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2013高考理科数学密破仿真预测卷03 Word版含答案


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理科数学(三)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 2.已知 (a ? i)2 ? ?2i ,其中 i 是虚数单位,则实数 a =( )

7.如图所示,则该程序运行后输出的 B 等于( ) A.7 B.15 C.31 D.63 8.由曲线 f(x)

= x 与 y 轴及直线 y=m(m>0)围成
8 的图形面积为 ,则 m 的值( 3



A.-2 B.-1 C.1 D.2 3. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? ( ). A.
3 4

A2

B3

C1

D8
sin A ? sin C x2 y 2 ?( ? ? 1 上,则 sin B 25 9

9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭圆 A.
3 4

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 4


5 4

4、命题 p :若 a, b ? R ,则 a ? b ? 1是 a ? b ? 1 的充分而不必要条件; 命题 q :函数 y ? x ? 1 ? 2 的定义域是 ? ??, ?1?
A、 “ p 或 q ”为假;

B.

?3, ??? ,则(



2 3

C.

4 5

D.

B、 “ p 且 q ”为真;

10.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1,(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的 a 2 b2


C、 “ p 或 q ”为真;

D、 “ p 且 ?q ”为真

直线与双曲线的左支交于 A、 B 两点△ABF2 是正三角形, 那么双曲线的离心率为 ( A. 2 B. 3 C.2 D.3

x?0 ? ? x , y 5. 若实数 满足不等式组 ? ( k 为常数) ,且 x ? 3 y 的最大值为 12, y?x ?2 x ? y ? k ? 0 ?

11.在区间 ?0, 2? 上任取两个实数 a , b ,则函数 f ( x) ? x3 ? ax ? b 在区间 ??1,1? 上有且 只有一个零点的概率是 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8 12.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格 或 2 格,那么人从格外跳到第 8 个格子的方法种数为( )

则实数 k =( ) A. 0 B. ?24 C. ?12 D.任意实数 6. 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如右图所示, 则该几何体的左视图为 (



1

2

3

4

5

6

7

8

A.8 种 B.13 种 C.21 种 D.34 种 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。 13、函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域是

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? ? sin(? ? ) 4 14、已知α ∈(0, ), 且 2sin 2 α -sinα cosα -3cos 2 α =0,则 ? 2 sin 2? ? cos 2? ? 1

15.设 x , y ? R ,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, y ) , c ? (2, ?4) 且 a ? c , b / / c ,则 a ? b ? _______ . 16、关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?
)( x ? R) ,有下列命题: 3 ①由 f (x1) = f (x2)=0 可得 x1-x2 必是π 的整数倍;

18.(本小题满分 12 分) 由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某中学随机抽取 16 名 学生,经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的 一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如右:

?

②若 x1 , x 2 ? (? ? , ? ) ,且 2 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x 2 ? ? ), 则x1 ? x2 ;
6 12
6

③函数的图象关于点 (? ? ,0) 对称; ④函数 y = f (-x)的单调递增区间可由不等式
6 ? ? ? 2k? ? ? ?2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) 求得 。正确命题的序号是 2 3 2

(Ⅰ)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力”,求校医从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“好视力”的概率; (Ⅱ)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任 选 3 人,记 表示抽到“好视力”学生的人数,求 的分布列及数学期望.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角为 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,B 为锐角,向量
m ? (2 sin B,? 3 ), n ? (cos 2 B,2 cos 2 B ? 1)且m // n. 2

(1)求 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 S ?ABC 的最大值.

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19. (本小题满分 12 分)
2 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2 ? ( ? 1)an ( n ? N* ) , n a (1)求证:数列 { n } 是等比数列; n

20. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , P 分别是 BC , A1D1 的中点, M , N 分

AE, CD1 的中点, AD ? AA1 ? a, AB ? 2a

(2)设数列 {2n an } 的前 n 项和为 Tn , An ? 大小.

1 1 1 1 2 的 ? ? ? ... ? ,试比较 An 与 T1 T2 T3 Tn nan

(Ⅰ)求证: MN // 面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求二面角 P ? AE ? D 的大小。 (Ⅲ)求三棱锥 P ? DEN 的体积。

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21. (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f ?x ? ? mx 2 ? 2 x ? 1 ? ln?x ? 1? 2

?m ? 1?.

