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陕西2013年高考数学(理)试题及答案


2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. 2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息. 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的定义域为 M, 则 CR M 为 (A) [-1,1] (C) (??, ?1] ? [1, ??) (B) (-1,1) (D) (??, ?1) ? (1, ??)
输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y

2. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 3. 设 a, b 为向量, 则“ | a· b |?| a || b | ”是“a//b”的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, ?, 840 随机 编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 5. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和 扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该 地点无 信号的概率是 .
D F C

(A) 1 ?

?
4

(B)

?
2

?1

1 E A 2 B

? 4 2 6. 设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是
(C) 2 ? (D) (A) 若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2
z1 ? z2 · z2 (C) 若 | z1 ? z2 | , 则 z1·

?

(B) 若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2 (D) 若 | z1 ? z2 | , 则 z12 ? z22 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形

4 ?? 1? ?? x ? ? , x ? 0, 8. 设函数 f ( x) ? ?? , 则当 x>0 时, f [ f ( x)] 表达式的展开式中常数项为 x? ? x ? 0. ? ? x,

(A) -20 (B) 20 (C) -15 (D) 15 2 9. 在如图所示的锐角三角形空地中 , 欲建一个面积不小于 300m 的内接矩形花园 (阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是 (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (B) [2x] = 2[x] (C) [x+y]≤[x]+[y] (D) [x-y]≤[x]-[y]

x

40m

40m

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于 16 m 4 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为
11. 双曲线

. .
2 1

13. 若点(x, y)位于曲线 y ?| x ? 1| 与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小 值为 . 14. 观察下列等式:

1

1

12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10 ? 照此规律, 第 n 个等式可为 . 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所 做的第一题计分) A. (不等式选做题) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1, mn= 2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为 . B. (几何证明选做题) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于 ? O 内一点 E, 过 E P 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD=2DA=2, 则 PE = . C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角 ? 为参数, 则圆
x2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为
.

B

C O E D A

y

P θ

O

x

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)
1 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· b. 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.

? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

17. (本小题满分 12 分) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 推导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列.

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 ? 的大小. 19. (本小题满分 12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位 观众须彼此独立地在选票上选 3 名选手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角 平分线, 证明直线 l 过定点. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. 2 b?a


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