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山东省实验中学2013届高三第四次诊断性测试文科数学试题


山东省实验中学 2013 届高三第四次诊断性测试

数学试题(文科)(2013.02)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)共两卷.其中第Ⅰ卷共 60 分,第Ⅱ 卷共 90 分,两卷合计 150 分,答题时间为 120 分钟,不能使用计算器.

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的)

共 60 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 1.已知 i 为虚数单位,若复数 ( a ? 1) ? ( a ? 1) i 为实数,则实数 a 的值为 A. -1 A. { y | y ? x , x ? R}
2

B. 0

C. 1

D. 不确定

2.若集合 P ? { y | y ? 0} , P ? Q ? Q ,则集合 Q 不可能是 B. { y | y = 2 , x D. { y | y = x , x
- 3 x

R} 0}

C. { y | y = | lg x |, x > 0} 3.函数 y =

1 的定义域为 log 0.5 (4 x - 3)
B. ? , + ?

A. ? ,1÷ ? ÷

骣 3 ?4 ÷ 桫

骣 3 ?4 桫

÷ ÷ ÷

C. (1, +

)

D. ? ,1÷U (1, + ? ÷

骣 3 ?4 ÷ 桫

)

4.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8

5.下列命题中,真命题是 A. $ m B. $ m C. " m D. " m

R ,使函数 f ( x ) = x 2 + mx ( x R ,使函数 f ( x ) = x 2 + mx ( x R ,函数 f ( x ) = x + mx ( x R ,函数 f ( x ) = x + mx ( x
2 2

R ) 是偶函数 R ) 是奇函数 R ) 都是偶函数 R ) 都是奇函数

í x ? 1, ? ? ? 6.若 x, y ? R ,且 ì x - 2 y + 3 ? ? y ? x, ? ? ?
A.2 A. k > 4 ? A.75
2 2

0, 则 z = x + 2 y 的最小值等于

B.3 B. k > 5? B.60

C.5 C. k > 6? C.45 D.30

D.9 D. k > 7 ?

7.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为 8.已知锐角 V ABC 的面积为 3 3 , BC = 4, CA = 3 ,则角 C 的大小为 9. 直线与圆 x + y + 2 x - 4 y + a = 0( a < 3) 相交于 A 、B 两点, 若弦 AB 的中点为 (-2, 3),则直线的方程为

A. x - y + 5 = 0 C. x - y - 5 = 0

B. x + y - 1 = 0 D. x + y - 3 = 0
x+ 1

10.函数 f ( x ) = 1 + log 2 x 与 g ( x ) = 2-

在同一直角坐标系下的图象大致是

11.过双曲线

x2 y2 a2 的 - 2 = 1( a > 0, b > 0) 的左焦点 F (- c,0)( c > 0) ,作圆 x 2 + y 2 = a2 b 4

切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 OP = 2OE - OF ,则双曲线的离心率 为 A. 10 B.

uur

uuu r

uuu r

10 5

C.

10 2

D. 2

12 . 设 函 数 y = f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数

í f ( x ), f ( x ) ? k , ? 2 给出函数 f ( x ) = - x + 4 x - 2 ,若对任意的 x ? R ,恒有 fk ( x) = ? ì ? k , f ( x) > k. ? ?

f k ( x ) = f ( x ) ,则
A. k 的最大值为 2 C. k 的最大值为 1 B. k 的最小值为 2 D. k 的最小值为 1

第Ⅱ卷(非选择题
13.下图中的三个直角三 的 三 视 图 , 则 h =

共 90 分)
角形是一个体积为 20cm 的几何体 cm.
3

二、填空题:(本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分.)

14.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100

根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40] 中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 100 根中,有 20mm. 15.已知数列 {an } ,函数 y = x 2 ( x > 0) 的图象在点 ( ak , ak 2 ) 处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 ak + 1 ,其中 k ? N* ,若 a1 = 16 ,则 a1 + a3 + a5 的值是 是 . . 16.已知向 量 a = (1, 2), b = (1,1) 且 a 与 a + l b 的夹角为锐角, 则实数 l 的取值范 围 三、 解答题: (本大题共有 6 个小题, 74 分.解答应写出文字说明、 共 演算步骤或证明过程.) 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a = (cos x,sin x ), b = ( 3 cos x,cos x ) ,若 f ( x ) = a ?b (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ê 根棉花纤维的长度小于

3.

é 5p p ? , ÷上的值域. ÷ ê 12 12 ÷ ? ?

18.(本小题满分 12 分) 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个, 标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球, 取到标号是 2 的小球的概率是 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为 a ,第二次取出的 小球标号为 b . ①记事件 A 表示“ a + b = 2 ”,求事件 A 的概率; ②在区间[0,2]内任取两个实数 x, y ,求事件“ x + y > ( a - b) 恒成立”的概率. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PD ^ 底面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形,
2 2 2

1 . 2

PD = DC , E , F 分别是 AB, PB 的中点. (1)求证: EF ^ CD; (2)若线段 AD 上存在点 G ,使 GF ^ 平面 PCB ,请确定 G 位置,并证明
你的结论.

