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2014年浙江省高考数学试卷及答案(文科)


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绝密★考试结束前

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4 至 5 页。 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规 定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下面积, h 表示台体的高 柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V ? 球的表面积公式

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3

S ? 4? R2
球的体积公式

4 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径
如果事件 A, B 互斥 ,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

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一 、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1. 设集合 S ? {x | x ? 2}, T ? {x | x ? 5} ,则 S ? T ? A. (??,5] B. [2,??) C. (2,5) D. [2,5]

2. 设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD。则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 A.72cm3 C.108 cm3 B. 90 cm3 D. 138 cm3

4.为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图像

? 个单位 12 ? C.向左平移 个单位 12
A.向右平移

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 4
B.向右平移

5. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是 A. ? 2 B. ? 4 C. ? 6 D. ? 8

6. 设 m、n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面 A.若 m⊥n,n∥ ? 则 m⊥ ? B.若 m∥ ? , ? ⊥ ? ,则 m⊥ ? C.若 m⊥ ? ,n⊥ ? , n⊥ ? 则 m⊥ ? D.若 m⊥n,n⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 m⊥ ? 7. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,且 0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3 ,则 A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6
a

C. 6 ? c ? 9

D. c ? 9

8. 在同意直角坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能是

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9.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? ( A.31 B.32 C.63 D.64



10. 如图, 某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练, 已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点沿墙面上的射线 CM 移动。此人为了准确瞄准目 标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小(仰角 ? 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)。若 AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°.则 tan ? 的最大值是 A.

30 5

B.

30 10

C.

4 3 9

D.

5 3 9

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 已知 i 是虚数单位,计算

1? i ? ____________. (1 ? i) 2

12. 若实数 x , y 满足

,则 x ? y 的取值范围是__________.

13.若某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运行后输出的结果是_______. 14. 在 3 张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖。甲、乙两人各取 1 张,两人都中 奖的概率是________. 15. 设函数 f ( x) ?
,若

f ( f (a)) ? 2 .则 a =_______.

16.双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2, 焦点到渐近线的距离为 3 , 则 C 的焦距等于______. a 2 b2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 2, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (1)设 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (2)求 {an } 的通项公式.

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20.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P-BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED =90°,AB=CD=2, DE=BE=1,AC= 2 . (Ⅰ)证明: AC⊥平面 BCDE; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值若 G 是线段 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的 正切值.

21.(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若 f(x)在 [ ?1,1] 的最小值记为 g(a) (Ⅰ)求 g(a); (Ⅱ)证明:当 x∈ [ ?1,1] 是,恒有 f(x) ? g(a)+4.

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22. (本题满分 14 分) 已知△ ABP 的三个顶点都在抛物线 C : x 2 ? 4 y 上,F 为抛物线 C 的焦点, 点M 为 AB 的中点, PF ? 3FM . (Ⅰ)若| PF |=3,求点 M 的坐标; (Ⅱ)求△ ABP 面积的最大值。

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科数学 试题答案与解析
1. 解析

S ? ?2, ??? , T ? ? ??,5? , S T ? ?2,5? .故选 D.

2. 解析 若四边形 ABCD 为菱形,则 AC ? BD ,反之,若 AC ? BD ,则四边形 ABCD 不一定是菱形, 故选 A. 3. 解析 由三视图可知,该几何体是由一个长方体和一个直三棱柱构成的组合体,如图,其体积为

1 6 ? 4 ? 3 ? ? 4 ? 3 ? 3 ? 90 cm3 ,故选 B. 2

4. 解析

因为 y ? sin 3x ? cos3x ?

π? ? ? π ?? ? 2 cos ? 3x ? ? ? 2 cos ?3 ? x ? ? ? ,所以将 y ? 2 cos3x 的图 4? ? ? ? 12 ? ?

像向右平移

? ? π ?? π 个单位即可得到 y ? 2 ? cos ?3 ? x ? ? ? 的图像,故选 A. 12 ? ? 12 ??
2 2

5. 解析

将圆的方程化为标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ? a ,所以圆心为 ? ?1,1? ,半径 r ?

2?a ,

圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 故选 B.

