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龙岩市2015届高三5月质检数学(理)试题 Word版含答案


龙岩市 2015 年高中毕业班教学质量检查

数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟
注意事项: 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
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>第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 1.已知集合 M ? ?1, 2? , N ? ?2,3? , P ? ?x | x ? a ? b, a ? M ,b ? N? , P 中元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知复数 z 满足 (4 ? 3i) z ? 25 ( i 是虚数单位 ) ,则 z 的虚部为 A. ? 3 3.若双曲线 B. 3

3 C. ? 5

3 D. 5

开始

i ? 2, S ? 0
i ?i?2

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则其离心率为 a 2 b2 5 5 A. 5 B. C. 2 D. 2 5 4.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a ? b 与 a ? b 平行,则实数 x 的值是
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S?S?

1 i




A.-2 5.如图给出的是计算

B.0

C.2

D.1

输出S
结束

(第 5 题图) 其中判断框内应填入的是 A. i ? 2014? B. i ? 2016? C. i ? 2018? D. i ? 2020? 6.某班有 34 位同学,座位号记为 01,02,…34,用下面的随机数表选取 5 组数作为参加青年 志愿者活动的五位同学的座号. 选取方法是从随机数表第一行的第 6 列和第 7 列数字开始, 由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 4 个志愿者的座号是

1 1 1 ? ? ? 2 4 6

?

1 1 ? 的值的程序框图, 2014 2016

49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
7.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a2 ? a9 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10 = A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5 8.已知 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题为真命题的序号是 A.23 B.09 C.02 D.16

-1-

①若 l ? ? , m ? ? , l / / ? , m / / ? ,则 ? / / ? ; ②若 l ? ? , l / / ? , ? ? ? m ,则 l / / m ; ③若 l / /? , ? / / ? ,则 l / / ? ; ④若 l ? ? , l / / m, ? / / ? ,则 m ? ? . A.①④ B.①③ C.②④
2 2 2

D.②③

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ? ab ? 0 .若 ?ABC 的面积 为

3 c ,则 ab 的最小值为 2
B.12
3

A.24

C.6
3

D.4

10.若对任意的正实数 t ,函数 f ( x) ? ( x ? t ) ? ( x ? ln t ) ? 3ax 在 R 上都是增函数,则实数

a 的取值范围是
A. (??, ]

1 2

B. (??,

2 ] 2

C. (??, 2]

D. ( ??, 2]

第Ⅱ卷(非选择题
11.二项式 ( ?

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.

1 8 ) 展开式中的常数项为 . x 12.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 y ? 8 ? 0 ,若直线 y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第二象限,则实 数k ? .
3

x 2

? y ? 2 x, ? 13. 若不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 M , 不等式 y ? x 表示的平面区域为 N . 现 ?3 x ? y ? 6 ? 0. ?
随机向区域 M 内撒下一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为 14.已知函数 f ( x) ? .

2 sin(2 x ? ) ,有下列四个结论: 4 3? ? , ] 上是增函数: ①函数 f ( x ) 在区间 [? 8 8 3? , 0) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心; ②点 ( 8
③函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ? 2 sin 2x 的图象向左平移 ④若 x ? [0,

?

?
2

? 得到; 4

] ,则函数 f ( x) 的值域为 [0, 2] .

n n n ?1

则所有正确结论的序号是 15.计算 C ? 2 ? C 2 ?
1 n 2 n

? n?C 2

? n(1 ? 2)n ?1 ,可以采用以下方法:
n n n ? Cn 2 x ? (1 ? 2 x)n ,
n n n ?1 ? n ? Cn 2 x ? 2n(1 ? 2 x)n ?1 , n n ?1 ? n ? Cn 2 ? n(1 ? 2)n ?1 ? n ? 3n ?1 ,

0 1 2 2 2 ? Cn 2 x ? Cn 2 x ? 构造恒等式 Cn
1 2 2 2 ? 2 ? Cn 2 x? 两边对 x 求导,得 Cn 1 2 ? 2 ? Cn 2? 在上式中令 x ? 1 ,得 Cn

1 2 2 3 3 2 ? 22 Cn 2 ? 32 Cn 2 ? 类比上述计算方法,计算 Cn

n n ? n2Cn 2 ?