20.(本小题满分 12 分) 已 知 正 项 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , a1 =

1 . 当 且 n ? N * 时 , 点 ( S n , S n+ 1 ) 在 直 线 2

y = 2x +

1 上,数列 {bn } 满足 bn = log 1 an ( n 2 2

N*) .

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ;

(2)设数列 {

bn } 的前 n 项和为 Tn . 求 Tn . an

21.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C1 和抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点,从每条曲线上 各取两点,将其坐标记录于下表中:

x
y
(1)求曲线 C1 , C2 的标准方程;

3

-2

4

2
2 2

- 2 3

0

-4

(2)是否存在过抛物线 C2 的焦点 F 的直线,使得与椭圆 C1 交于不同两点 M 、 N ,且

uuur uuu r OM ?ON

0 ?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln( x - 1) - k ( x - 1) + 1 . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n( n - 1) + + +鬃 ? < (n 3 4 5 n+ 1 4

N * 且n> 1) .

数学试题(文科)参考答案
选择题 ADDBA BABAC CB 填空题 13. 4 14. 30 15. 21 16. ??

骣5 ÷ ÷ ? 3 ,0÷U (0, + 桫

).

17. 解:(1) f ( x ) = a ?b

3=

3 cos 2 x + sin x cos x +

3

=

3 1 3 3 cos 2 x + sin 2 x + 2 2 2

骣 π 3 3 2π = sin ?2 x + ÷+ ÷ ? ÷ 2 . \ T = z = π ,图象的对称轴方程为 ? 桫 3
x = kπ+ π 7π 和x = kπ+ (k 12 12 Z) .
6分

(2)由于区间 ê -

轹 5π π ÷ π , ÷的长度为 ,为半个周期. ÷ ê 12 12 ? 2 ?

又 f ( x) 在 -

3 3 3 3 5π π 最大值 所以函数 f ( x ) 在 - 1, + 1, , 处分别取到函数的最小值 2 2 12 12
12 分

区间 ê -

轹 3 轹 5π π ÷ 3 3 3 ÷. ÷ , ÷上的值域为 ê ÷ ê 2 - 1, 2 + 1÷ ÷ ê ? ? 12 12 ? ?

18. 解:(1)由题意可知:

n 1 = ,解得 n = 2 1+ 1+ n 2

4分

(2)①两次不放回抽取小球的所有基本事件为:(0,1),(0,21),(0, 22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22), (22,0)(22,1),(22,21),共 12 个,事件 A 包含的基本事件为:(0, 21)(0, 2)(21, , 2, , 4 个. \ P ( A) = , 2 , 0)(2 0) 共 分 ②记“ x + y > ( a - b) 恒成立”为事件 B ,则事件 B 等价于“ x + y > 4 ”,( x, y ) 可 以 看 成 平 面 中 的 点 ,
2 2 2 2 2 2

4 = 1. 123

8


2





















W= {( x, y ) | 0 #x

2,0 # y

2, x, y

R} ,

而事件 B 所构成的区域 B = {( x, y ) | x + y > 4, x, y 蜽 } , 如图,则 P ( B ) = 分 19. 证明:(1)由于底面 ABCD 为正方形,

S阴 S正方形 D ABC

= 1-

π . 4

12

\ AD ^ CD ,又 PD ^ 平面 ABCD , \ PD ^ CD ,又 Q E , F 分别是 AB , PB 的中点, \ EF ∥ AP , \ EF ^ CD .
分 (2)如图,设 AD 的中点为 G , BD 的中点为 O ,连结 OF , OG , PG , GB, GF .

5

Q O 、 F 、 G 分别是 BD 、 PB 、 AD 的中点, \ FO ∥ PD , GO ∥ AB , Q AB ^ BD, \ GO ^ BC , Q PD ^ 平面ABCD, FO ∥ PD , \ FO ^ 平面ABCD, \ GF ^ BC . 设 PD = DC = a ,
则 PG =

PD 2 + DG 2 =

5 a, 2

GB =

AB 2 + AG 2 =

5 a, 2
12

\ PG = GB ,又 F 是 PB 的中点, \ GF ^ PB, \ GF ^ 平面PCB .

分 20. 解:(1)当 n ? 2 且 n ? N* 时,点 ( Sn- 1 , Sn ) 在直线 y = 2 x +

1 上, 2

\ 2 Sn = 4 Sn- 1 + 1



\ 2 Sn+ 1 = 4 S n + 1( n

N* )



由②-①得: an+ 1 = 2an ?

an+ 1 an

2( n 澄2, n

N*)

由 2 S2 = 4 S1 + 1 得 2( a1 + a2 ) = 4a1 + 1 又 a1 =

1 a , \ a2 = 1, \ 2 = 2 , 2 a1
2n- 2 .
6分

1 \ 数列 {an } 是以 为首项,2 为公比的等比数列. \ an = 2 1 1 (2) Q bn = log an = log 2 n- 2 = 2 - n 2 2 b 2- n 1 0 - 1 3- n 2 - n \ n = n- 2 , \ Tn = + + +鬃 ? + n- 2 1 1 an 2 2 2 n- 3 2 2 1 1 0 - 1 3- n 2 - n Tn = + + 2 + 鬃 ? + n- 1 ④ 2 1 2 2 2 n- 2 2 1 1 1 1 1 2- n 由③-④得: Tn = 2 - - 2 - 鬃 n- 2 - n- 1 = ? 2 1 2 2 2 2 2n \ Tn = n- 1 = n 22- n . 2
21. 解:(1)由题意(-2,0)一定在椭圆 C1 上.



