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安徽省望江中学2014届高三第一次月考数学(理)试题 Word版含答案


安徽省望江中学 2014 届第一次月考 数学(理)试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ⒈ 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 ? z ? (

A. 2

B. 2 ? i

>
2 z



C. 2 ? 2i

D. 2 ? i


⒉ 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?2,1) ,则“ ? ? 2014 ”是“ ? a ? b ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件
⒊ 若双曲线

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的离心率为 2,则 a 等于( a2 3

A. 2

B.

3

C.

D. 1

⒋ 甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5 位评委评分情况如茎叶图所示,记甲、 乙两人的平均得分分别为 x甲 、 x乙 ,则下列判断正确的是 ( )
甲 6 7 8 4 0 7 8 9 乙 5 8 3 6 8

A. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定

⒌ 等差数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? (

1 3



A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

⒍ 已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直径 为 2,则该几何体的体积为( )
24 ?

A. C.

24 ?

?
3

B.

?
2

3 24 ? ? 2

D. 24 ? ?

⒎ 已知函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? ,其导函数
f ?( x) 的部分图像如图所示,则函数

f ( x) 的解析式为(
?2 4?



1 ? A. f ( x) ? 2sin ? x ? ? ? ? ?2 4?

1 ? B. f ( x) ? 4sin ? x ? ? ? ?

? C. f ( x) ? 4sin ? x ? ? ? ?
? 4?

D. f ( x) ? 4sin ? x ? ?
1 ?2

3? ? ? 4 ?

⒏ 设变量 x, y ( ) A. 1

?5 x ? 2 y ? 18 ? 0 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,若直线 kx ? y ? 2 ? 0 经过该可行域,则 k 的最大值为 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?

B. 3

C. 4

D. 5

⒐ 已知偶函数 f ( x) 满足 f (?1) ? 0 ,且在区间 ?0, ?? ? 上单调递增.不等式 f ? 2 x ? 1? ? 0 的解集为 (
1 A. ? ,1? ?2 ? ? ?



B. ? 0,1?

C. ? ??,1?

1 D. ? 0, ? ? ? 2 ? ?

10. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , f (2) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0,6 ? 内 零点个数的情况为( A. 2 个 ) B. 4 个

C. 6 个

D.至少 6 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡的相应位置. 11.已知 a ? ?03 sin xdx ,则 x ? x ? ?
?
?

1 ? ? 的展开式中的常数项是 ax ?

7

(用数字作答). .

12. 执行如图所示的程序框图,输出结果 S 的值为

13.抛物线 x 2 ? 2 y 上点 (2, 2) 处的切线方程是
?
4

.

14. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ( ? ? R) ,直线 l 的参数方程为
? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?y ? 2 t ?

( t 为参数). M 、 N 分别是曲线 C 和直线 l 上的任

意一点,则 MN 的最小值为

.

15. 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,给出下列五个说法:
1921? ? 1 ? ? ?? ①f? ? ? ? ;②若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ;③ f ( x) 在区间 ? ? , ? 上单调递增; ④ ? 12 ? 4 ? 6 3?

将函数 f ( x) 的图象向右平移

3? 1 个单位可得到 y ? cos 2 x 的图象;⑤ f ( x) 的图象关于点 4 2

? ? ? ? ? ,0 ? 成中心对称.其中正确说法的序号是 ? 4 ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答 写在答题卡上的指定区域内. 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 ? a ? c ? ? ? sin A ? sin C ? ? ? a ? b ? sin B ? 0 ,其中 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 的内角
A 、 B 、 C 所对的边.求:

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求满足不等式 sin A ? sin B ? 的角 A 的取值范围.
3 2

17.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, ?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3 , BC ? CD ? 6 ,设顶 点 A 在底面 BCD 上的射影为 E . A (Ⅰ)求证: CE ? BD ; (Ⅱ)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA ,试求二面角 G C ? EG ? D 的余弦值.
E D

B

C

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
1 ? a ? ln x ,a ?0. x

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若不等式 f ( x) ? k ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,求 k 的取值范围;

19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行围棋比赛,规定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一方比对 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ? p ? 互独立.已知第 二局比赛结束时比赛停止的概率为 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 X 的分布列和数学期望

? ?

1? ? ,且各局胜负相 2?

5 . 9

E?X ?.