-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人参加某次招聘会,若甲应聘成功的概率为 为 (0 ? t ? 3) ,且三人是否应聘成功是相互独立的. (Ⅰ)若甲、乙、丙都应聘成功的概率是

4 ,乙、丙应聘成功的概率均 9

t 3

16 ,求 t 的值; 81

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 ? 表示甲、乙两人中被聘用的人数,求 ? 的数学期望. 17.(本小题满分 13 分)

(sin x ? cos x)2 ? 1 已知函数 f ( x) ? ,方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 上的解按从小到大的顺 cos 2 x ? sin 2 x 序排成数列 ?an ? (n ? N *) .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的表达式. (4n ? 1)(3n ? 2)
2

18.(本小题满分 13 分)

// CD ? , 如 图 1 , 直 角 梯 形 ABCD 中 , A B

AB ? C9 ? ,0 CD ? 2 AB ? 4 ,

BC ? 2 . AE // BC 交 CD 于点 E ,点 G , H 分别在线段 DA , DE 上,且 GH // AE . 将图 1
中的 ?AED 沿 AE 翻折, 使平面 ADE ⊥平面 ABCE (如图 2 所示) , 连结 BD 、CD , AC 、

BE .
(Ⅰ)求证:平面 DAC ? 平面 DEB ; (Ⅱ)当三棱锥 B ? GHE 的体积最大时,求直线 BG 与平面 BCD 所成角的正弦值.
D D H E C H G G A B A B E C

图1 19.(本小题满分 13 分)

(第 18 题图)

图2

已知动圆 Q 过定点 A(2,0) 且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4 . (Ⅰ)求动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程;

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(Ⅱ)已知点 P(?2,1) ,动直线 l 和坐标轴不垂直,且与轨迹 C 相交于 A, B 两点,试问: 在 x 轴上是否存在一定点 G ,使直线 l 过点 G ,且使得直线 PA , PG , PB 的斜率依次成等差 数列?若存在,请求出定点 G 的坐标;否则,请说明理由.
-3-

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) ? a , g ( x) ? (a 2 ? a ? 10)e x ( a ? R 且 a 为常数). (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,求实数 a 的值; (Ⅱ)若存在实数 x 1 , x 2?[0, ? ] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 13 ? e 2 成立,求实数 a 的取值 范围; (Ⅲ)判断函数 ? ( x) ? 并说明理由.
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?

b(1 ? e2 ) g ( x) 1 ? ? 1 ? lnx (b ? 1) 在 (0, ??) 上的零点个数, 2 2 (a ? a ? 10)e x x

21.(本小题满分 14 分) 本题设有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满 分 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) 已知线性变换 T1 是按逆时针方向旋转 90 ? 的旋转变换, 其对应的矩阵为 M , 线性变换 T2 :

?x ' ? 2x 对应的矩阵为 N . ? ? y ' ? 3y (Ⅰ)写出矩阵 M 、 N ; (Ⅱ)若直线 l 在矩阵 NM 对应的变换作用下得到方程为 y ? x 的直线,求直线 l 的方程.
(2)已知曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 4 5 ? 标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 2 . 4 (Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知 M 是曲线 C 上任意一点,求点 M 到直线 l 距离的最小值.

(3)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?3 . (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 g ( x) ? 3 x ? 4 ? 4 | x ? 6 | 的最大值.

-4-

龙岩市 2015 年高中毕业班教学质量检查

数学(理科)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的 评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1-5 BAACB 6-10 DBCDA 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 11.7 12. ?2 2 13.

3 4

14.①②

15. 2n(2n ? 1)3n?2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)依题意

4 t t 16 ? ? ? , 9 3 3 81 所以 t ? 2 .

…………………………………………3 分 ……………………………………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得乙应聘成功的概率均为

2 , 3

…………………………7 分

? 的可能取值为 0,1,2 ………………………………………8 分 4 2 8 P (? ? 2) ? ? ? , 9 3 27 4 1 5 2 14 P(? ? 1) ? ? ? ? ? , 9 3 9 3 27 5 1 5 P (? ? 0) ? ? ? , ……………………………………………………12 分 9 3 27 8 14 5 30 10 ? 1? ? 0 ? ? ? . 所以 E? ? 2 ? ……………………………13 分 27 27 27 27 9
17.(本小题满分 13 分)

-5-

解:(Ⅰ) f ( x) ?

(sin x ? cos x)2 ? 1 2sin x cos x sin 2 x ? ? ? tan 2 x , cos 2 x ? sin 2 x cos 2 x cos 2 x ? k? ? ? (k ? Z ) 由 f ( x) ? 3 及 x ? 0 得 2 x ? k ? ? , ∴ x ? 3 2 6
方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 的解从小到大依次排列构成首项为

…………2 分 ………4 分

? ? ? (3n ? 2)? 的等差数列∴ an ? ? (n ? 1) ? . 6 2 6 2 3 (3n ? 2)? ? (Ⅱ) bn ? ? ? 2 (4n ? 1)(3n ? 2) 6 2(2n ? 1)(2n ? 1)
公差为

? , 6
………………6 分

…………………8 分

?

