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广东省“四校”2016届高三数学第一次联考试题 理


“四校”2015—2016 学年度高三第一次联考 理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题, 其它题为必考题。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改

动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 ? ? 1、 已知集合 A ? ?1, 2, ,3? , 则 A? B ? ( ) . B ? y y ? x2 , x ? A , 开始 2 ? ?

?

?

?1 ? A. ? ? ?2?

B. ?2?

C. ?1?

D. ?

n=5,k=0 n 为偶数

2、在复平面内,复数 z ?

3i 的共轭复数的虚部为( ) . ?1 ? 2i
C. ? ) . B. ?x ? R, x 2 ? 0 D. ?x ? R,3x ? 0



否 n=3n+1

3 A. i 5

3 B. ? i 5

3 5

D.

3 5

n?

n 2

3、下列命题中的假命题是( A. ?x ? R, log 2 x ? 0 C. ?x ? R, tan x ? 0

k=k+1 n =1? 是 输出 k 结束 否

4、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( ) . A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5、已知 log 1 a ? log 1 b ,则下列不等式一定成立的是( ) .
2 2

A. ?

1 a

1 b

B.( ) ? ( )
a

1 4

1 3

b

错误! 未找到引用源。

C.ln(a ? b) ? 0

D.3

a ?b

?1 错

误!未找到引用源。 6、下列函数既是奇函数,又在区间 [?1,1] 上单调递减的是( A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ln

) .

2? x 2? x
-1-

C. f ( x) ? ? | x ? 1|

D. f ( x) ?

1 x ?x (e ? e ) 2

7、已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图像不可能 是( ) . ...

A.

B.

C.

D.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8、已知点 Q (5, 4) ,若动点 P ( x, y ) 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 PQ 的最小值为( ) . ? y ?1 ? 0 ?
A.

7 2 2

(B. 29

C.5

D.以上都不正确

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( ) 9、已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 . m
A.

30 6

B.

7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6

10、 某三棱锥的三视图如图所示, 图中网格小正方形的边长为 1, 则该三棱锥的体积为( ) . A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

11 、 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 当 x ? 0 时 ,

? l o 1g x ? ( x1? )? , ? 0 , 2 ? 3 f ( x) ? ? ,则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点 ? 1 ? x ? 4 , x ? 2, ?? ? ? ?
之和为
a A. 3 ? 1

B. 1 ? 3

a

C. 3

?a

?1

D. 1 ? 3

?a

-2-

12.已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x k , g ( x) ? ( k ? N *) ,若对任意的 c ? 1 ,存在实数 a, b 满足 x ?1 x
) D. 6

0 ? a ? b ? c ,使得 f (c) ? f (a ) ? g (b) ,则 k 的最大值为(
A. 3 B. 4 C. 5 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 8 , a 4 ? a3 ? a5 ,则 a7 ? .

2 5 4 3 6 1 6 3 4 5 2 14、设 A= 37 ? C7 3 ? C7 3 ? C7 3, B ? C7 3 ? C7 3 ? C7 3 ?1 ,则 A ? B =

15、已知矩形 ABCD 的周长为 18 ,把它沿图中的虚线折成正六棱柱, 当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为 . 16、设 x , y 为实数,若 4 x2 ? y 2 ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值是_________.

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本题满分 12 分)在错误!未找到引用源。中,角错误!未找到引用源。的对边分别是错 误!未找到引用源。满足

b2 ? c2 ? bc ? a 2 . 错误!未找到引用源。
(1)求角错误!未找到引用源。的大小; (2)若等差数列 {an } 的公差不为零,且错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。 成等比数列, 求错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.

18、(本题满分 12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩 情况, 从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本(样本容量为 n )
-3-

进行统计.按照 [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方 图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50,60) , [90,100] 的数据).