1 2
n- 2

-

2- n . 2 n- 1
12 分

设 C1 方程为

x2 y2 + = 1( a > b > 0) ,则 a = 2 a 2 b2

\ 椭圆 C1 上任何点的横坐标 | x |? 2 .
所以 ? 2, ?

骣 ? ? 桫

2÷ ÷也在 C1 上,从而 b2 = 1 ÷ 2 ÷

\ C1 的方程为

x2 + y2 = 1 4
2

从而 (3, - 2 3) ,(4,-4)一定在 C2 上,设 C2 的方程为 y = 2 px ( p > 0)

\ p = 2 .即 C2 的方程为 y 2 = 4 x .
分 (2)假设直线过 C2 的焦点 F (1,0) .

5

当的斜率不存在时,则 M 珑 1, 珑

骣 3鼢 骣 3 鼢 1, , 珑 2 鼢N 桫 - 2 . 珑 鼢 桫
0 ,与已知矛盾.

3 1 = 4 4 当的斜率存在时设为 k ,
此时 OM ?ON

uuur uuu r

1-

则的方程为 y = k ( x - 1) 代入 C1 方程并整理得:

(1 + 4k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 4 = 0 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
则 x1 + x2 =

8k 2 4k 2 - 4 , x1 x2 = 1 + 4k 2 1 + 4k 2
2

- 3k 2 y1 y2 = k ( x1 - 1)k ( x2 - 1) = k ( x1 x2 - x1 - x2 + 1) = 1 + 4k 2

uuur uuu r Q OM ?ON

0, \ x1 x2 + y1 y2 = 0, \ k 2 - 4 = 0, k =

2

\ 存在符合条件的直线且方程为 y = ? 2( x 1) , 即 y = 2 x - 1或y = - 2 x + 1 .
22.(1)解:函数 f ( x ) 的定义域为 (1, + ? ), f ? x ) ( 当 k ? 0 时, Q x - 1 > 0, \

12 分

1 - k. x- 1

1 > 0, f ? x ) > 0 ,则 f ( x ) 在 (1, + ) 上是增函数. ( x- 1 1 1 当 k > 0 时,令 f ? x ) = 0 ,即 ( - k = 0 ,得 x = 1 + . x- 1 k 骣 骣 1 1 1÷ 1 当 x ? ?1,1 ( - k> - k = 0 ,则 f ( x ) 在 ?1,1 + ÷上是增 ÷时, f ? x ) = ÷ ? ? ÷ ? ? 1 桫 桫 k k÷ x- 1 1+ - 1 k
函数; 当 x ? ?1 ? 函数. 综上可知:当 k ? 0, f ( x ) 在 (1, + 当 k > 0 时, f ( x ) 在 ?1,1 + ?

骣 1 ? k ,+ 桫

轹 1 1 ÷时,f ? x ) = 1 - k < 1 ( - k = 0, \ f ( x ) 在ê + , + ÷ ÷ 1 ê k x- 1 ? 1+ - 1 k
) 上是增函数,

÷上是减 ÷ ÷ ?

骣 ? 桫

轹 1 1÷ 1 ÷上是增函数,在 ê + , + ÷ ê k k ?

÷上是减函数. ÷ ÷ ?

5分

(2)解:由(1)知,当 k ? 0 时, f (2) = 1 - k > 0 不成立, 故只考虑 k > 0 的情况.

1 ) = - ln k , k 要使 f ( x ) ? 0 恒成立,只要 f ( x ) max ? 0 即可. 由 - ln k 0 ,得 k ? 1 .
又由(1)知 f ( x ) max = f (1 +

9分

(3)证明:由(2)知当 k = 1 时,有 f ( x ) ? 0 在 (1, + 又 f ( x ) 在 [2,+

) 内恒成立,

) 内是减函数, f (2) = 0 ,
) 内恒成立.

\ x ? (2,
2

) 时,有 f ( x ) < 0 恒成立,
*

即 ln( x - 1) < x - 2 在 (2, + 令 x - 1 = n ( n ? N , 且n
2 2

1.)

则 ln n < n - 1 ,即 2 ln n < ( n - 1)( n + 1) ,

\

ln n n- 1 < ( n ? N* , 且n n+ 1 2

1) .

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n - 1 n( n - 1) + + +鬃 ? < + + +鬃 ? = , 3 4 5 n+ 1 2 2 2 2 4


ln 2 ln 3 ln 4 ln n n( n - 1) + + +鬃 ? < ( n ? N* , 且n 3 4 5 n+ 1 4

1) 成立.

14 分


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