1 1 1 ( ? )? , 4 2n ? 1 2n ? 1 ?? 1 1 1 Sn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? 4? 3 3 5

……………………………………………10 分

?(

1 1 ? ? 1 n? . ? ) ? ? (1 ? )? 2n ? 1 2 n ? 1 ? 4 2n ? 1 4 n ? 2
………………………13 分

18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)∵ AB // CD , ?ABC ? 90? , CD ? 2 AB ? 4 又 AE // BC 交 CD 于点 E . ∴四边形 ABCE 是边长为 2 的正方形 ∴ AC ? BE , DE ? AE . 又∵平面 ADE ? 平面ABCE 平面 ADE ………………………1 分

平面ABCE ? AE
………………………3 分 ……………………4 分 ………………………5 分 ………………………6 分

∴ DE ? 平面ABCE ∵ AC ? 平面ABCE ,∴ AC ? DE 又 DE ? BE ? E ∴ AC ? 平面DBE ∵ AC ? 平面DAC ∴平面 DAC ? 平面DEB (Ⅱ)由(Ⅰ)知 DE ? 平面ABCE , AE ? EC

以 E 为原点, EA , EC , ED 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐 标系. 设 EH ? x ,则 GH ? DH ? 2 ? x ( 0 ? x ? 2 ) ∵ AB // CE ,∴ AB ? 面DAE ∴ VB ?GHE ? …………………8 分 ………………………7 分 则 A(2 , 0 , 0) , B(2 , 2 , 0) , C (0 , 2 , 0) , D(0 , 0 , 2)

1 1 1 S ?GHE ? AB ? [ x(2 ? x)] ? 2 3 3 2 1 1 ? (? x 2 ? 2 x) ? [?( x ? 1) 2 ? 1] ………………………9 分 3 3 ∵ 0 ? x ? 2 ,∴ x ? 1 时,三棱锥 B ? GHE 体积最大,此时, H 为 ED 中点.
∵ GH // AE ,∴ G 也是 AD 的中点,∴ G(1 , 0 , 1) , BG ? (?1 , ? 2 , 1) .…10 分

-6-

设 n ? ( x , y , z) 是面 BCD 的法向量. 则?

? ?n ? BC ? ( x , y , z ) ? (?2 , 0 , 0) ? ?2 x ? 0 ? ?n ? DC ? ( x , y , z ) ? (0 , 2 , ? 2) ? 2 y ? 2 z ? 0
………………………11 分

令 y ? 1 ,得 n ? (0 , 1 , 1) 设 BG 与面 BCD 所成角为 ? 则 sin ? ?

| BG ? n | | 0 ? 2 ? 1| 3 ? ? 6 | BG || n | 6 2
3 . 6
………………………13 分

∴ BG 与平面 BCD 所成角的正弦值为 19.(本小题满分 13 分)
2 2 解:(Ⅰ)设 Q ( x, y ) ,根据题意得 | x | ?2 ?

( x ? 2) 2 ? y 2 ,
2

…………2 分 ………4 分 …………5 分

整理得 y ? 4 x ,所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y ? 4 x .
2

(Ⅱ)设存在符合题意的定点 G . 设直线的方程为 x ? ny ? m(n ? 0 且 n ? R) ,则 G(m,0) . 将 x ? m ? ny 代入 y ? 4 x ,整理得 y ? 4ny ? 4m ? 0 .
2 2

由题意得 ? ? 16n ? 16m ? 0 ,即 n ? m ? 0 .
2 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4n , y1 ? y2 ? ?4m ,

y1 ? 1 y ? 1 4( y1 ? 1) 4( y2 ? 1) ? 1 ? 2 , kPB ? , 2 x1 ? 2 y1 y1 ? 8 y2 2 ? 8 ?2 4 1 1 k PG ? ?? , ?2 ? m m?2 由题意得 kPA ? kPB ? 2kPG ,即 kPA ? kPB ? 2kPG ? 0 , 2( y1 ? 1) 2( y2 ? 1) 1 所以 ? 2 ? ? 0, 2 y1 ? 8 y2 ? 8 m ? 2 k PA ?

……………………7 分

即 2(m ? 2) y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? 16(m ? 2)( y1 ? y2 ) ? 2[( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ](2 ? m) ? ( y1 y2 )2 ? 32m ? 0 ……………9 分 把 y1 ? y2 ? 4n , y1 ? y2 ? ?4m 代入上式, 整理得 (m ? 2)n ? (m ? 2)(2 ? m) , 又因为 n ? R ,所以 ? ………11 分

?(m ? 2)(2 ? m) ? 0 ,解得 m ? 2 ?m ? 2 ? 0
…………………13 分

所以存在符合题意的定点 G ,且点 G 的坐标为 (2, 0) . 20.(本小题满分 14 分)
x x 解:(Ⅰ) f ?( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) = 2e cos x ,
x

又曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,得 f ?(0) ? 即 2 ? 1 ? a ,解得 a ? ?1

f (0) ? 2 , 0 ?1

…3 分

…………………………………………4 分
?

