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§2.8 函数与方程


§2.8
高考会这样考

函数与方程

1.考查函数零点的个数和取值范围;2.利用函数零点求解参数的取值范围;3.利用

二分法求方程近似解;4.与实际问题相联系,考查数学应用能力. 复习备考要这样做 1.准确理解函数零点与方程的根,函数图象与 x 轴交点之间的关系,能根据零

点存在性定理和二分法求方程近似解;2.会利用函数值域求解“a=f(x)有解”型问题;3.利用数形 结合思想解决有关函数零点的个数问题.

1. 函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么函 数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0, 这个__c__也就是 f(x)=0 的根. 2. 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ >0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 3. 二分法 (1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 (x1,0),(x2,0) 两个 (x1,0) 一个 Δ =0 Δ <0

无交点 无

f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法
叫做二分法. (2)给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ;②求区间(a,b)的中点 c;③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;
1

(ⅱ)若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④. [难点正本 疑点清源]

(1)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的根; (2)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点, 而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件,而 不是必要条件. (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不 同的值,就有几个不同的零点.

1.

若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是_______.

2. 已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N*), 则 k 的值为________.

3. 函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7

(

)

4.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 1 A.(- ,0) 4 1 B.(0, ) 4 1 1 C.( , ) 4 2 1 3 D.( , ) 2 4

(

)

2

题型一 例1

函数零点的判断

判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x -3x-18,x∈[1,8];(2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].
2

思维启迪:第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点, 第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.

探究提高

求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,

三是用图象.值得说明的是,零点存在性定理是充分条件,而并非是必要条件. 函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
x

(

)

题型二 例2

函数零点个数的判断

若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x, 则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是________.

思维启迪:函数零点的个数?方程解的个数?函数 y=f(x)与 y=log3|x|交点的个数.

3

函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

(

)

题型三 例3

二次函数的零点问题

已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

思维启迪:设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图, 然后用函数性质加以限制.

探究提高

对二次函数的零点问题,可以采用根与系数的关系和判别式解决; 比较复杂的题目,可利用二次函数的性质结合图象寻求条件.

4

关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时: (1)有两不同正根;(2)不同两根在(1,3)之间;(3)有一根大于 2,另一根小于 2; (4)在(1,3)内有且只有一解.

题型四 例4

函数零点的应用

若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

思维启迪:方程的根也就是与方程对应的函数零点,判断方程的根是否存在,可以通过 构造相应的函数,将其转化为函数零点的存在性问题求解,也可直接通过分离参数,转 化为函数的值域问题求解.

5

|x2-1| 已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点, x-1 则实数 k 的取值范围是________.

5.数形结合思想在函数零点问题中的应用 典例:已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 审题视角 (1)y=g(x)-m 有零点即 y=g(x)与 y=m 的图象有交点,所以可以结合图象求 e2

x

(x>0).

解.(2)g(x)-f(x)=0 有两个相异实根?y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个不同交点, 所以可利用它们的图象求解.

6

温馨提醒

(1)求函数零点的值,判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等

问题,都可利用方程来求解,但当方程不易甚至不可能解出时,可构造两个函数,利用数形结合 的方法进行求解. (1) 方法与技巧 1. 函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2. 研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3. 转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求 参数范围问题可转化为函数值域问题. 失误与防范 1. 函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的 横坐标. 2. 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不必要;判断零点个数还要根据函 数的单调性、对称性或结合函数图象. A组 专项基础训练 ( D.4 ) 本题的易错点是确定 g(x)的最小值和 f(x)的最大值时易错.要注意函数最值的求法.

一、选择题 1. 方程|x2-2x|=a2+1 (a>0)的解的个数是 A.1 B.2 C.3

2.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

(

)

?x +2x-3,x≤0, 3. 函数 f(x)=? ?-2+ln x,x>0
2

的零点个数为 C.1

( D.0

)

A.3

B.2

7

4. 已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b

)

二、填空题 5. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 014x+log2 014x, 则在 R 上,函数 f(x)零点的个数为________.

6.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3, 则 x1,x2,x3 的大小关系是______________.

?x -x-1,x≥2或x≤-1, 7. 若 f(x)=? ?1, -1<x<2,
2

则函数 g(x)=f(x)-x 的零点为____________.

2 三、解答题 8. 判断函数 f(x)=4x+x2- x3 在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由. 3

8

9. (已知函数 f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.

B组 一、选择题

专项能力提升

1. 已知函数 f(x)=log2(a-2x)+x-2,若 f(x)存在零点,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.[4,+∞]

)

2.函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

(

)

?1? 3.已知函数 f(x)=log2x-? ?x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值为( ?3? A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零

)

9

二、填空题 4. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x), 满足 f(4-x)=f(x), 且在区间[0,2]上是增函数. 那么“f(0)<0” 是“函数 f(x)在区间[0,6]上有 3 个零点”的______________条件.

5. 已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(-x+2)=f(-x),当 x∈[-1,1]时,

f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为________.

x ?2 -1,x>0, 6.已知函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0,

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,

则实数 m 的取值范围是________.

三、解答题 7. (1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.

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