20.(本小题满分 13 分)

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? an ? ? n 2 ? n ? 1(n ? N *) . (Ⅰ)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;
? ? (Ⅲ)若 cn ? ? ? ? an , P ? ? i c 2 ?i c ,求不超过 P 的最大的整数值. i ?1 i i ?2? 1
2013

1 2

3 2

n

c 2 ? c ?1

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :
x2 y 2 3 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,直线 l : a 2 b2 3

y ? x ? 2 与以原点为圆心、

以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l2 垂直 l1 于点 P , 线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M , 求点 M 的轨迹 C2 的方程; (Ⅲ) C2 与 x 轴交于点 Q , 设 不同的两点 R, S 在 C2 上, 且满足 QR ? RS ? 0 , QS 的 求 取值范围.

uuu uur r

uur

安徽省望江中学 2014 届第一次月考 数学(理)试题答案

⒈【解析】因为 z ? 1 ? i ,所以

2 2 ?z ? ? ?1 ? i ? ? 2 ? 2i ,选 C. z 1? i

⒉【解析】因为 a ? b ? 0 ,所以选 A. ⒊【解析】由

c a2 ? 3 x2 y 2 ? 2 ,解得 a ? 1 ,选 D. ? ? 1 知 b ? 3 ,而 e ? ? a a a2 3

y = 2?x 8 y=3 x ⒍【解析】由三视图可知,该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体,可知,长方体的长 18 5?x y= 为 4,宽为 3,高为 2,那么圆柱体的高位 3,底面的半径为 1,则可知该几何体的体积 6 2

为 2 ? 3? 4 ? ⒎【答案】B.

1 3 ? ?12 ? 3 ? 24 ? ? ,故答案为 C. 2 2

4

B(2,4)

⒏【解析】直线 kx ? y ? 2 ? 0 过定点 (0, 2) ,作可行域如右图所示,当定 点和 B 点连接时,斜率最大,此时 k ?
15

2

4?2 ? 1 ,选 A; 2?0 10

C(1,2) x+y-3=0

5x+2y-18=0

5

5

⒐【解析】因为偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数且 f (?1) ? 0 ,所
2

A(4,-1)

以 f ? 2 x ? 1? ? 0 可化为 f 选 B.

? 2 x ? 1 ? ? f (1) ,则有 2 x ? 1 ? 1 ,解得 x 的取值范围是 ? 0,1? ,
4 6

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 题号 答案 ⒒ ⒓ 2 ⒔
2x ? y ? 2 ? 0


2 2

⒖ ①④

560

r Tr ?1 ? C7r x 7 ? r ? 2r ? x ? r ? 2r C7 x 7 ? 2 r , 则 令 7 ? 2r ? ?1 , 解 得 r ? 4 , 从 而 常 数 项 为

24 C74 ? 560 ;

⒔【解析】由 x 2 ? 2 y 得 y ? x 2 ,则 y? ? x ,则在点 (2, 2) 处的切线斜率为 k ? 2 ,所以切线方
1 2

程为 y ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 . ⒕【解析】曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 0 ,而直线 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,曲线

C 与直线 l 平行,则 MN min ?

0 ? ? ?1? 2

?

2 . 2
? 12 ? ? 12 ? 2 6 4

1921? ? ? 1 1 ?? ? 1 ⒖ 【 解 析 】 f ( x) ? cos x ? sin x ? sin 2x . ① 正 确 , f ? ? ? ? f ? ? ? sin ? ; ② 错 误 : 由
2

f ( x1 ) = - f ( x2 ) = f (- x2 ) ,知 x1 = - x2 + 2kp 或 x1 = p + x2 + 2k p (k
令?

Z ) ;③错误:

?
2

? 2 k? ? 2 x ? ?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? ? k ? Z ? ,由复合函数性质知

? ? ? ? f ( x ) 在 每 一 个 闭 区 间 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 上 单 调 递 增 , 但 4 ? 4 ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? 6 , 3 ? ? ? ? 4 ? k? , 4 ? k? ? ? k ? Z ? ,故函数 ? ? ? ?

f ( x) 在 ? ? ? , ? ? 上不是单调函数;④错误:将函数 ? ?
? 6 3?
3? 4

f ( x)



























1 3? ? y ? sin 2 ? x ? 2 4 ?

3? ? 1 ? ? ? sin ? 2 x ? 2 ? 2 ?

? 1 ? ? cos 2 x ;⑤错误:函数的对称中心的横坐标满 ? 2

足 2x0 ? k? ,解得 x0 ? 称中心.

k? ? k? ? ,即对称中心坐标为 ? , 0 ? ? k ? Z ? ,则点 ? ? ? ,0 ? 不是其对 ? ? ? 4 ? 2 2 ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.

⒘ (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)方法一:由 平面 ,得 , 又 ,则 平面 , 故 ,???????????????? 3 分 同理可得 ,则 为矩形, 又 ,则 为正方形,故 .??????? 5 分 方法二:由已知可得 ,则 平面 ,设 ,故平面 为 的中点,则 平面 ,则顶

A

G

E

D

点 在底面 上的射影 必在 ,故 . B (Ⅱ)方法一:由(I)的证明过程知 平面 ,过 作 ,垂足 为 , 则 易 证 得 , 故 即 为 二 面 角 的 平 面 角,?????????????? 8 分 由已知可得 ,则 ,故 ,则 , 又 故 ,则 ,?????????????? 10 分 ,即二面角 的余弦值为 ?12 分

