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07.二次函数的最值学案


·高一数学“初、高中衔接”教学内容·

2016 届自主招生数学教学内容
07.二次函数的最值学案 【教学目标】 会求不含参数的二次函数在给定区间上的最值. 【教学重点】 不含参数的二次函数在给定区间上的最值. 【教学难点】 不含参数的二次函数在给定区间上的最值. 【教学过程】 一、知识疏理 1.函数的最大(小)值 如果函数 y 满足对于自变量取值范围内的一切 x 值都有 y ? M ,且当 x ? x 0 时
y ? M ,称 M 为这个函数的最大值,记作 y max ? M .在函数图象上,即为图象最高点

的纵坐标. 类比函数最大值的定义,请你写出函数最小值的定义:_______________________. 2.二次函数的最值
b 2 4ac ? b 2 ) ? ( a ? 0) , 2a 4a 4ac ? b 2 4ac ? b 2 b b 当 a ? 0 时,∵ a( x ? ) 2 ? 0 , ∴ y ? ,且当 x ? ? 时y? . 4a 4a 2a 2a 4ac ? b 2 ∴ 当 a ? 0 时,二次函数有最小值 y min ? . 4a 4ac ? b 2 同理,当 a ? 0 时,二次函数有最大值 y max ? . 4a 3.问题引入:现有建一长方形花坛的材料 16 m,由于场地的限制,其宽度不能超过 3 m,

对于二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a ( x ?

怎样设计长与宽使花坛面积最大? (由于有实际条件的限制,自变量的取值范围是“全体实数中的一部分” ,此时“二 次项系数大于 0,二次函数只有最小值;二次项系数小于 0,二次函数只有最大值”是 否正确?又如何求解呢?) 二、例题选讲 问题一 二次函数在给定区间上的最值

例 1 (解决问题)现有建一长方形花坛的材料 16 m,由于场地的限制,其宽度不能 超过 3 m,怎样设计长与宽使花坛面积最大?

07.二次函数的最值学案

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练习 1 (衔接教材 P52-例 2)已知函数 y ? x 2 ? 3x ? 2 . (1)用配方法求函数的最小值; (2)当 x ? (0, ? ?) 时,求函数的最小值; (3)当 x ? [0, 1] 时,求函数的最小值; (4)当 x ? [0, 2] 时,函数是否存在最大值,若存在,求出最大值;不存在,说明理 由.

问题二

可化为二次函数的最值问题

例 2 (衔接教材 P53-例 5)解下列各题 (1)求函数 y ? x ? 2 x ? 2 最小值; (2)求函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的最大值. 练习 2 (衔接教材 P53-例 6)已知 x1 , x 2 是方程 x 2 ? mx ? m ? 0 的两个根. (1)求 m 的取值范围;
2 2 (2)求 x1 ? x 2 的取值范围.

问题三

巩固提升

例 3 (衔接教材 P52-例 3)已知二次函数 y ? ax 2 ? 4ax ? c (a ? 0) 当 x ? [?3, 1] 有最 大值 6,当 x ? [0, 1] 时有最大值 2,求这二次函数的解析式.

例 4 (衔接教材 P53-例 4)函数 y ? ?x 2 ? 2ax ? a ,已知当 x ? [0, 1] 时,函数有最大 1 值 a 2 ? a ,最小值 ,求 a 的值. 3

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