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福建省漳州市七校2013届高三第一次联考数学理试题


漳州市七校 2013 届高三第一次联考数学理试题
选择题部分(共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每题所给的四个选项中,只有一个是 正确的)

1.已知集合 M= x | y ? 3 ? x 2 }, N ? { y | 1 ? y ? 3} ,且 M 、 N 都是全集 R 的子集,则 右图韦恩图中阴影部分表示的集合为( )

?

A.{x|- 3 ? x ? 3 } C.{x| 3 ? x ? 3 }

B. {y|- 1 ? y ? 3 } D. Φ )

2. “已知命题 p : 9 ? x2 ? 0, q : x2 ? x ? 6 ? 0 ,则 ?q是?p 的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)既不充分也不必要条件 (D)必要不充分条件

3.已知 S n 是等差数列 {an } 的前n项和,若 a2 ? a5 ? a8 ? 12 ,则 S9 等于 (A)18
5

(B)36

(C)72

(D)无法确定 )

4.若 ?2x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?a5 x 5 ,则 a1 ? a3 ? a5 的值为( (A) 121 (B)122 (C)124 ) (D)120

5.下列命题中,错误的是( ..

(A)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 (B)如果平面 ? 垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (C)如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (D)若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线 6. 要从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名学生组成课外学习小组, 如果按性别依比例分层随 机抽样,试问组成此课外学习小组的概率为( (A)
4 C10C52 6 C15

) (D)
4 A10 A52 6 C15

(B)

3 3 C10C5 6 C15

(C)

6 C15 6 A15

x2 y2 7.以抛物线 y ? 20x 的焦点为圆心,且与双曲线的两 16 ? 9 ? 1 斩近线都相切的圆
2

1

的方程为 (

) (B) x 2 ? y 2 ? 20x ? 36 ? 0 (D) x 2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0

(A) x 2 ? y 2 ? 20x ? 64 ? 0 (C) x 2 ? y 2 ? 10x ? 16 ? 0

?2 x ? y ? 4 ? 8.设 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z=x+y( ?x ? 2 y ? 2 ?
(A).有最小值 2,最大值 3 (C).有最大值 3,无最小值

)

(B).有最小值 2,无最大值 (D).既无最小值,也无最大值

? 9.在△ ABC 中,?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为

钝角三角形的概率为 (A)

( ( B)

) (C)

1 6

1 3

1 2

(D)

2 3

10.把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几个 ..... 正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为 n 的一个等差分拆.将这些正整数 的不同排列视为相同的分拆.如: (1,4,7)与(7,4,1)为 12 的相同等差分拆.问 正整数 24 的不同等差分拆的个数是( (A)13 (B)8 (C)10 ) . (D)14

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0),| b |=1 则| a+2b |= 12.已知某几何体的三视图如下,则该几何体的表面积是________。
0

2 2 ) 13. 若 点 P( 1, 1 为 圆 ( x ? 3) ? y ? 9 的 弦 MN 的 中 点 , 则 弦 MN 所 在 直 线 方 程





2

14.已知 a ? 是

?

?
2 0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?

1 x

) 6 的展开式中含 x 2 项的系数



15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆 心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在 (0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位 于(2,1)时, 的坐标为______________。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16.(本题满分 13 分)已知向量 a ? (sin x, ?1) , b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数

?

?

1 2

? ? ? f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 .
(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ )已知 a , b , c 分别为 ?ABC 内角 A , B , C 的对边,其中 A 为锐角,

a ? 2 3 , c ? 4 ,且 f ( A) ? 1,求 A , b 和 ?ABC 的面积 S .

17. (本小题满分 13 分)已知等比数列 差中项. (Ⅰ )求数列

?an ?满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 ,a4 的等
1 , S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求使 an

?an ?的通项公式; )若 b (Ⅱ

n

? an ? log 2

Sn ? 2n?1 ? 47<0 成立的正整数 n 的最小值.

3

18. (本小题满分 13 分) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上各抽取

40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量值落在 (495,510] 的产品为合格品,
否则为不合格品.图 1 是甲流水线样本的频率分布直方图,表 1 是乙流水线样本频数分布表.

(Ⅰ) 若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的件数 X 的数 .. 学期望; (Ⅱ) 从乙流水线样本的不合格品中任意取 2 件, 求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布列 ..... 及期望;

19.(本小题满分 13 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD ,

AB 丄 BC , ?BAC ? 450 , PA=AD =2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明 PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 , 求 AE 的长.
0

4

20.已知椭圆 G :

1 3 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,且经过点 P (1, ) . 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ?

1 B x ? m 与椭圆 G 交于 A 、 两点, 线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T , 2

当 m 变化时,求 ?TAB 面积的最大值.

21(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求
2

a 的取值范围.

