β ,则 γ ∥β C.若 m∥n,m∥α ,则 n∥α B.若 m∥n,m ? α n ? β ,则 α ∥β



D.若 m∥α ,m ? β ,α ∩β =n,则 m∥n

9. 已知函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ) 的部分图象如图所示, f ( x ) 的 则 解析式可能为( )
x 2 ? ?

A. f ( x ) ? 2 s in ( C. f ( x ) ? 2 s in (

?
6

)

B. f ( x ) ? D. f ( x ) ?

2 s in ( 4 x ? 2 s in ( 4 x ?

?
4

)

x 2

?
6

)

?
4

)

10. 下列有关命题的说法中错误的是( ..
2



A 若命题错误!未找到引用源。使得错误!未找到引用源。,则错误!未找到引 用源。均有错误!未找到引用源。 B.命题“若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。“的逆否命题为:“若错 误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。” C.若错误!未找到引用源。为假命题,则错误!未找到引用源。均为假命题 D. “ 2 a ? 2 b ”是 “ lo g 2 a
11. 已知函数 f ( x ) 的导函数 右图中的
? lo g 2 b

”的充要条件

f '(x)

的图像如左图所示,那么函数 f ( x ) 的图像最有可能的是

12. 设

f (x) ?

2x

2

x ? 1

, g ( x ) ? ax ? 5 ? 2 a ( a ? 0 )

,若对于任意 x 1 )
5 2 ,4 ]

? [ 0 ,1 ] ,总存在 x 0 ? [ 0 ,1 ] ,使

得 g( x0 ) ? (A) ?4 , ? ? ?

f ( x 1 ) 成立,则 a

的取值范围是(
5? ? 2?

(B) ? 0 ,
?

?

(C) [

(D) ?

?5

? ,?? ? ?2 ?

二. 填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 如图,A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一

点 C,测出 AC 的距离为 50m, ACB=45°, ∠ ∠CAB=105°后, 就可以计算出 A、 B 两点的距离为 (m)

14.若单位向量 a , b 的夹角为 ? ,满足 tan ? ? ?

3 4

则a ? b =

15.若曲线 f ( x ) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 l : 3 x ? y ? 0 ,则
4

以点 P 为圆心且与直线 l 相切的圆的标准方程为 16.给出下列四个命题: 3

x x ①函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? lo g a a ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同;

②当 x ? 0 且 x ? 1 时,有 ln x ?

1 ln x

? 2 ;
? ? ? ?

③若 m i n {a ,b }表示 a , b 中的最小值.则函数 f ( x ) ? min ? x , x ? 1 ? 的图像关于直线
1 2

x ? ?

对称
x

④函数 f ( x ) ? 3 ? 2 x ? 3 有 2 个零点 其中正确命题的序号是__ _________. (把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分。 ) 17. (本小题满分 12 分)等比数列 { a n } 中,已知 a 1 ? 2 , a 4 ? 1 6 . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 a 3 , a 5 分别为等差数列 { b n } 的第 4 项和第 16 项,求 数列 { b n } 的通项公式及前 n 项和 S n .

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (sin x ? cos x ) ? 2 cos
2

2

x.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合;
?

(3)若 y ? f ( x ) ? m 在 ? 0 , ? 的最大值为 2,求 m 值 4 ? ?

? ?

4

19. (本小题满分 12 分)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数 据绘制成频率分布直方图(如图) . (1)若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的 方法选取 12 人参加一项活动,求图中的 a 值及从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数
m

(2)在(1)的条件下,从身高在[130 ,150]内的学生中等可能地任选两名,求至少有一 名身高在[140 ,150]内的学生被选的概率

20.(本小题满分 12 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC ,P、Q 分别为线段 AB、CD 的中点, EP ? 平面 ABCD (1)求证: AQ ∥ 平面 CEP (2)求证: 平面 AEQ ? 平面 DEP (3)若 EP ? AP ? 1 ,求三棱锥 E ? AQC 的体积

5

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 离心率是

3 2

F . 1 , F2

分别为左右焦点,点 M 在椭圆上且 ? MF 1 F 2 的周长为 2 3 ? 4 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 E ( ? 1 , 0 ) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 AE ? 2 EB ,求直线 l 的方程.

22.(本小题满分 14 分) )已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ?

1? a x

?1

,

(a ? R ) ,( x ? 0)

(1)当 a ? ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程; (2)当 0 ? a ?
1 2

时,讨论 f ( x ) 的单调性.

6

漳州市七校 2013 届高三第一次联考数学文试题参考答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D 11 A 12 C

17.解: (1)设 { a n } 的公比为 q ,由已知得 1 6 ? 2 q ,解得 q ? 2 .
3

备注:17 题的第 1 小题 5 分;第 2 小题 7 分 18.

7

有 f ( x ) m in ?

2

,此时的 x 集合为 ? x x ? k ? ?
?

?

3?

? , k ? Z ? ??????8 分 8 ?

(3) y ?
?
4 ? ? 2 2

2 sin( 2 x ?

?
4

)? m

? 0 ? x ?

? ?

?
4

? 2x ?

?
4

?

?
4

? sin( 2 x ?

?
4

--- 10 分

) ?

2 2

当 sin( 2 x ?

?
4

) ?