(Ⅱ)存在实数 x 1 , x 2?[0, ? ] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 13 ? e 2 成立,
-7-

即 g ( x)min ? f ( x) max ? 13 ? e 2

?

………………………………5 分

由(Ⅰ)知 f ?( x) ? 2ex cos x ? 0 在 x ?[0, ? ] 上的解为 x ?

?
2



(0, 函数 f ( x ) 在

?

) 上递增,在 ( , ?) 上递减 2 2
?

?

f ( x)max ? f ( ) ? e 2 ? a …………………………………7 分 2 2 又 a ? a ? 10 ? 0 恒成立, g ( x) ? (a2 ? a ? 10)e x 在 [0, ? ] 上递增,

?

g ( x)min ? g (0) ? a2 ? a ? 10 ,
? ?
2

……………………………8 分

故 a 2 ? a ? 10 ? e 2 ? a ? 13 ? e 2 ,得 a ? 2a ? 3 ? 0 , 所以实数 a 的取值范围是 (?1,3) (Ⅲ)由 ? ( x) ?
2

………………………………9 分

b(1 ? e ) g ( x) 1 ? ? 1 ? ln x ? 0 ( x ? 0) 得 2 2 (a ? a ? 10) xe x 2 x b(1 ? e ) e 1 b(1 ? e2 ) e x ? ? 1 ? ln x ? 0 ? 1 ? x ? x ln x , ,化为 ……10 分 xe2 x e2 令 h( x) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h?( x) ? ? 2 ? ln x ?2 由 h?( x) ? ? 2 ? ln x ? 0 ,得 x ? e , 1 1 故 h( x ) 在 (0, 2 ) 上递增,在 ( 2 , ?? ) 上递减, e e 1 1 h( x) max ? h( 2 ) ? 1 ? 2 . …………………………………………12 分 e e b(1 ? e2 ) e x 1 ? b(1 ? 2 )e x , 再令 t ( x) ? 2 e e 1 x 因为 b ? 1 ,所以函数 t ( x) ? b(1 ? 2 )e 在 (0, ??) 上递增, e 1 1 1 t ( x) ? t(0) ? b(1 ? 2 )e0 ? b(1 ? 2 ) ? 1 ? 2 . …………………………13 分 e e e 知 t ( x) ? h( x)max ,由此判断函数 ? ( x) 在 (0, ??) 上没有零点,
故 ? ( x) 零点个数为 0. ………………14 分

21.(本小题满分 14 分) 解:(1)(Ⅰ) M ? ?

? 0 ?1? ……………………………2 分 ?, ?1 0 ? ? 2 0? ……………………………3 分 N ?? ?. ? 0 3? ? 0 ?2 ? (Ⅱ) NM ? ? ……………………………………4 分 ?, ?3 0 ? ? 0 ?2 ?? x ? ? x ' ? ??2 y ? x ' 由? , ……………………………5 分 ?? ? ? ? ? 得 ? ? 3 0 ?? y ? ? y ' ? ?3x ? y ' 由题意得 y ' ? x ' 得 3 x ? ?2 y ,所以直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 0 . ……7 分

-8-

(2)(Ⅰ)由 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 2 得 x? y ?4 ? 0,

………………2 分 ………………………3 分

? 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 .
(Ⅱ)设 M (2cos? , 5 sin ? ) , M 到 l 的距离为 d ,

| 2cos ? ? 5 sin ? ? 4 | | 2cos ? ? 5 sin ? ? 4 | 4 ? 3cos(? ? ? ) ? ? 2 2 2 2 5 其中 cos ? ? ,sin ? ? , ………………………5 分 3 3 2 当 cos(? ? ? ) ? 1 时, d 有最小值 , 2 2 . ……………7 分 ? M 到直线 l 的距离的最小值为 2 (3)(Ⅰ)由 f ( x) ? 0 ? x ? 2 ? 3 ? ?3 ? x ? 2 ? 3 ? ?1 ? x ? 5 , ………2 分 所以 x 的取值范围是 (?1,5) . ……………………………3 分
则d ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? 3 x ? 4 ? 4 6 ? x ,
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由柯西不等式 (32 ? 42 )[( x ? 4)2 ? ( 6 ? x )2 ] ? (3 x ? 4 ? 4 6 ? x )2 ………………5 分 所以 g ( x) ? 250 ? 5 10 . 当且仅当

2 x?4 6? x 即 x ? ? 时, g ( x) 取最大值 5 10 . ? 5 3 4

……7 分

-9-


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