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x , y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设 ? 表示所抽取的 3 名同学中得分在

[80,90) 的学生个数,求 ? 的分布列及其数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A1 为矩形, AB ? 2 , AA1 ? 2 2 , D 是 AA1 的中点,

BD 与 AB1 交于点 O ,且 CO ? 平面 ABB1 A1 .
(1)证明: BC ? AB1 ; (2)若 OC ? OA ,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

C

C1

B

B1
O

A

D

A1

20、 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,设 R( x0 , y0 ) 是椭 24 12

圆 C 上任一点,从原点 O 向圆 R : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,切点分别为

P, Q .
-4-

(1)若直线 OP, OQ 互相垂直,且 R 在第一象限,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP, OQ 的斜率都存在,并记为 k1 , k2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0.

21.(本小题 12 分)设函数 f ( x) = ax - 2 - ln x (a ? R ) . (I)若 f ( x)在点(e, f (e)) 处的切线为 x - ey + b = 0, 求a , b 的值; (II)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 g ( x) = ax - e ,求证:在 x > 0 时, f ( x) > g ( x)
x

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22、(本小题满分 1 0 分)选修 4 — 1 :几何证明选讲. 如图,⊙ O 的半径为 6,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D , AC =4 , ?BOD ? ?A , OB 与 ⊙ O 相交于点 E . (1)求 BD 长; (2)当 CE ⊥ OD 时,求证: AO ? AD .

O E A C D B

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t (t 为参数) ,以该直角坐标系的 ?y ? 2?t

原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为

? ? ?2 cos ? ? 2 3 sin ? .
(Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C 2 的圆心的极坐标;
-5-

(Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 3 |, a ? R . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x ) ? 1 ; (Ⅱ)若 x ? [0,3] 时, f ( x) ? 4 ,求 a 的取值范围.

“四校”2015—2016 学年度高三第一次联考 理科数学评分标准 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 B 6 B 7 C 8 C 9 C 10 C 11 B 12 A

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 8

14. 128

15. 13p

16.

2 10 5

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 【解】(1)∵ b2 ? c2 ? a 2 ? bc , ∴ cos A ? ∴

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? . 2bc 2bc 2

????1 分

1 . 2

????2 分 ????3 分 ????4 分

又 A ? (0, ? ) ∴A?

?
3

.

(2)设 {an } 的公差为 d , 由已知得 a1 ?
2 2

1 ? 2, cos A

????5 分 ????6 分 ????7 分

a8 .∴ (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) . 且 a4 ? a2 ?
又d ? 0, ∴d ? 2. ∴ an ? 2n .



4 1 1 1 ? ? ? . an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

????9 分

-6-

∴ S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

1 2 1 ? 1? ? n ?1

1 1 2 3 n n ?1

1 1 3 4

1 n

1 ) n ?1

????10 分 ????12 分

18、 【解】 (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 2 ? 50 , y ? ? 0.004 , 0.016 ? 10 50 ? 10 x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 . ????3 分

(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90) 有 5 人, 分数在 [90,100] 有 2 人,共 7 人. 抽取的 3 名同学中得分在 [80,90) 的学生个数 的可能取值为
1 2 C5 C2 5 1 ? ? , 则 p(? ? 1) ? 3 C7 35 7 1 C52C2 20 4 ? ? , 3 C7 35 7 3 C5 10 2 ? ? . 3 C7 35 7

????4 分 ,????5 分

????6 分

p(? ? 2) ?

????7 分

p(? ? 3) ?

????8 分

所以, 的分布列为

?

1

2

3 ????10 分 ????12 分

4 2 7 7 1 4 2 15 所以, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 7 7 7

1 7

19、 【解】(1)由题意 tan ?ABD ? 又 0 ? ?ABD , ?AB1 B ?

AD 2 AB 2 , tan ?AB1 B ? ,????1 分 ? ? AB 2 BB1 2

?
2



??ABD ? ?AB1 B ,??AB1 B ? ?BAB1 ? ?ABD ? ?BAB1 ?
? ?AOB ?