(Ⅰ) 若曲线 C:y ? f ?x? 在点 P?0,1? 处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点,求 m 的值; (Ⅱ) 求证:函数 f ?x ? 存在单调递减区间 ?a, b? ,并求出单调递减区间的长度 t ? b ? a 的取值范围.

x2 y2 5 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 5 a b 为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) , O 是坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; 31 (2)若直线 x ? ky ? 1 与 C 交于相异两点 M 、 N ,且 OM ? ON ? ? ,求 k .(其中 9 O 是坐标原点)

22(本小题 14 分)离心率为

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理科数学(三)答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

5. 若实数 x, y 满足不等式组 ? ?

?

x?0 y?x

(k

?2 x ? y ? k ? 0 ?

为常数) ,且 x ? 3 y 的最大值为 12, 则实数 k =( ) A. 0 B. ?24 C. ?12 D.任意 实数 【解析】 本题考查画不等式组表示的平面区域、 结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数 学数学方法
x?0 ? ? 根据已知的不等式组可知 ? 作图 y?x ?2 x ? y ? k ? 0 ?

2. (a ? i)2 ? ?2i ,其中 i 是虚数单位,则实数 a =(

)A.-2B.-1C.1D.2

【解析】解:因为 (a ? i)2 ? ?2i ?a2 ? 2ai ?1 ? ?2i ?a2 ?1 ? 0, 2a ? 2?a ? 1选 C 3. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? ( ). A.
3 4

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 4

1 1 当直线 y=- x+ z 平移至 A(3,3)时 z 最大 3 3 为 12,将 x=3,y=3 代入直线 2x+2y+k=0 得:6+6+k=0,k=-12 故答案为 C。 解决该试题的关键是画出可行域,将目标函数变形,画出其相应的直线,当直线平 移至固定点时,z 最大,求出最大值列出方程求出 a 的值。 6. 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如右图所示, 则该几何体的左视图为 ( )

4、命题 p :若 a, b ? R ,则 a ? b ? 1是 a ? b ? 1 的充分而不必要条件;命题 q :函数
y? x ? 1 ? 2 的定义域是 ? ??, ?1?

?3, ??? ,则(

)A 、 “ p 或 q ”为假; B 、 “ p且 7.程序框图如图 21-1 所示,则该程序运行后输出的 B 等于( 图 21-1 A.7 )

“ p 或 q ”为真; D 、 “ p 且 ?q ”为真 q ”为真; C 、

B.15

C.31

D.63

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只有一个零点的概率是 1 1 A. B. 8 4

C.

3 4

D.

7 8

8 8. 由曲线 f(x)= x 与 y 轴及直线 y=m(m>0)围成的图形面积为 , 则 m 的值 ( ) 3 A2 B3 C1 D8 2 m 2 3 m2 2 8 ? m3 ? m3 ? , 所 以 m=2. 【 解 析 】 S ? ? (m ? x )dx ? (mx ? x 2 ) |0 0 3 3 3 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在 2 2 sin A ? sin C x y ?( ? 1 上,则 椭圆 ? ) sin B 25 9 3 2 4 5 A. B. C. D. 4 3 5 4

12.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格 或 2 格,那么人从格外跳到第 8 个格子的方法种数为( )
1 2 3 4 5 6 7 8

A.8 种

B.13 种 C.21 种 D.34 种

x2 y 2 10.已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1,(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的 a b 直线与双曲线的左支交于 A、B 两点△ABF2 是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 【解析】解:由△ABF2 是正三角形,可得∠AF2F1=30° 2 3 4 3 在 Rt△AF1F2 中,F1F2=2c;∴AF1 c,AF2= c 3 3 2 3 根据双曲线的定义可得,AF2-AF1=2a= c∴e=c/ a = 3 故选:B 3 11.在区间 ?0, 2? 上任取两个实数 a , b ,则函数 f ( x) ? x3 ? ax ? b 在区间 ??1,1? 上有且
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第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。 13、函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域是 【解析】解: lim (
x ??2

【答案】 ?? ?,1?