5

11、 13、

2 3

12、36+ 6 2 14、-192 15、 ?2 ? sin 2,1 ? cos2

2 x ? y ? 1? 0

?

三、本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2

? ? ?

?2

? ?

? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) …………………………………….…………………………5 分 6 2? ? ? ……………………………….………………………7 分 因为 ? ? 2 ,所以 T ? 2
(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ?

?

?

6

) ?1 .

(Ⅰ) 设等比数列

?an ?的首项为 a1 ,公比为 q ,

6

依题意,有 ? 由 当q 当q

? a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a3 ? 3a 2 , 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)

(1) 得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 . ? 1 时,不合题意舍;
? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, an ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n .
1 1 ? 2n ? log 2 n ? 2n-n . an 2
……………….……6 分 ……………….…………7 分

(Ⅱ) bn ? an ? log 2

所以 Sn ? 2 ?1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ?? 2n ? n

? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
? 2(1 ? 2 n ) n(1 ? n) 1 1 ? ? 2 n ?1 ? 2 ? n ? n 2 1? 2 2 2 2
n ?1

……………….………10 分

因为 S n ? 2n?1 ? 47 ? 0 ,所以 2 即n
2

?2?

1 1 n ? n 2 ? 2 n ?1 ? 47 ? 0 , 2 2
……………….…………………………12 分

? n ? 90 ? 0 ,解得 n ? 9 或 n ? ?10 .
?

因为 n ? N ,故使 Sn ? 2n?1 ? 47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10 . …………….13 分 18(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图1知,甲样本中合格品数为 (0.06 ? 0.09 ? 0.03) ? 5 ? 40 ? 36 ,

则 Y 的取值为 0,1,2 ;且 P(Y ? k ) ?

k C4 ? 6 ?k C2 (k ? 0,1, 2) ,于是有: 2 C10

P(Y ? 0) ?
∴ Y 的分布列为

1 8 2 , P(Y ? 1) ? , P(Y ? 2) ? 3 15 15

Y
P

0
1 3

1
8 15

2

2 15
7

…………………………11 分

EY=0 ?

1 8 2 4 ? 1 ? ? 2 ? ? …………………………13 分 3 15 15 5

19.(本题满分 13 分) 解:解:(1)以 AD, AC, AP 为 x, y , z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? xyz

???? ??? ??? ? ?

???? ? ???? ? ???? ? AD?n 6 30 cos ? AD, n ?? ???? ? ? ? sin ? AD, n ?? 6 6 AD n
得:二面角 A ? PC ? D 的正弦值为

30 6
??? ? 1 2 ??? ? 1 , h), CD ? (2, ?1, 0) 2

(3)设 AE ? h ?[0, 2] ;则 AE ? (0,0, 2) , BE ? ( , ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BE ? CD 3 3 10 10 即 AE ? cos ? BE , CD ?? ??? ??? ? ? ?h? ? ? 2 10 2 10 BE CD 10 ? 20h
(20). (本题满分 14 分)

? b2 1 2 ?e ? 1 ? 2 ? ? ? a 2 ,解得 ?a ? 4 ————2 分 解: (Ⅰ)由已知 ? ? 2 ?b ? 3 ? ? 1 ? 9 ?1 ? a 2 4b 2 ?
x2 y 2 ? 椭圆 G 的方程为: ? ? 1 .————4 分 4 3

8

? x2 y 2 ?1 ? ? ?4 2 2 3 (Ⅱ) ? 消去 y 得: x ? mx ? m ? 3 ? 0 ,————5 分 ?y ? 1 x ? m ? ? 2

Q 椭圆与直线有两个不同的交点,? ? ? 0 ,即 m 2 ? 4 ,————6 分
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 )

? x1 ? x2 ? ?m, , x1x2 ? m2 ? 3 ,
| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?
x0 ?

5 12 ? 3m2 2

x1 ? x2 m 1 3 m 3 ? ? , y0 ? x0 ? m ? m ,? M (? , m) ————8 分 2 2 2 4 2 4 m 设 T (t , 0) , ? MT ? AB ,? K AT K AB ? ?1 ,解得 t ? ? ,————10 分 8

? T (?

m 3 5 , 0) , MT ? | m|, 8 8

SVTAB ?

1 15 | AB | ? | MT |? ?3(m 2 ? 2) 2 ? 12 ,? 0 ? m2 ? 4 ————12 分 2 32

? 当 m 2 ? 2 即 m ? ? 2 时, VTAB 面积最大为
(21) (本题满分 14 分) 解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

15 3 ————14 分 16

2 ( x ? 0) . x
2 . 3

………………2 分

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

………………3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

………………5 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 ,

9

在 区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 a

1 a

1 a

1 a

………9 分

………………10 分

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . ……………11 分 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?

1 a

1 ? 2 ln a . 2a

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e
………………13 分 ………………14 分

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1.

10


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