?
2

, ????3 分 ????4 分

?
2

,? AB1 ? BD .

又 CO ? 平面ABB1 A1 ,? AB1 ? 平面ABB1 A 1 ? AB1 ? CO ,

-7-

? BD ? CO ? O , CO, BD ? 平面CBD

? AB1 ? 平面CBD ,
又 BC ? 平面CBD ,? AB1 ? BC .

????5 分 ????6 分

(2)如图,分别以 OD, OB1 , OC 所在直线为 x, y, z 轴,以 O 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系 O ? xyz , ????7 分

则 A(0, ?

2 3 2 6 2 3 6 , 0), B(? , 0, 0) , C (0, 0, ), D( , 0, 0) , 3 3 3 3

????8 分

??? ? ???? ? 2 6 2 3 2 3 2 3 ??? 6 2 3 AB ? (? , , 0), AC ? (0, , ), CD ? ( , 0, ? ), 3 3 3 3 3 3
设平面 ABC 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,

?

? 2 6 2 3 ? ??? ? ? x? y?0 ? ì ? n?AB = 0 ? 3 3 则 í ? ???? ,即 ? , ? n ? AC = 0 2 3 2 3 ? ? y? z?0 ? 3 ? 3
令 y ? 1 ,则 z ? ?1 , x ?

? 2 2 ,所以 n ? ( ,1, ?1) . 2 2

????10 分

设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ? ,则

6 2 3 2 ??? ? ? ( , 0, ? )?( ,1, ?1) ??? ? CD ? n 3 2 ? ? ? 3 sin ? ? cos CD, n ? ??? | CD | ? | n | 10 2? 2
6 2 2 3 ? ? 0 ? (? ) ? (?1) 15 3 2 3 , ? ? 5 5
所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

????11 分

15 . 5

????????12 分

20、 【解】 (1)由题圆 R 的半径为 2 2, 因为直线 OP, OQ 互相垂直,且与圆 R 相切, 所以 OR ?

2r ? 4 ,即 x02 ? y02 ? 16, ①

????1 分

-8-

又 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

x0 2 y0 2 ? ? 1, ② 24 12

????2 分

由①②及 R 在第一象限,解得 x0 所以圆 R 的方程为: x ? 2 2

? y0 ? 2 2,
2

????3 分

?

? ?? y ? 2 2?
2

?8

????4 分

(2)证明:因为直线 OP : y ? k1 x, OQ : y ? k2 x 均与圆 R 相切, 所以

k1 x0 ? y0 1 ? k12
2

? 2 2,
2 2

????5 分

化简得 ( x0 ? 8)k1 ? 2x0 y0k1 ? y0 ? 8 ? 0, 同理有 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ? 8 ? 0,
2 2 2

????6 分

所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 8)k ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,
2 2 2

所以 k1k2 ?

y0 2 ? 8 . x0 2 ? 8

????8 分

又因为 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

1 2 x0 2 y0 2 2 ? ? 1, 即 y0 ? 12 ? x0 , ????10 分 2 24 12

1 4 ? x0 2 1 2 ?? , 所以 k1k2 ? 2 x0 ? 8 2
即 2k1k2 ? 1 ? 0.

????11 分

????12 分

21、 【解】 (I)∵ ∴ f '( x) = a -

f ( x) = ax - 2 - ln x (a ? R )
1 ax - 1 = x x 1 e
????2 分 ????3 分 ????1 分

又 f ( x )在点(e, f (e)) 的切线的斜率为 ∴ f '(e) ?

ae ? 1 1 ? e e

∴a ?

2 e

∴切点为 (e,?1) 把切点代入切线方程得: b ? ?2e

-9-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f '( x) = a -

1 ax - 1 = ( x > 0) x x

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立

? f ( x) 在 (0, ??) 上是单调减函数
②当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 解得: x ?

