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直线和圆中的最值问题


例题1
已知P( x,y)为直线l:x ? y ? 4 ? 0上一点, 2
2 求 (x ? 7) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( x ? 5)? y ? 5) 2 的最小值 (

y 演示
?

B(?5,5)

y ? 2x ? 4

?A(-7,2)

/>
o
思考:若A,B两点 在直线的两侧呢?

x

变式1
已知两点A(1,7),B(5,1),直线 l:x ? 4 y ? 10 ? 0 在直线 l 上有一点P,求 PA - PB 的最大值
解:设A(1,7)关于直线x ? 4 y ? 10 ? 0对称点A/ (a, b)
?b ? 7 ? a ? 1 ? ?4 ? ?? b?7 ?a ?1 ? 4? ? 10 ? 0 ? 2 2 ?
?a ? 3 ? ?? ?b ? ?1 ?

y

? A(1,7)

?P
x ? 4 y ? 10 ? 0
? B(5,1)

o

? A/

x

2 2 ? PA ? PB 的最大值 BA/ ? (5 - 3)? 1 ? 1) ? 2 2 (

方法小结
1、在直线上求一点P使 PA ? PB 取得最小值时,
若点A、B位于直线l的同侧时: 作点A(或点B)关于l的对称点

A/ (或点B / ),连接A/ B(或AB / )交l于P,则点P即为所求点.
连接 若点A,B位于直线的异侧时: AB交于l点P, 则P为所求点.

可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线 的同侧时,作其中一个点的对称点;两点位于直 线的异侧时,直接连接两点即可.
2、在直线 l 上求一点P使 PA - PB 取得最大值时,方法与(1) 恰好相反,即“异侧对称同侧连”

例题2
2 2 (x - 1)? y ? 1) ? 2 上的点与直线 ( 求圆C:

x? y?4?0
x? y?4?0

的最大值和最小值.

y
P?

演示

o

?C

x
?M

变式2
2 P为直线x ? y ? 4 ? 0上一点,PT为圆C: ? 1) 2 ? y ? 1) ? 2的切线 (x (

求切线 PT 的最小值.

y

x? y?4?0

o

?C

x

方法小 结

总结:求圆上动点到定直线的距离的最值可转化为

求圆心到定直线的距离
若直线与圆相离,则圆上点与直线的

最大距离d max ? d / ? r

最小距离d min ? d / ? r

(其中d / 表示圆心到定直线的距离)

例题3
2 2 y 已知实数 x , 满足方程 x ? y - 4 x - 2 y ? 2 ? 0 y 求⑴ 的最大值与最小值. x ⑵ y ? x 的最大值与最小值. y
2 2 ⑶ x ? y 的最大值与最小值.

?C

o

x

变式3
已知圆C:x ? y ? 4 x ? 14 y ? 45 ? 0 ⑴若 t ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 求 t 的最大值与最小值. (2)求 x - 2 y 的最大值与最小值;
2 2

y
?N
?C

(3)求

解:(1) 圆C: ?x - 2?2 ? ? y - 7 ?2 ? 8 ?

y ?3 x?2

的最大值与最小值.

? C(2,7) r ? 2 2

o P?

?M

x

? CP ? (2 ? 2) 2 ? (7 ? 1) 2 ? 4 5

? tmin ? MP ? CP ? r ? 4 5 ? 2 2

t max ? NP ? CP ? r ? 4 5 ? 2 2
?2 2

(2) 令 b ? x - 2 y 即 x - 2 y ? b ? 0 当直线 x - 2 y ? b ? 0与圆C相切时 b 取最值

?

圆心到直线的距离 d ?

2 ? 2? 7 ? b 5

? b ? -12 ? 2 10

?bmax ? 12 ? 2 10 bmin ? 12 ? 2 10 y ?3 (3)令k ? , 则k表示圆上一点(x, y)与(?2,3)的斜率 ? y ? 3 ? k ( x ? 2) x?2 由题意可知当直线kx ? y ? 2k ? 3 ? 0与圆相切时k取最值
?d ? 2k ? 7 ? 2k ? 3 k ?1
2

?2 2

? kmax ? 2 ? 3, kmin ? 2 - 3

方法小 结
①形如 ?
? y ?b x?a

形式的最值问题,可转化为动直线

斜率的最值问题; ②形如 t ? ax ? by 形式的最值问题,可转化为动直线

截距的最值问题;
③形如 m ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 形式的最值问题,可转化为圆心

动点到定点距离平方的最值问题;

练习
1、已知A(2,5), B(-8,6),P为l:x ? y ? 0上一点,求 PA ? PB 最小值
2、已知A(2,5), B(8,6),P为l:x ? y ? 0上一点,求 PA - PB 最大值
3、P为直线x ? y ? 2 2 ? 0上一点,PT为圆C:x 2 ? y 2 ? 1

的切线,求切线PT 的最小值.

4、已知x, y满足x 2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0
y (1)求 的最大值和最小值;(2)求y ? x的最小值; x (3)求x 2 ? y 2的最大值和最小值


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