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高中数学知识点总结


概率及其应用
1. 解概率应用题要学会“说” :首先是记事件,其次是对事件做必要的分析,指出事件的概 率类型,包括“等可能性事件”“互斥事件”“相互独立事件”“独立重复试验”“对立事 、 、 、 、 件”等;然后是列式子、计算,最后别忘了作“答” 。 2. “等可能性事件”的概率为“目标事件的方法数”与“基本事件的方法数”的商,注意区 分“有放回”和“不放回”“互斥事件”的概率为各事件概率的和; ; “相互独立事件”的概 率为各事件概率的积;若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则它在 n 次“独立重复试
k 验”中恰好发生 k 次的概率为 P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k ;若事件 A 发生的概率是 p ,则 A 的 n

“对立事件” A 发生的概率是 1- p 等。有的同学只会列式子,不会“说”事件,那就根据 你列的式子“说” :用排列(组合)数相除的是“等可能性事件” ,用概率相加的是“互斥事
k 件” ,用概率相乘的是“相互独立事件” ,用 C n 的是“独立重复试验” ,用“1 减”的是“对

立事件” 。 [举例 1] 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球, 乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为红球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (07 高考天津文 18) 解析: (Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A ;从甲盒内取出 2 个球(基本
2 2 事件)有 C 7 种方法,它们是等可能的,其中 2 个球均为红球(目标事件)的有 C3 种,∴
2 C3 1 C2 5 ;设“从乙盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 B ,有 P( B) ? 3 ? ; P( A) ? 2 ? 2 C7 7 C9 18

而“取出的 4 个球均为红球”即事件 A、B 同时发生,又事件 A,B 相互独立, ∴ P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) ?

1 5 5 ? ? . 7 18 126

(Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个红球 为黑球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是
1 1 1 1 2 2 C3 C 4 C 4 2 C4 C5 C4 10 红球,1 个是黑球”为事件 D . P(C ) ? = , P ( D) ? 2 ? ; ? ? 2 63 C7 C92 21 C7 C92

而“取出的 4 个红球中恰有 4 个红球”即事件 C,D 有一个发生,又事件 C,D 互斥,∴

2 10 16 ? ? 21 63 63 5 16 答:取出的 4 个球均为红球的概率是 ,取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率是 。 126 63 P(C ? D) ? P (C ) ? P ( D) ?
[举例 2] 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每 名下岗人员可以选择参加一项培训、 参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的

选择相互之间没有影响. (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率. (07 高考湖南文 17) 解析:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A , “该人参加过计算机培训” 为事件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训即事件 A 、 B 同时发生,其概率是

P ? P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 1
所以该人参加过培训的概率是 1 ? P ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 1 解法二: 任选 1 名下岗人员, 设该人只参加过一项培训为事件 C, ? AB ? AB ,A B 与 AB C 互斥,∴P(C)=P( AB ? AB )=P( A B )+P( AB )=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45; 该人参加过两项培训为事件 D,P(D)=P(AB)=0.6×0.75=0.45 该人参加过培训即 C、D 有一个发生,且 C、D 互斥,∴其概率为 P(C+D)=P(C)+P(D)=0.9; (II)解法一:设任选 3 名下岗人员,3 人中恰有 2 人参加过培训为事件 E,E 是独立重复
2 实验,其中 n=3,k=2,p=0.9,∴P(E)= C3 ? 0.9 2 ? 0.1 =0.243,
3

设任选 3 名下岗人员,3 人都参加过培训为事件 F,P(F)= 0.9 =0.729. “3 人中至少有 2 人参加过培训” E、 有一个发生, E、 互斥, 即 F 又 F ∴它的概率是: P(E+F) =P(E)+P(F)=0.243+0.729=0.972; 解法二:设任选 3 名下岗人员,3 人中恰有 1 人参加过培训为事件 G,P(G)=
1 C3 ? 0.9 ? 0.12 ? 0.027 ;设任选 3 名下岗人员,3 人都没有参加过培训为事件 H,P(H)=

0.13 ? 0.001 ; 人中至少有 2 人参加过培训”即 E ? F , “3
P( E ? F )= 1 ? 0.027 ? 0.001 ? 0.972 ; 答:任选 1 名下岗人员该人参加过培训的概率是 0.9,任选 3 名下岗人员,这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率是 0.972 [巩固 1] 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站(包括起点站和终点站) ,在起点站开出的一 辆公共汽车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求: (I)这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率; (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率; (07 高考北京文 18) [巩固 2] 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3 4 和 ,且各次射击相互独立. 4 5

(Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率; (Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率. (07 高考重庆文 17) 3.要准确理解题意,吃透其中的“关键词” ,如: “至多”“至少”“恰有“、 、 、 “不全是” 、 “全不是”等;要能读出题目的“言下之意” 。 [举例 1]在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎

