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数学:3.1.2《用二分法求方程近似解》课件(新人教A版必修1)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
必修1

3.1.2

《用二分法求方程的近似解》

教学目 标
? 使学生了解什么是二分法,会用二分法求

一个函数在给定区间内的零点。从而求得 方程的近似解。 ? 教学重点:用二分法求方程的近似解。 ? 教学难点:二

分法的理解。

§3.1.2用二分法求方程的近似解
复习与引入:
1、什么是函数的零点?

对函数y ? f ( x)使f ( x) ? 0的实数x叫做函 数y ? f ( x)的零点。
2、零点的存在性定理的内容是什么?

如果函数y ? f ( x)在区间 a, b]上图像是连续不断 [ 的一条曲线,并且有 (a) ? f (b) ? 0那么函数f ( x) f 在区间 a, b]内有零点。即存在 ? (a, b), 使f (c) ? 0. [ c

试求函数 ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 f 的零点 精确到 .01 。 ( 0 )
y
4

2

0

1

5

x

-2

-4

由前面的图像我们已经知道函数的零点个数是一个在 区间(2,3)内,那么进一步的问题是如何找出这个零点 (精确到0.01)? 实例:若我要找一个人,便去问知情人。甲说涟源 市内读书,乙说:在涟源市内一所高中读书,丙说: 在行知中学读书,丁说:在行知中学138班读书,很 明显,哪人的说法更易找到呢?

零点 x

问题1:那么又用什么方法来将区间逐步缩小呢?

a?b 取区间中点 x0 ? 2

问题2:区间分成两段后,又怎样确定在哪一个小 的区间内呢?

判断f (a) ? f ( x0 ) ? 0成立与否,若成立则, 零点在(a, x0 ),否则在( x 0 , b)。

下面我们一起来将区间逐步缩小从而找到其近似零 点。

函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6的零点在区间 2,3)内, ( 2?3 取区间(2,3)的中点x1 ? ? 2.5 2
f (2.5) ? ?0.084 且由函数图像可知 (2) ? 0, f f (3) ? 0,所以,函数 ( x)的零点落在( .5, f 2 3)内。

同理再取 (2.5,3) 的中点 2.75 因为 f (2.5) ? f (2.75) ? 0 故 函数的零点落在区间 (2.5,2.75) 再取(2.5,2.75)的中点2.625因为 f (2.5) ? f (2.625) ? 0 故 函数的零点落在区间 (2.5,2.625) 内

) 再取(2.5,2.625) 的中点 2.5625 因为 f (2.5) ? f (2.5625 ? 0 故 函数的零点落在区间 (2.5,2.5625) 内
f ) 再取(2.5,2.5625) 的中点2.53125 因为 (2.53125 ? f (2.5625) ? 0故 函数的零点落在区间(2.53125,2.5625)内

再取(2.5312,2.5625)的中点 2.546875



) ) 为 f (2.53125 ? f (2.546875 ? 0故函数的零点落在
区间
(2.53125,2.546875)内

再取(2.53125,2.546875)的中点 2.5390625 因

为 f (2.53125 ? f (2.5390625 ? 0故函数的零点落在 ) )
区间 (2.53125,2.5390625) 内

零点所在区间

区间端点的 绝对值

中点值

中点函 数近似值

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625)

1 0.5 0.25 0.125 0.0625

2.5 2.75

-0.084 0.512 0.215 0.066

2.625
2.5625

2.53125
2.546875 2.5390625

-0.009
0.029 0.010 0.001

0.03125

(2.53125,2.546875) 0.01562

(2.53125,2.5390625) 0.0078125 2.53515625

我们发现:,3) ? (2.5,3) ? (2.5,2.75) ? (2 (2.5,2.625) ? (2.5,2.5625 ? (2.531252.5625 ) , ) ? (2.531252.54687 ? (2.531252.5390625 , ) , )
区间确实是缩小了。 而且,当精确度为0.01时,由于

2.5390625 2.53125 ? 0.0078125 0.01 ? ?
所以我们将=2.53125作为函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的近似根(亦可将该区间内任意一点作为其近似根)。

f 通过“取中点”,不断地把函数(x) 的零点所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值。这样的方法称为二分法。
在给定精确度,用二分法求函数零点的近似值的步骤 是: 1.确定区间,验证,给定精确度; 2.求区间 ( a, b) 的中点 x ? a ? b ; 1

2

3.计算 f (x)

(1)若 f ( x1 ) ? 0 ,则 止;

x1 就是函数的零点,计算终

(2)若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 )) (3)若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0则令 (此时零点 x0 ? ( x1 , b)) a ? x1

4.判断是否达到精确度 ? :即若 a ?b ? ? ,则得到 零点近似值 a或b ;否则重复(2)~(4)。

用流程图表示如下:

f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6
输入精确度?和 区间端点值a, b

a?b x1 ? 2



a ? x1

f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ? 是

b ? x1

a ? b ? ?或f ( x1 ) ? 0




输出a或b

例题1 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的近似解(精确到0.1)。 解: f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 令
用计算器或计算机作出函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 的对应值表与图象:

y ? 2x ? 3x ? 7

x

0 -6

1 -2

2 3

3 10

4 21

5 40

6 7 75 142



。 y 观察右图和表格,可知 f (1) ? f (2) ? 0 说明在区间(1,2)内有零点 x0 取区间(1,2)的中点 x1 ? 1.5


x

用计算器可的得f (1.5) ? 0.33
x0 ? (1,1.5)再取 (1,1.5)的中点 x2 ? 1.25用计算器求得 f (1.25) ? ?0.87 因此 f (1.25) ? f (1.5) ? 0 所以 x ? (1.25,1.5)
, , , ,

因为 f (1) ? f (1.5) ? 0 ,所以

0



同理可得 x0 ? (1.375,1.5), x0 ? (1.375,1.4375)


由1.375 ?1.4375 ? 0.0625 ? 0.1,此时区间 (1.375,1.4375) 的两个端点,精确到0.1的近似值是1.375(或1.4375) 练习 教材第91页练习1、2题 小结 用二分法求函数的零点的近似值的原理及步骤:

1.确定区间,验证,给定精确度;

a?b 2.求区间 (a, b) 的中点 x1 ? ; 2
3.计算 f (x) (1)若 f ( x1 ) ? 0 ,则 止;

x1 就是函数的零点,计算终

(2)若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 )) (3)若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0则令 (此时零点 x0 ? ( x1 , b)) a ? x1

4.判断是否达到精确度 ? :即若 a ?b ? ? ,则得到 零点近似值 a或b ;否则重复(2)~(4)。
作业 教材第92页第3、4题


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