C

方法二: 由(I)的证明过程知 为正方形,如图建立坐标系, 则 E (0, 0, 0) , F (0, 6, 0) A(0, 0, 6) , B (6, 0, 0) C (6, 6, 0) , 可 得 G (2, 2, 4) ,???????8 分 则 ED ? (0, 6, 0) , EG ? (2, 2, 4) ,易知平面 的 一 个 法 向 量 为 BD ? (?6, 6, 0) , 设 平 面

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r ? n ? ED ? 0 ? 得 n ? ? ?2, 0,1? ?????????10 分 r ? uuu ?n ? EG ? 0 ? uuu r uuu r BD ? n 10 ? r 则 cos ? BD, n ?? uuu 5 ,即二面角 BD ? n
分 ⒙(本小题满分 12 分) 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 函 数

的 一 个 法 向 量 为 n ? ? x, y,1? , 则 由

的余弦值为

10 .???? 12 5

f ( x)











+? ? 0, ? 。
f ?( x) ?
x ? ea
当 数; 当

??????????????????1 分

a ? ln x x2





f ?( x) ? 0



???????????????????3 分

x ? (0, e a ), f ?( x) ? 0, f ( x)
???????????????????4 分







x ? (e a , ??), f / ( x) ? 0, f ( x)







数, ???????????????????5 分 可 知

f ( x)











f (e a ) ? e ? a ????????????????????????6 分
(Ⅱ)由于 a ? 1 ,所以立不等式 f ( x) ? k ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立,即

ln x ?k在 x

(0, ??) 上恒成立,
设 g ( x) ?

ln x ( x ? 0). x
g ( x) 在 x ? e 处 取 得 最 大 值

由 ( Ⅰ ) 知 ,

1 e

, ∴

1 k ? ??????????????12 分 e
【参考题】 (Ⅲ)已知 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? e ,求证: x1 ? x2 ? x1 x2 . ∵ e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 f ( x) ? ∴

ln x 在 (0, e) 上单调递增, x

ln( x1 ? x2 ) ln x1 x ln( x1 ? x2 ) ,即 1 ? ? ln x1 ①, x1 ? x2 x1 x1 ? x2

同理

x2 ln( x1 ? x2 ) ? ln x2 x1 ? x2



两式相加得 ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln x1 x2 , ∴ x1 ? x2 ? x1 x2

(Ⅱ)依题意知 X 的所有可能取值为 2,4,6。????6 分 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

5 ,若该轮结束时比赛还将继 9

续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影 响,从而有

5 , 9 ? 5 ? 5 20 , P( X ? 4) ? ?1 ? ? ? ? ? 9 ? 9 81 P( X ? 2) ?

16 ? 5? P( X ? 6) ? ?1 ? ? ?1 ? ,????9 分 81 ? 9?
则随机变量的分布列为 X P 2 4 6

2

5 20 16 9 81 81 5 20 16 266 故 E ? X ? ? 2? ? 4? .????12 分 ? 6? ? 9 81 81 81
⒛(本小题满分 13 分)

1 3 【解析】 (Ⅰ)因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 2 2
所以

1 ,????????????1 分 2 1 3 ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,????????2 分 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ? n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,
① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ?

所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? ,????????3 分 2 2
n

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? L ? n ? 2 ? n ?1 ,?????6 分 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? L ? n ?1 ? n ,?????7 分 2 2 2 2 n ?1? 1? ? ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ? 2 .??????9 分 Tn ? 1 2n 2n 1? 2 n ?1? (Ⅲ)由(1)知 a n ? ? ? ? n ? c n ? n ??????10 分 ?2?
所以 ① Tn ?

1 1 ?1? ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .?????4 分 2 2 ?2? n (Ⅱ)由 (Ⅰ)得 nbn ? n . 2
所以数列 ?bn ? 是首项为

?
所以 P ?

cn 2 ? cn ? 1 1 1 1 1 , ???12 分 ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? 2 cn ? cn cn ? cn n(n ? 1) n n ?1

ci 2 ? ci ? 1 ? c2 ?c i ?1 i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? L ? (1 ? ? ) ? 2014 ? 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超过 P 的最大整数为 2013 .?????????????????13 分
2013

21.(本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ)∵ e ?

3 c2 a 2 ? b2 1 ,? e 2 ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b 2 3 a c2 3
2 2 2

∵直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, ∴

2 2

? b,? b ? 2 , b 2 ? 2

∴ a2 ? 3

????3 分

∵椭圆 C1 的方程是

x2 y2 ? ?1 3 2

??????6 分

(Ⅱ)∵ MP ? MF2 ,

∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F1 ?1, 0 ? 的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线, F2 为焦点的抛物线 ??????6 分 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x
2

????9 分

( 0 ) (Ⅲ) Q 0, ,设 R ?

?y ? ?y ? , y1 ? 、 S ? , y2 ? ? 4 ? ? 4 ?
2 1 2 2

2 y12 y 2 ? y12 ∴ QR ? ( , y1 ), RS ? ( , y 2 ? y1 ) 4 4 uuu uur r y 2 ( y 2 ? y12 ) ∵ QR ? RS ? 0 ,∴ 1 2 ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 16


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