混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小 孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔. (I)求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率; (II)求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率. (07 高考安徽文 19) . 解析:设笼内恰好剩下 k 只果蝇的事件为 Ak (k ? 0,?, . 1, 6) (I)笼内恰好剩下 1 只果蝇即第 7 只飞出的是苍蝇,而前 6 只飞出的蝇子中有 1 只苍蝇、5
7 1 5 6 只果蝇;基本事件有 A8 种,它们是等可能的,其中目标事件有 C2 C6 A6 种,
1 5 6 C 2 C 6 A6 3 C 1C 1 A 2 = ; (II)笼内至少剩下 5 只果蝇为事件 A5 + A6 , P( A5 ) = 2 6 2 14 A83 A87

故 P( A1 ) =

=

A2 1 1 1 1 , P( A6 ) ? 2 = ,又事件 A5 、 A6 互斥,故 P( A5 + A6 )=P( A5 )+P( A6 )= + 2 14 14 28 A8 28

=

3 3 3 ;答:笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率为 ,笼内至少剩下 5 只果蝇的概率 。 28 14 28 3 P( B3 ) ? P( A5 ? A6 ) ? P( A5 ) ? P( A6 ) ? . 28

[举例 2]甲、乙两人个有 4 张卡片,现以掷硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时,甲赢 得乙一张卡片,否则乙赢得甲一张卡片,如果某人已赢得所有卡片,则游戏立即终止,求掷 币次数不大于 6 时游戏恰好终止的概率。 解析:显然,至少需掷币 4 次,游戏才可能终止;现要求掷币次数不大于 6 时游戏终止,看 似有三种情况,即掷币次数分别为 4、5、6,但事实上掷币 5 次游戏终止的情况是不可能出 现的:因为,首先前 4 次不可能都为正面或反面(否则掷币 4 次后游戏已经终止) ,若前 4 次中有 1 次反面而其它 4 次都为正面,此时甲手中有 7 张卡片,乙手中有 1 张卡片,游戏尚 未终止。设掷币 4 次游戏终止的事件为 A,P(A)=2× ( ) =

1 2

4

1 ;掷币 6 次游戏终止的事件 8

为 B,则前 4 次中有 1 次反面而其它 5 次都为正面,或前 4 次中有 1 次正面而其它 5 次都为

1 1 5 1 ? ( ) = ,有又掷币次数不大于 6 时游戏恰好终止为 A+B , 且 2 2 8 1 1 1 A、B 互斥,∴P(A+B)=P(A)+P(B)= + = ; 8 8 4
反面,∴P(B)=2× C 4 ?
1

[巩固 1] 甲、 乙两队进行一场排球比赛, 根据以往经验, 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6, 本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束,设各局比赛相互间没有影响, 求(Ⅰ)前三局比赛甲队领先的概率; (Ⅱ)本场比赛乙队以 3:2 取胜的概率.(精确到 0.001) [巩固 2] 10 个球中有一个红球, 有放回的抽取, 每次取出一球, 直到第 n 次才取得 k ? k ? n ? 次红球的概率为( A. ? ) ,B. ?

?1? ?9? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ?

2

n?k

?1? ?9? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ?

k

n ?k

C. n?1 ? C k ?1

?1? ?9? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ?

k

n?k

D. n?1 ? C k ?1

?1? ? ? 10 ?

k ?1

?9? ? ? ? 10 ?

n ?k

[巩固 3] 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出 的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 .

(1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B : “取出的 2 件产品中至少有一 件二等品”的概率 P ( B ) . (07 高考全国卷Ⅱ理 19) 4.关注概率与其它知识点的“交汇” ,如数列、不等式、解析几何等。

,, ,3} [举例 1]设集合 A ? {1 2} B ? {1 2, ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平
面上的一个点 P(a,b) , “点 P(a,b) 落在直线 x ? y ? n 上” 记 为事件 Cn (2 ≤ n ≤ 5,n?N) ,若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( A.3 B.4 C.2 和 5 ) (07 高考山东文 12) D.3 和 4

解析:点 P(a,b) 落在直线 x ? y ? n 上,即 a ? b ? n ;集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b 有 6 种方法,它们是等可能的,其中使得 a ? b ? 2 有 1 种,使得 a ? b ? 3 有 2 种,使得

a ? b ? 4 有 2 种,使得 a ? b ? 5 有 1 种;故使得事件 Cn 的概率最大的 n 可能为 3 和 4。
[举例 2] 正四面体的各顶点为 A1 , A2 , A3 , A4 , 进入某顶点的动点 X 不停留在同一个顶点上, 每隔 1 秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动。 n 秒后 X 在 Ai (i ? 1,2,3,4) 的概率用

Pi (n) (n=0,1,2??) 表示。当 P1 (0) ?
(1)求 P2 (1), P2 (2) ; (3)求 P2 (n) 关于 n 的表达式,

1 1 1 1 , P2 (0) ? , P3 (0) ? , P4 (0) ? 时, 8 4 2 8
(2)求 P2 (n) 与 P2 (n ? 1) 的关系( n ? N )
?