2 2

时,f(x)取得最小值为 m+1=2 解得 m=1 --- 12 分

19.解: (1)由频率分布直方图得 10(0.005+0.01+0.02+ a +0.035)=1 解得 a=0.03??2 分 ∴m ?
0 . 01 0 . 01 ? 0 . 02 ? 0 . 03 0 . 02 0 . 01 ? 0 . 02 ? 0 . 03 ? 12 ? 2 ?????5 分

(2) 从身高在[130 ,140]内的学生中选取的人数为
n ? ? 12 ? 4 ??????6 分

设身高在[130 ,140]内的学生为 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ,身高在[140 ,150]内的学生为 B 1 , B 2 ,则从 6 人中选出两名的一切可能的结果为
( A 1 , A 2 ), ( A 1 , A 3 )( A 1 , A )
4

( A 2 , A 3 ), ( A 2 , A 4 )( A 3 , A 4 )

( A 1 , B 1 ), ( A 1 , B 2 )( A 2 , B 1 )

( A 2 , B 2 ), ( A 3 , B 1 )( A 3 , B 2 ) ( A 4 , B 1 ), ( A 4 , B 2 )( B 2 , B 1 ) ???10 分

由 15 个基本事件组成.用 M 表示“至少有一名身高在[140 ,150]内的学生被选”这一事 件,则
M ? ( A 1 , B 1 ), ( A 2 , B 1 ), ( A 3 , B 1 )( A 4 , B 1 ) ( A 1 , B 2 ), ( A 2 , B 2 ), ( A 3 , B 2 )( A 4 , B 2 )( B 1 , B 2 )

事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P ( M ) ?

9 15

?

3 5

.??????12 分 20.

8

解: V=
1 6

…………………………12 分
x a
2 2

21. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为
?c 3 ? ? 由已知可得 ? a 2 ? ?2a ? 2c ? 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0) .

? ? ? ???????3 分 ? 3 ? 4?
x
2

解得 a ? 4 , b ? 1 .故椭圆 C 的方程为
2 2

? y

2

? 1 .???????????5 分

4

(Ⅱ)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E ( ? 1, 0 ) 的直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,
3 2 3 2

此时 A ( ? 1,

), B ( ? 1, -

)



显然 AE ? 2 EB 不成立.??????????6 分

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
?x 2 ? y ? 1, ? 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
2
2 2 2 2 整理得 ( 4 k ? 1) x ? 8 k x ? 4 k ? 4 ? 0 .??????????????????8 分

2 由 ? ? (8 k ) ? 4 ( 4 k ? 1)( 4 k ? 4 ) ? 4 8 k ? 1 6 ? 0 .
2 2 2 2

设 A ( x 1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ) .故 x 1 ? x 2 ? ? 因为 AE ? 2 EB ,即 x 1 ? 2 x 2 ? ? 3 .③ ①②③联立解得 k ? ?
15 6

8k 4k
2

2

?1

,①

x1 x 2 ?

4k 4k

2 2

? 4 ?1

. ②???9 分



????????????13 分

所以直线 l 的方程为 1 5 x ? 6 y ? 1 5 ? 0 和 1 5 x ? 6 y ? 1 5 ? 0 .?????14 分 22.解: (1)当 a ? ? 1 时, f ( x ) ? ln x ? x ?
2 x ?1 (x ? 0) ,

则 f ( 2 ) ? ln 2 ? 2 ,即切点为 ( 2 , ln 2 ? 2 ) ……………………2 分
1 x 2 x
2

又 f '( x ) ?

?1?

?

x ? x? 2
2

x

2

,……………………4 分

9

则曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线斜率为 f '( 2 ) ? 1 , 因此,切线方程为 y ? (ln 2 ? 2 ) ? x ? 2 ,即 y ? x ? ln 2 ……………………6 分
1 x
2

(2) f '( x ) ?

? a ?

1? a x
2

?

? ax ? x ? a ? 1
2

x

2

( x ? 0 ) ,……………………7 分

设 g ( x ) ? ? a x ? x ? a ? 1 , ( x ? 0 ) ,则 f '( x ) 与 g ( x ) 符号相同。 ①若 a ? 0 , g ( x ) ? x ? 1, x ? 0 , 当 x ? 1 时, g ( x ) ? 0 ? f '( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上单调递增; 当 x ? 1 时, g ( x ) ? 0 ? f '( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 ( 0 ,1] 上单调递减。 ②若 a ? 0 ,则 f '( x ) ? 0 ? g ( x ) ? 0 , 即 ? a x ? x ? a ? 1 ? 0 ,解得 x 1 ? 1, x 2 ?
2

1 a

?1。

(ⅰ)当 a ?

1 2

时, x 1 ? x 2 ? 1 , g ( x ) ? 0 恒成立,

即 f '( x ) ? 0 恒成立,因此 f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上单调递减; (ⅱ)当 0 ? a ?
x

1 2

时,

1 a

? 1 ? 1 。可列表如下:
1 a ? 1) 1 a ? 1, ? ? )

( 0 ,1)

(1,
?

(

f '( x )(与 g ( x ) 符号一致) ?

?

f (x)







综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ( 0 ,1) 上单调递减,在 (1, ? ? ) 单调递增; 当a ?
1 2

时, f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上单调递减;
1 2

当0 ? a ?

时,
1 a ? 1, ? ? ) 上单调递减,在 (1, 1 a ? 1) 上单调递增。…………14 分

f ( x ) 在 ( 0 ,1) 和 (

10


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