?1 ? 1 ? 2 2

? 2 ,故 r 2 ? d 2 ? 4 ,即 2 ? a ? 2 ? 4 ,所以 a ? ?4 ,

6. 解析 对于选项 A、 B、 D, 均能举出 m //? 的反例; 对于选项 C, 若 m ? ? ,n ? ? , 则 m //n , 又n ?? , 所以 m ? ? ,故选 C. 7. 解析 由 0 ? f ?1? ? f ? ?2? ? f ? ?3? ? 3 , 得 0 ? ?1 ? a ? b ? c ? ?8 ? 4a ? 2b ? c ? ?27 ? 9a ? 3b ? c ? 3 , 由 ?1 ? a ? b ? c ? ?8 ? 4a ? 2b ? c 得 3a ? b ? 7 ? 0 , 由 ?1 ? a ? b ? c ? ?27 ? 9a ? 3b ? c ,得 4a ? b ? 13 ? 0 , 由①②,解得 a ? 6 , b ? 11 ,所以 0 ? c ? 6 ? 3 ,即 6 ? c ? 9 ,故选 C. ① ②

8. 解析 因为 a ? 0 ,且 a ? 1 ,所以 f ? x ? ? xa 在 ? 0, ??? 上单调递增,所以排除 A;当 0 ? a ? 1 或 a ? 1 时,B、C 中 f ? x ? 与 g ? x ? 的图像矛盾,故选 D. 9. 解析 b ? ta ? a t 2 ? 2a ? b ? t ? b ? a t 2 ? 2 a ? b cos ? ? b ,
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2 2 2 2

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2 设 f ? t ? ? a t ? 2 a ? b cos ? ? b ,则二次函数 f ? t ? 的最小值为 1 , 2 2



4 a b ? 4 a b cos 2 ? 4a
2

2

2

2

2

? 1 ,化简得 b sin 2 ? ? 1 .

2

因为 b ? 0 , 0 剟?

π ,所以 b sin ? ? 1,若 ? 确定,则 b 唯一确定,而 b 确定, ? 不确定,故选 B.

10. 解析 如图,过 P 作 PQ ? BC 于 Q ,则 PQ ? 平面 ABC ,所以 ?PAQ ? ? , 设 PQ ? x m , 则 CQ = 3x m , BC ? 252 ?152 ? 20 m , BQ ? 20 ? 3x

?

?

m ,所以

AQ ? 152 ? 20 ? 3 x
所以 tan? =

?

?

2

? 625 ? 40 3 x ? 3 x 2 m ,

x 625 ? 40 3x ? 3x 2

?

1 625 40 3 ? ?3 x2 x
2

.设

25 ?t, x

? 4 3 ? 27 4 3 125 3 625 40 3 8 3 2 则 , 所 以 当 t? , 即 x? 时 , ? ? 3 ? t ? t ? 3 ? t? ? ? ? 2 ? ? 5 12 x x 5 5 ? 25 ?

625 ? x2

27 25 5 3 40 3 ,即 tan? 取得最大值 ,故选 D. ? ? 3 取得最小值 25 x 27 9
M B P Q C

A

11. 解析

1? i

?1 ? i ?

2

?

i ? ? 1 ? i ?1 ? i? ? ? ? ? 1 i 1 1 ? ? ?? ? i. 2i 2 2 2 ? 2?i? ? ? ? i

12. 解析 画出可行域如图,可行域为 △ ABC 的内部及其边界,设 x ? y ? t ,则 y ? ? x ? t , t 的几何意 义为直线 y ? ? x ? t 在 y 轴上的截距,当直线通过点 A,B 时, t 取得最小值与最大值,可求得 A,B 两点 的坐标分别为 ?1,0 ? 和 ? 2,1? ,所以 1 剟t

3 ,即 x ? y 的取值范围是 ?1,3? .

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y x+2y-4=0 2 x=1

C

B 4 x

O -1 x-y-1=0

A

13. 解析 第一步: i ? 1 , S ? 1 ,此时 i ? 2 ;第二步: i ? 2 , S ? 2 ?1 ? 2 ? 4 ,此时 i ? 3 ;第三步: i ? 3 , S ? 2 ? 4 ? 3 ? 11 ,此时 i ? 4 ;第四步:i ? 4 , S ? 2 ?11 ? 4 ? 26 ,此时 i ? 5 ;第五步:i ? 5 , S ? 2 ? 26 ? 5 ? 57 ? 50 ,此时 i ? 6 ;符合条件,所以输出 6 . 14. 解析 设 A 为一等奖奖券, B 为二等奖卷,C 为无奖奖卷,则甲、乙两人抽取的所有可能结果为 AB 、 BA 、 AC 、 CA 、 BC 、 CB ,共 6 种,而甲、乙两人都中奖的情况有 AB 、 BA ,共 2 种,故所求概率 为

2 1 ? . 6 3
若 a ?0 ,则 f
2 ? a? ? ? a

15. 解 析

?0 , 所 以 f ? f ? a ?? ? a4 ? 2a2 ? 2 , 由 f

?? ? 2 , 得 ? f? a
2

2 ? 2 a ? 2 ?? a ?1 a 4 ? 2a 2 ? 2 ? 2 , 解 得 a ? 2 ( 舍 负 ) . 若 a ? 0 , 则 f ? a? ? a ?

