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江苏省南京市2014-2015学年度第一学期期末学情调研测试卷高二数学(理科)


南京市 2014—2015 学年度第一学期期末学情调研测试卷 高二数学(理科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共计 42 分. ) 1.命题“ ?x ? R , x 2 ≥ x ”的否定是 . 2.已知复数 z ? (4 ? 3i)i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为 3.直线 l: 3x ? y ? 2 ? 0 的倾斜角是 . . 2015.01

? x ≥1 ? 4.已知实数 x,y 满足条件 ? y ≥ 0 ,则 x ? 3 y 的最大值是 ?2 x ? y ? 6 ≤ 0 ?
5.若直线 y ? x ? b 是曲线 y ? e x 的一条切线,则实数 b 的值为 6.方程 .



x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围是 m ?1 2 ? m



7.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 y ? 3x ,则此双曲线的 离心率为 .

8.已知函数 y ?

1 x ? sin x , x ? (0,? ) ,则它的单调递减区间为 2



9.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 0 与圆 C2 : ( x ? a)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 外切,则实数 a 的值 为 . 10.已知椭圆 C: 点的距离为 .

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右准线的距离为 5,则点 P 到椭圆 C 的左焦 25 9

11.设函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) , x ? R , f (1) ? 3 ,则 f (2015) ? 1 ? f ( x)



12.已知△ABC 顶点的坐标为 A(1,0) , B(3,0) , C (0,1) ,则△ABC 外接圆的方程 是 . 13.下列命题正确的是 . ( 填写所有正确命题的序号 )

①a,b,c 成等差数列的充分必要条件是 a ? c ? 2b ; ②若“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? a ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 a ? 1 ; ③ a ? 0 , b ? 0 是方程 ax2 ? by 2 ? 1 表示椭圆的充分不必要条件; ④命题 “若 a ? 1 , 则直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 2 ? 0 不平行” 的否命题是真命题. 14.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1 在区间 (0,2] 上有两个不同的零点,则实数 a 的取值 范围是 .

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 58 分. ) 15. (本小题满分 8 分) 已知△ABC 的顶点为 A(2,4) , B(0,? 2) , C ( ?2,4) . (1)求 BC 边上的高所在直线的方程; (2)若直线 l 经过点 C,且 A,B 两点到直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程.

16. (本小题满分 10 分) 已知半径为 2 的圆 C 满足:①圆心在 y 轴的正半轴上;②它截 x 轴所得的弦长是 2 3 . (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 经过点 P(2,? 3) ,且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

17. (本小题满分 10 分) 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E,F,G 分别是 A1B1 ,CD, B1C 的中点. (1)求直线 EG 与直线 AF 所成角的余弦值; (2)求二面角 D1 ? AF ? D 的余弦值.

18. (本小题满分 10 分) 如图,有一块钢板其边缘由一条线段及一段抛物线弧组成,其中抛物线弧的方程为

y ? ?2 x2 ? 2 (?1≤ x ≤1) .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,切割时以边缘的一条线
段为梯形的下底. (1)若梯形上底长为 2 x ,试求梯形面积 S 关于 x 的函数关系式; (2)求梯形面积 S 的最大值.

19. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? x 2 ? a ln x (a ? 0) . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 3 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 ( 3, ) ,离心率为 ,其左、右顶点分 2 a b 2 2

别为 A,B.直线 l1 : x ? ?2 ,直线 l2 : y ? 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上在 x 轴上方的一个动点,直线 AP 与直线 l2 交于点 M,直线 BP 与直线 l1 交于点 N,求直线 MN 的斜率的取值范围.


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