????4 分

1 a

????5 分

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 随 x 变化情况如下表:

1 (0, ) a

1 a
0

1 ( , ??) a

f '( x)

?

?

f ( x)
由表可知: f ( x ) 在 (0, ) 上是单调减函数,在 ( , ??) 上是单调增函数 ????6 分 综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调减区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??)
x

1 a

1 a

1 a

1 a

????7 分

(Ⅲ)当 x ? 0 时,要证 f ( x) ? ax ? e x ? 0 ,即证 e ? ln x ? 2 ? 0 ????8 分 令 h( x) ? ex ? ln x ? 2

( x ? 0) ,只需证 h( x) ? 0
????9 分
x

? h '( x) ? e x ?

1 x

由指数函数及幂函数的性质知: h '( x ) ? e ?

1 在 (0, ??) 上是增函数 x

又 h '(1) = e - 1 > 0, h '( ) = e 3 - 3 < 0

1 3

1

∴ h '(1)?h '( ) < 0

1 3

1 h '( x) 在 ( ,1) 内存在唯一的零点,也即 h '( x) 在 (0, + ? ) 上有唯一零点 3
设 h '( x) 的零点为 t ,则 h '(t ) = et 由 h '( x) 的单调性知: 当 x ? (0, t ) 时, h '( x) < h '(t ) = 0 , h( x) 为减函数 当 x ? (t ,

1 1 1 = 0, 即 et = ( < t < 1), t t 3

????10 分

? ) 时, h '( x) > h '(t ) = 0 , h( x) 为增函数,

????11 分

所以当 x > 0 时,

- 10 -

h( x) ? h(t )

1 1 et - ln t - 2 = - ln t - 2 t e 1 = + t- 2? 2 2= 0 t
????12 分



1 < t < 1, ,等号不成立∴ h( x) > 0 3

22、 【解】 (1)? OC ? OD, ??OCD ? ?ODC ,

????1 分

??OCA ? ?ODB .[中国教∵ ?BOD ? ?A ,∴ ?OBD ? ?AOC . ????3 分
BD OD ? ,∵ OC ? OD ? 6, AC ? 4 , OC AC BD 6 ? ,∴ BD ? 9 . ∴ ?????5 分 6 4 (2)证明:∵ OC ? OE , CE ? OD .∴ ?COD ? ?BOD ? ?A.
∴ ∴ ?AOD ? 180 ? ?A ? ?ODC ? 180 ? ?COD ? ?OCD ? ?ADO
o o

∴ AD ? AO

????????10 分

23、 【解】 (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 圆 C 2 的直角坐标方程 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 , 所以圆心的直角坐标为 (?1, 3) , 因此圆心的一个极坐标为 (2,

???2 分 ????3 分 ????4 分 ????5 分

2? ). 3

(答案不唯一,只要符合要求就给分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心 (?1, 3) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离

d?

?1 ? 3 ? 1 2

?

6, 2

???8 分

所以 AB ? 2 4 ?

6 ? 10 . 4

??????10 分

- 11 -

24.【解】 (Ⅰ)当 a ? ?1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 3 ? 1 ????1 分

当 x ? ?3 ,不等式转化为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? 1 ,不等式解集为空集; ????2 分

5 当 ?3 ? x ? ?1 ,不等式转化为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 1 ,解之得 ? ? x ? ?1 ;????3 分 2
当 x ? ?1 时,不等式转化为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? ?2 ? 1 ,恒成立;
5 综上不等式的解集为 [? , ??) . 2

????4 分 ????5 分 ????7 分 ????8 分 ????9 分 ????10 分

(Ⅱ)若 x ? [0,3] 时, f ( x) ? 4 恒成立,即 | x ? a |? x ? 7 , 亦即 ?7 ? a ? 2 x ? 7 恒成立, 又因为 x ? [0,3] ,所以 ?7 ? a ? 7 , 所以 a 的取值范围为 [?7,7] .

- 12 -


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