?1 ?0 ,所以

f ? f ? a ? ? ? ? ? a 2 ? 2a ? 2 ? ? 0 ? 2 .综上, a ? 2 .
16. 解析 因为 b ? a …2bc ,即 2 b ? c
2 2
2

?

2

? …b

2

? c 2 ? 2bc ? ? b ? c ? ,
2

所以 b ? c
2

2

?b ? c ? …
2
2 2

2

,由 a ? b ? c ? 0 ,得 b ? c ? ? a ,由 a ? b ? c ? 1 ,
2 2 2

得1? a ? b ? c
2

?b ? c ? …
2

2

?

2 a2 6 2 ,所以 a ? ,所以 ? 剟a 3 3 2

6 . 3

故 a 的最大值为

6 . 3

17. 解析

?x ? 3y ? m ? 0 ?x ? 3y ? m ? 0 bm ? ? ? ? am 由? 得点 A 的坐标为 ? 得点 B 的坐标为 , b b ? ,由 ? y? x y?? x ? 3b ? a 3b ? a ? ? ? a a ? ?

? a2m 3b 2 m ? 1 ? ?am bm ? , AB C 的中点 的坐标为 ? 2 , ? , 因 为 k AB ? , 所 以 ? ? ,则 2 3 ? 3b ? a 3b ? a ? ? 9b ? a 9b ? a ?

kCP

3b 2 m 2 3b 2 ? ?3 ,化简得 a 2 ? 4b2 , ? 92b ? a ? ?3 ,即 2 2 2 am a ? ? 9b ? a ? ?m 2 9b ? a
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2 2 2 2 2 即 a ? 4 c ? a ,所以 4c ? 5a ,所以 e ?

?

?

2

5 5 ,所以 e ? . 4 2

18. 解析 (I)由已知得 2 ? ?1 ? cos ? A ? B ? ? ? ? 4sin A sin B ? 2 ? 2 , 化简得 ?2cos A cos B ? 2sin A sin B ? 2 ,故 cos ? A ? B ? ? ? 从而 C ?

3π 2 ,所以 A ? B ? , 4 2

π . 4 1 π ab sin C , 由 S△ABC ? 6 , b ? 4 , C ? , 得 a ? 3 2 . 由 余 弦 定 理 2 4

( II ) 因 为 S△ ABC ?

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 ac bo s ,得 C c ? 10 .
评注 本题主要考查两角和与差的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时 考查运算求解能力. 19. 解析 (I)由题意知 ? 2a1 ? d ??3a1 ? 3d ? ? 36 ,将 a1 ? 1 代入上式解得 d ? 2 或 d ? ?5 .因为 d ? 0 ,
2 * 所以 d ? 2 .从而 an ? 2n ? 1, S n ? n n ? N .

?

?

(II)由(I)得 am ? am?1 ? am?2 ?

? am?k ? ? 2m ? k ?1?? k ?1? ,
*

k ? 1? 1 ,故 ? 所以 ? 2m ? k ?1?? k ?1? ? 65 .由 m, k ? N ,知 2m ? k ? 1 …
评注

?2m ? k ?1 ?13 ?m ? 5 ,所以 ? . ?k ? 4 ?k ? 1 ? 5

本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力. (I)连接 BD ,在直角梯形 BCDE 中,由 DE ? BE ? 1 , CD ? 2 ,得 BD ? BC ? 2 ,由

20. 解析

AC ? 2 , AB ? 2 ,得 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,即 AC ? BC .又平面 ABC ? 平面 BCDE ,从而 AC ? 平
面 BCDE . (II)在直角梯形 BCDE 中,由 BD ? BC ? 2 , DC ? 2 ,得 BD ? BC .又平面 ABC ? 平面 BCDE , 所以 BD ? 平面 ABC .作 EF //BD ,与 CB 延长线交于 F ,连接 AF ,则 EF ? 平面 ABC .所以 ? EAF 是 直线 AE 与平面 ABC 所成的角.
A

D E F B

C

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在 Rt△BEF 中,由 EB = 1 , ?EBF ?

π 2 2 ,得 EF ? , BF ? ; 4 2 2

在 Rt△ ACF 中,由 AC = 2 , CF ?

3 2 26 ,得 AF ? . 2 2

在 Rt△ AEF 中,由 EF ?

