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高中数学知识点总结


概率与统计
1.离散型随机变量ξ 取每一个值 xi(i=1,2,…)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则 P1+P2+…=1;

E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? … 为ξ的数学期望,期望是反映随机变量“均值”的量, E (a? ? b) ? aE? ? b ;求离散型随机变量ξ 的期望的基本步骤:①理解ξ 的意义,写出
ξ 可能 取的 全部 值; ②求ξ 取 各个 值的 概率 ,写 出分 布列 ; ③根据分布列,由期望的 定义求出 Eξ
王新敞
奎屯 新疆

[举例] 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ? 表示方程

x 2 ? bx ? c ? 0 实根的个数(重根按一个计) .
(Ⅰ)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率; (Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望;
2

解析: (Ⅰ) 由题意知: 设基本事件空间为 ? , “方程 x ? bx ? c ? 0 没有实根” 记 为事件 A ,
2

“方程 x ? bx ? c ? 0 有且仅有一个实根”为事件 B , “方程 x ? bx ? c ? 0 有两个相异实
2 2

2, 6 数”为事件 C ,则 ? ? (b,c ) b,c ? 1, …, , ? 是的基本事件总数为 36 个,

?

?

? B ? ?(b,c) b C ? ?(b,c) b

A ? (b,c) b2 ? 4c ? 0,b,c ? 1, …, , A 中的基本事件总数为 17 个; 2, 6
2

2

? ? 4c ? 0,b,c ? 1, …, , B 中的基本事件总数为 2 个; 2, 6? ? 4c ? 0,b,c ? 1, …, , C 中的基本事件总数为 17 个; 2, 6?
2 17 19 ? ? . 36 36 36

又因为 B,C 是互斥事件,故所求概率 P ? P( B) ? B(C ) ?

1, (Ⅱ)由题意, ? 的可能取值为 0,2 ,则

P ?? ? 0? ?

17 1 17 , P ?? ? 1? ? , P ?? ? 2? ? , 36 18 36

故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

17 1 18 36 17 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 1 。 所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 36 18 36

17 36

[巩固]某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P ( A) ; (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E? . (07 高考全国卷(Ⅰ)理 18) 2.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发
k 生 k 次的概率是 Pn (? ? k ) ? Cn p k q n?k , k=0,1,2,…,n, q ? 1 ? p ) ( .称 这 样的随 机

变 量 ξ 服 从二 项 分布 , 作 ξ ~ B ( n , ), 记 p 其中 n, 为参数; ξ~B(n, ), E? ? np. p 若 p 则 [举例]某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制, 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制, 两次烧制过程相互独立. 根据该厂现有的技术水 平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5 , 0.6 , 0.4 ,经过第 二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6 , 0.5 , 0.75 . (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的期望. (07 高考江西理 19) 解析:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A , A2 , A3 , 1 (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则 P(E) ? P( A1 A2 A3 )+ P( A2 A1 A3 ) +

P( A3 A1 A2 ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.38 .
(2)解法一:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A,B,C ,则

P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 ,所以 P(? ? 0) ? (1 ? 0.3)3 ? 0.343 ,

P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441, P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .于是, E(? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9
解法二:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0.3 ,

0.3) 所以 ? ~ B(3, ,故 E? ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .
[巩固] 一个袋中装有 3 个红球,7 个白球,从袋中随机摸出一个球,记录颜色后放回,连摸 5 次,试求摸到红球的次数 ? 的分布列及期望 E? 。 3.随机抽样需借助于随机数表(先对总体逐一编号) ,分层抽样的关键是“按比例” :总体 中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中,每一个个体被抽到的概率相等。

[举例]从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样 从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率 ( ) A、不全相等 B、均不相等 C、都相等,且为

25 1002

D、都相等,且为

1 40

4 2000 ? , 2004 2004 50 2000 50 50 ? ? 在第二步的系统抽样中被抽中的概率为 , 故每人入选的概率为 2000 2004 2000 2004
解析:某人“入选” ,首先在第一步的随机抽样中要不被剔除,其概率为 1 ? [巩固] 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5。现用分 层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件。那么此样本的容量 n= 。

频 率 ,直方图中小矩形框的面积是频率; 组距 频率×样本个数=频数。 频率 [举例 1]从一条生产线上每隔 30 分钟取一件产品,共 组距
4. “读懂”样本频率分布直方图:直方图的高= 取了 n 件,测得其尺寸后,画得其频率分布直方图如右, 0.04 尺寸在[15,45]内的频数为 46,则尺寸在[20,25]内 的产品个数为 0.016 解析:由直方图可见,尺寸在[15,45]内的频率为 1-0.016×5=0.92, ∴

46 =0.92,得 n=50; n

10 15 20 25 30 35 40 45

产品尺寸

而尺寸在[20,25]内的频率为 0.04×5=0.2, ∴尺寸在[20,25]内的产品个数为:0.2×50=10. [巩固 1] 在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤 维粗细的一种量) 共有 100 个数据, 将数据分组如右表: (I)画出该产品纤度的频率分布直方图;

分组

频数

[1.30, 1.34)

4

, 中的概率及纤度小于 (II)估计纤度落在 [1.38 1.50)
1.40 的概率是多少?
(III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值

[1.34, 1.38)
[1.38, 1.42) [1.42, 1.46) [1.46, 1.50) [1.50, 1.54)

25
30

1.34) 的中点值是 1.32 ) (例如区间 [1.30, 作为代表. 据
此,估计纤度的期望. [巩固 2]一个社会调查机构 就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据 画了样本的频率分布直方图 (如右图) .为了分析居民的 收入与年龄、学历、职业等 方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000) (元)月收入 段应抽出 人.