? ? sin(? ? ) 4 14、已知α ∈(0, ), 且 2sin 2 α -sinα cosα -3cos 2 α =0,则 ? 2 sin 2? ? cos 2? ? 1

4 1 1 1 ? ) ? lim ? 2 x ??2 2 ? x 2? x 4 4? x

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(1)求 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 S ?ABC 的最大值.

15.设 x , y ? R ,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, y ) , c ? (2, ?4) 且 a ? c , b / / c ,则 a ? b ? _______ . 【解析】由 a ? c ? a ? c ? 0 ? 2x ? 4 ? 0 ? x ? 2 ,由 b / /c ? ?4 ? 2 y ? y ? ?2 ,故
| a ? b |? (2 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 10 ;

16、关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

)( x ? R) ,有下列命题:

①由 f (x1) = f (x2)=0 可得 x1-x2 必是π 的整数倍;
2 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x 2 ?

②若 x1 , x 2 ? (? ? , ? ) ,且
?
6 12

?
6

), 则x1 ? x 2 ;

③函数的图象关于点 (? ,0) 对称;
?
2

6

④函数 y = f (-x)的单调递增区间可由不等式 2k? ? 得 。正确命题的序号是

? ?2 x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 求

18.(本小题满分 12 分) 由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某中学随机抽取 16 名 学生,经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的 一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如右:

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角为 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,B 为锐角,向量 B m ? (2 sin B,? 3 ), n ? (cos 2 B,2 cos 2 ? 1)且m // n. 2
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(Ⅰ)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力”,求校医从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“好视力”的概率; (Ⅱ)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任

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选 3 人,记 表示抽到“好视力”学生的人数,求 的分布列及数学期望. 【答案】解: (Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型, 设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“好视力” , 至多有 1 人是“好视力”记为事件 A,包括有一个人是好视力和有零个人是好视力, 2 C3 C1 121 4 C12 ∴P(A)=P(A0)+P(A1)= 12 ? ? 3 3 C16 C16 140

(2)由(1)得

an 1 n(n ? 1) ? n ,于是 2n ? an ? n , Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? . n 2 2 1 2n 1 1 1 )? 所以 ? 2( ? ,????8分 ) ,于是 An ? 2(1 ? n ?1 n ?1 Tn n n ?1



n 2n 2 2n ?1 的大小,???10分 ? 2 ,所以问题转化为比较 2 与 n ?1 n nan n

n 2n , g ( n) ? , 2 n ?1 n 当 n ? 4 时, f (n) ? f (4) ? 1 ,而 g (n) ? 1 ,所以 f (n) ? g (n) . 经验证当 n ? 1, 2,3 时,仍有 f (n) ? g (n) . 2 因此对任意的正整数 n ,都有 f (n) ? g (n) ,即 An ? ???.12分 nan 20. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , P 分别是 BC , A1D1 的中点, M , N 分

设 f ( n) ?

AE, CD1 的中点, AD ? AA1 ? a, AB ? 2a (Ⅰ)求证: MN // 面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求二面角 P ? AE ? D 的大小。 (Ⅲ)求三棱锥 P ? DEN 的体积。 【答案】解:以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立直角坐标系,
则: A? a,0,0? , B ? a,2a,0? , C ?0,2a,0? , A1 ? a,0, a ? , D1 ?0,0, a ? ∵ E, P, M , N 分别是 BC, A1D1 , AE, CD1 的中点 a a? ? ?a ? ? 3a ? ? ∴ E? ? , 2a, 0 ? , P ? , 0, a ? , M ? , a, 0 ? , N ? 0, a, ? , 2? ?2 ? ?2 ? ? 4 ? ?
2 n

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2 ? ( ? 1)an ( n ? N* ) , (1)求证:数列 { n } 是等比数列; (2)设数列 {2n an } 的前 n 项和为 Tn ,
1 1 1 1 2 的大小. ? ? ? ... ? ,试比较 An 与 T1 T2 T3 Tn nan 1 【答案】解答: (1) a1 ? S1 ? 2 ? 3a1 得 a1 ? ,当 n ? 2 时,由 an ? Sn ? Sn?1 得 2 an 1 an ?1 1 a ? ? , 所以 { n } 是首项和公比均为 的等比数列.??????4分 n n 2 n ?1 2 An ?
a n

?a ? (Ⅱ)过 P 作 PH ? AE ,交 AE 于 H ,取 AD 的中点 F ,则 F ? , 0, 0 ? ∵ ?2 ?