2 26 13 , AF ? ,得 tan ?EAF ? .所以,直线 AE 与平面 ABC 所成的 2 2 13

角的正切值是

13 . 13

评注 本题主要考查直线与平面的位置关系、线面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论 证能力. 21. 解析 (I)因为 a ? 0 , ?1 剟x 1 , 所以 (i) 当 0 ? a ? 1 时, 若 x ?? ?1, a? , 则 f ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a , 则 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 0 , 故 f ? x ? 在 ? ?1, a ? 上是减函数;若 x ?? ?1, a? ,则 f ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a , f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? a,1? 上是增函数. 所以 g ? a ? ? f ? a ? ? a3 .
3 2 (ii)当 a …1 时,有 x ? a ,则 f ? x ? ? x ? 3x ? 3a , f ? ? x ? ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是减

函数,所以 g ? a ? ? f ?1? ? ?2 ? 3a .

? a 3 , 0 ? a ? 1, 综上, g ? a ? = ? ? ?2 ? 3a, a …1.
(II)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ?a ? . (i)当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? a3 ,若 x ?? a,1? , h ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a ? a3 ,得 h? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,则 h ? x ? 在 ? a,1? 上是增函数.所以, h ? x ? 在 ? a,1? 上的最大值是 h ?1? ? 4 ? 3a ? a3 ,且 0 ? a ? 1 ,所以 h ?1? ? 4 . 故 f ? x ? ? g ? a ? ? 4 ;若 x ?? ?1, a? , h ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a ? a3 ,得 h? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,则 h ? x ? 在 ? ?1, a ?
3 上 是 减 函 数 , 所 以 h ? x ? 在 ? ?1, a? 上 的 最 大 值 是 h ? ?1? ? 2 ? 3 . 令 t ? a ? ? 2 ? 3a ? a2 , a ?a

t? ? x ? ? 3 ? 3a2 ? 0 , 知 t ? a ? 在 ? 0,1? 上 是 增 函 数 . 所 以 , t ? a ? ? t ?1? ? 4 , 即 h ? ?1? ? 4 . 故 f ? x? ? g ? a? ? 4 .
(ii)当 a …1 时, g ? a ? ? ?2 ? 3a ,故 h ? x ? ? x3 ? 3x ? 2 ,得 h? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,此时 h ? x ? 在 ? ?1,1? 上

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是减函数,因此 h ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值是 h ? ?1? ? 4 .故 f ? x ? ? g ? a ? ? 4x .综上,当 x ?? ?1,1? 时, 恒有 f ? x ? ? g ? a ? ? 4 . 评注 本题主要考查函数最大(小)值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推理论 证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力. 22. 解析 (I)由题意知焦点 F ? 0,1? ,准线方程为 y ? ?1 .设 P ? x0 , y0 ? ,由抛物线定义知 PF ? y0 ? 1 , 得到 y0 ? 2 ,所以 P 2 2, 2 或 P ?2 2, 2 .由 PF ? 3FM ,分别得 M ? ?

?

?

?

?

? 2 2 2? ?2 2 2? , 或M ? ? ? ? ? 3 ,3? ?. 3 3 ? ? ? ?

( II )设直线 AB 的方程为 y ? kx? m,点 A ? x1 , y1 ? ,点 B ? x2 , y2 ? , P ? x0 , y0 ? . 由 ?

? y ? kx ? m,
2 ?x ? 4 y



x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,于是 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4m ,所以 AB 的中点 M 的坐标
2 为 2k , 2k ? m .由 PF ? 3FM

?

?

2 得 ? ? x0 ,1 ? y0 ? ? 3 2k , 2k ? m ? 1 ,所以 ?

?

?

? ? x0 ? ?6k , 2 由 x0 ? 4 y0 2 ? ? y0 ? 4 ? 6k ? 3m,

得k ? ? m?
2

1 5

4 1 4 2 2 2 .由 ? ? 0 , k …0 ,得 ? ? m ? .又因为 AB ? 4 1 ? k ? k ? m ,点 F ? 0,1? 到 15 3 3

直线 AB 的距离为 d ?

m ?1 1? k 2



所以 S△ ABP ? 4S△ ABF ? 8 m ? 1 k 2 ? m ?

16 3m3 ? 5m2 ? m ? 1 . 15

记 f ? m ? ? 3m3 ? 5m2 ? m ? 1? ? 解得 m1 ?

4? ? 1 ? m ? ? .令 f ? ? m? ? 9m2 ?10m ? 1 ? 0 , 3? ? 3

1 , m2 ? 1 . 9

可得 f ? m? 在 ? ? , ? 上是增函数,在 ? ,1? 上是减函数,在 ?1, ? 上是增函数.

? 1 1? ? 3 9?

?1 ? ?9 ?

? 4? ? 3?

又 f ? ??

?1? ?9?

1 256 55 256 ?4? ,此时 k ? ? . ? f ? ? ,所以当 m ? 时, f ? m? 取到最大值 9 243 243 15 ? 3?

所以, △ ABP 面积的最大值为

256 5 . 135

评注 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知 识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.
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