(4)求 P1 ( n) 关于 n 的表达式

解析: P2 (1) 即 1 秒后动点在 A2 的概率,它有三种情况;①开始时(0 秒)在 A1 ,1 秒后移 动到 A2 ;由题意知,每隔 1 秒钟动点 X 从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为 这种情况的概率为: P (0) × 1

1 ;所以 3

1 1 = ;②开始时在 A3 ,1 秒后移动到 A2 ;其概率为: 3 12 1 1 1 1 P3 (0) × = ;③开始时在 A4 ,1 秒后移动到 A2 ;其概率为: P4 (0) × = ; 3 24 3 24 1 1 1 1 又这种情况互斥,∴ P2 (1) = + + = 。我们设想一下,如果仍然按这个办法计算 12 24 24 6

P2 (2) ,将不胜其烦,因为首先要算 P1 (1) 、 P3 (1) 、 P4 (1) ;事实上 1 秒后动点在 A2 ,即开
1 ,而每隔 1 秒钟动点 X 从一个顶点移动 2 1 1 1 1 到另一个顶点的概率均为 ;所以 P2 (1) = × = 。类似的,2 秒后动点在 A2 ,即 1 秒 3 2 3 6
始时(0 秒)动点不在 A2 ,其概率为:1- P2 (0) =

5 5 1 5 ,∴ P2 (2) = × = ;n 秒后动点在 A2 , n ? 1 即 6 6 3 18 1 秒后动点不在 A2 ,其概率为:1- P2 (n ? 1) ,∴ P2 (n) =[1- P2 (n ? 1) ]× 。至此,问题化归 3 1 1 为数列问题。即:已知数列{ P2 (n) }满足: P2 (n) =- P2 (n ? 1) + ,求通项公式。用待定 3 3 1 1 系数法构造等比数列,设 P2 (n) + x =- [ P2 (n ? 1) + x ],得 x = ? ,可见 3 4 1 1 1 1 数列{ P2 (n) ? }是以- 为公比的等比数列,其首项为 P2 (1) ? = ? 3 4 4 12 1 1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 (? ) , P2 (n) = ? (? ) 。 ∴ P2 (n) ? = ? 4 12 3 4 12 3 1 1 1 1 1 完全类似地,可得 P1 ( n) =- P (n ? 1) + ,于是有 P1 ( n) ? =- [ P (n ? 1) ? ] 1 1 3 3 4 3 4 1 1 但 P (1) ? =0,∴数列{ P1 ( n) }是常数列,即 P1 ( n) = 。 1 4 4 点评:本题的关键是:第 n 秒后动点在某一顶点即意味着第 n ? 1 秒后动点不在该顶点,由
后动点不在 A2 , 其概率为:1- P2 (1) = 此反映的它们的概率之间的关系正是数列的前后项之间的关系即递推关系, 于是从概率问题 自然地过渡到数列问题,再用数列的办法解决之。 [巩固 1]已知一组抛物线 y ?
1 2 ax ? bx ? 1,其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7 2

中任取的一个数, 从这些抛物线中任意抽取两条, 它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行 的概率是 ( ) (07 高考四川理 12) (A)
1 12

(B)

7 60

(C)

6 25

(D)

5 25

[巩固 2]位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向 为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 率是 (
2

1 3) ,质点 P 移动五次后位`于点 (2, 的概 2


2 3

(07 高考山东理 12)

?1? A. ? ? ?2?

?1? B. C ? ? ?2?

3

?1? C. C ? ? ?2?
2 3

2

?1? D. C C ? ? ?2?
1 2 2 3

3

[巩固 3]有人玩掷硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正反面的概率都是

1 ,棋盘上标有第 0 2

站,第 1 站, ?,第 100 站,一枚棋子开始在第 0 站, 棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次, 若掷出正面,棋子向前跳一站(从 n 到 n+1) ,若掷出反面,棋子向前跳两站(从 n 到 n+2) , 直到棋子跳到第 99 站(胜利大本营) ,或跳到第 100 站(失败集中营)时该游戏结束,设棋 子跳到第 n 站的概率为 P(n); (1)求 P(1), P(2),P(3);(2)求证:数列{P(n)-P(n-1)}是等比数 ﹡ 列 (n∈N ,n≤99); (3)求 P(99)及 P(100)的值。

答案

3 ,0.4825;3、[巩固 1]0.648,0.138;[巩固 2]C 20 179 1 3 [巩固 3]0.2, ; [巩固 1] B, 4、 [巩固 2] B, [巩固 3] P(1)= , P(2)= , P(n)-P(n-1)= 2 4 495 1 1 1 1 - [ P(n-1) - P(n-2)] ( 2≤n≤99,n∈N),P(99)= [2-( )99];P(100) = [1+ 2 3 2 3 1 ( )99]。 2
2、[巩固 1]0.1512,0.01458;[巩固 2]


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