29 10
2

频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

合计

100

月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

5.熟悉方差的计算公式和性质,如:样本同加(减)一个常数,方差不变;样本同乘一个 2 常数 k, 方差变为原来的 k 倍; “标准差”是方差的算术平方根。样本的方差和标准差是反 映其 “稳定性” 的量。 对于离散型随机变量ξ, 如果它所有可能取的值是 x1 ,x2 , …,xn , …, 且 取 这 些 值 的 概 率 分 别 是 p1 , p 2 , … , p n , … , 那 么 , D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + 式中的 E? 是随机变量 ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +…+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +…称为随机变量ξ的方差,

ξ的期望. D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量ξ的标准差,记作 ?? 。
[举例]某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据 的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为 (A)1 (B)2
2

(C)3
2

(D)4

解析:由题意可得:x+y=20,(x-10) +(y-10) =8,解这个方程组需要用一些技巧,因为不要直 接求出 x、y,只要求出 x ? y ,设 x=10+t, y=10-t, 由(x-10) +(y-10) =8 得 t =4;
2 2 2

∴ x ? y ? 2 t ? 4 ,故选 D。 [巩固 1]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 ) 9 6 10 4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A. s3 ? s1 ? s2 C. s1 ? s2 ? s3 B. s2 ? s1 ? s3 D. s2 ? s3 ? s1 ( 07 高考宁夏理 11)

[巩固 2]随机变量 ? 的分布列如下:

?
P
其中 a,b,c 成等差数列,若 E? ? 6.正态分布密度函数: f ( x) ?

?1

0
b

1

a

c
. (07 高考浙江理 15)

1 ,则 D? 的值是 3
? ( x?? )2 2? 2

1 2??

e

, (σ>0,-∞<x<∞) ,其中 x 是随机变

量的取值,μ为正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为 N (?, ? ) ;
2

正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 , (2)曲线关于直线 x=μ对称 , (3)当 x=μ时,曲线位于最高点 (4)当 x<μ时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ时,
王新敞
奎屯 新疆

曲线下降(减函数) ,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠 近 , (5)μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖” ,总体分布越分散;σ 越小,曲线越“高”.总体分布越集中。当μ=0、σ=l 时,正态总体称为标准正态总体,其 相应的函数表示式是 f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, (-∞<x<+∞) 。对于标准正态总体 N (0, , 1)

( ;当 x0 ? 0 时, ?( x0 ) 表示总体取值小于 x0 的概率, 即 ?( x0 ) ? P( x ? x0 ) , x0 ? 0 ) 而当 x0 ? 0 时, (0) =0.5; 计算正态总体的概率应结合正态曲线 (面 ? ?( x0 ) ? 1 ? ?(? x0 ) ; 积)进行。

1) [ 举 例 1] 设 随 机 变 量 ? 服 从 标 准 正 态 分 布 N (0, , 已 知 ? (?1.96) ? 0.025 , 则 P( |? ? 1 . 9 =( | 6)
A.0.025 ) (07 高考湖南理 5) B.0.050 C.0.950 D.0.975

解析:P(| ? |? 1.96) = 1 ? [ P(? ? ?1.96) ? P(? ? 1.96)], 因为标准正态曲线关于 y 轴对称, 所以 P(? ? 1.96) ? P(? ? ?1.96) ? 0.025,故 P(| ? |? 1.96) =0.950,选 C。 [举例 2]以 ? ( x ) 表示标准正态总体在区间 (??,x) 内取值的概率,若随机变量 ? 服从正态 分布 N (?,? 2 ) ,则概率 P( ? ? ? ? ? ) 等于( B ) (07 高考安徽理 10) A. ?( ? ? ? ) ? ?( ? ? ? ) C. ? ? B. ?(1) ? ?(?1) D. 2?(? ? ? )

? 1? ? ? ? ? ? ?

解析: P( ? ? ? ? ? ) 即正态分布 N (?,? 2 ) 的分布曲线与直线 x ? ? ? ? 、 x ? ? ? ? 、

y ? 0 所围成的区域面积,也就是标准正态分布 N (0, 的分布曲线与直线 x ? ?1 、 x ? 1 、 1) y ? 0 所围成的区域面积,即 ?(1) ? ?(?1) ,故选 B。

1) [巩固 1]在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1 ? )(? ? 0) .若 ? 在 (0, 内取值的 ,
2

2) 概率为 0.4,则 ? 在 (0, 内取值的概率为

. (07 高考全国卷Ⅱ理 14)

P 0 ) [巩固 2]已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , (? ≤ 4) ? 0.84 , P(? ≤ 则
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84

? (



(07 高考浙江理 5)

答案 1.[巩固]0.784,240;2、[巩固]3.5,16.5;3、[巩固]80,4、[巩固 1] (Ⅱ)0.69,0.44, (Ⅲ) 1.4088, [巩固 2] 25,5、[巩固 1] B ,[巩固 2]

5 ;6、[巩固 1] 0.8 ,[巩固 2]A 9


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