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a ? ?a ? 设 H ? x, y,0? ,则 HP ? ? ? ? x, ? y, a ? , HF ? ? ? x, ? y, 0 ? ?2 ? ?2 ?

a ? 又 AE ? ? ? ? , 2a, 0 ? ? 2 ?
? a2 a ? ? x ? 2ay ? 0 由 AP ? AE ? 0 ,及 H 在直线 AE 上,可得: ? ? 4 2 ? 4 x ? y ? 4a ?

(Ⅲ)设 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 DEN 的法向量,则 n1 ? DE, n1 ? DN
a a? ? ? ?a ? 又 DE ? ? ? , 2a,0 ? , DN ? ? 0, a, ? , DP ? ? ,0, a ? 2? ?2 ? ? ?2 ?

1 mx 2 ? 2 x ? 1 ? ln?x ? 1? ?m ? 1? . 2 (Ⅰ)曲线 C:y ? f ?x? 在 P?0,1? 处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, 求 m 的值; (Ⅱ) 求证:函数 f ?x ? 存在单调递减区间 ?a, b? ,并求出单调递减区间的长度 t ? b ? a 的取值范围. 1 , f ??0? ? ?1, 解: (Ⅰ)函数 f ?x ? 的定义域为 ?? 1,??? , f ?? x ? ? mx ? 2 ? x ?1 所以曲线 C : y ? f ?x ?在点 P?0,1? 处的切线方程为: y ? ? x ? 1 因为切线与曲线有唯一的公共点, 1 所以方程 mx 2 ? x ? ln? x ? 1? ? 0 有且只有一个实数解,显然 x ? 0 是方程的一个解. 2 ? ?1 ?? m x? x ? ? ? 1?? 1 1 ? ? m ?? ? 令 g ?x ? ? mx 2 ? x ? ln?x ? 1? ,则 g ??x ? ? m x ? 1 ? 2 x ?1 x ?1

21、已知函数 f ?x ? ?

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为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) , O 是坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 x ? ky ? 1 31 与 C 交于相异两点 M 、 N ,且 OM ? ON ? ? ,求 k .(其中 O 是坐标原点) 9 2 2 2 ?a ? b ? c ? 5 ? c ? 【答案】解: (1)依题意得 ? ------3 分 5 ? a ? c ?1 ?

1 ? ? 而当 x ? ?1时,g ?x? ? ?? ,因此 g ?x ? ? 0 在 ? ? 1, ? 1? 内也有一个解. m ? ? 即当 m ? 1 时,不合题目的条件.综上讨论得 m ? 1 .?????8 分 m x2 ? ?m ? 2?x ? 1 ?x ? ?1?, f ??x? ? 0 ? h?x? ? mx2 ? ?m ? 2?x ? 1 ? 0 . (Ⅱ) f ??x ? ? x ?1 1 1 2 因为 ? ? ?m ? 2? ? 4m ? m2 ? 4 ? 0, 且对称轴为 x ? ? ? ? ?1 , 2 m h?? 1? ? m ? ?m ? 2? ? 1 ? 1 ? 0 ,所以方程 h?x ? ? 0 在 ?? 1,??? 内有两个不同实根 x1 , x 2 , 即 h?x? ? mx2 ? ?m ? 2?x ? 1 ? 0 的解集为 ?x1 , x 2 ? , 所以函数 f ?x ? 的单调递减区间为 ?x1 , x2 ? .
t ? x 2 ? x1 ?

?x1 ? x2 ?

2

1 4 ? m?2? ? 4 x1 x 2 ? ? ? ? ? 4 ? ? 1? 2 m ? m m ?

2

4 ? 5, m2 所以函数 y ? f ?x ? 的递减区间长度 t 的取值范围是 (1, 5 ] .????????15 分
由于 m ? 1 ,所以 1 ? 1 ?
x2 y2 5 22(本小题 14 分)离心率为 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 5 a b

- 10 -


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