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2016年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)(解析版)


2016 年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A={x|2x≤1,x∈R},B={a,1},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.a≥0 D.a≤0 2.若复数 A.2 B. 的实部是 ,则实数 a=

( C. D.﹣ )6 中,常数项为( ) )

3.二项展开式(2x﹣

A.240 B.﹣240 C.15 D.不存在 4.若函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 3,则 ω 值为 ( A. ) B. C. D. )

5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2S3=a3+a7=18,则 a1=( A.1 B.2 C.3 D.4 2 6.函数 f(x)=lnx﹣x 的单调减区间是( ) A. (﹣∞, ] B. (0, ] C.[1,+∞) ) D.[ ,+∞)

7.执行如图所示的流程图,则输出的 S=(

A.57 B.40 C.26 D.17 8.设随机变量 X 的概率分布表如表,则 P(|X﹣2|=1)=( X P A. B. C. 1 2 3 m D. 4



9.已知变量 x、y 满足约束条件

,则 z=x+3y 的最小值为(



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A.﹣1 B.1 C.2 D.3 10. 如图所示, 一个几何体的主视图和左视图都是边长为 4 的正方形, 中间线段平分正方形, 俯视图中有一内切圆,则该几何体的全面积为( )

A.64+8π

B.56+12π
2

C.32+8π

D.48+8π

11.已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上且不与点 F 重合,若 抛物线上的点满足 ? =0,且这样的点 A 只有两个,则 m 满足( ) A.m=9 B.m>9 或 0<m<1 C.m>9 D.0<m<1 12.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣ +a,a∈R,若方程 f(x)=1 有且只有三个不同的实数根, 且三个根成等差数列,则满足条件的实数 a 有( A.0 B.1 C.2 D.3 )个.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.双曲线 ﹣ =1 的离心率为 .

14.若 tanα= ,则 tan(

﹣α)=

. . |,直线 PA 交 y 轴于点 C,

15.已知 x>0,y>0,x+y+ =2,则 x+y 的取值范围是 16.已知点 A(﹣1,0) ,B(2,0) ,动点 P 满足| |≥2| 则 sin∠ACB 的最大值为 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 an=2Sn﹣1+2(n≥2) ;数列{bn}满足 2 b1+b2+b3+…+bn=n +n. (1)数列{an}是等比数列吗?请说明理由; (Ⅱ)若 a1=b1,求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 18. 某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究. 他们分别记 录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的昼夜温差及每天 30 颗种子的发芽数,并得到如下资料: 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 日期 10 11 13 12 9 温差 x (度) 16 17 14 13 发芽数 y(颗) 15

参考数据

,其中

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(1)请根据 3 月 1 日至 3 月 5 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程.据气象预报 3 月 6 日的昼夜温差为 11℃,请预测 3 月 6 日浸泡的 30 颗种子的发芽数. (结果保留整数) (2)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选两天,记种子发芽数超过 15 颗的天数为 X,求 X 的概 率分布列,并求其数学期望和方差. 19.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M 是 CD 的中点. (1)求 BB1 和平面 A1C1M 所成角的余弦值; (2)在 BB1 上找一点 N,使得 D1N⊥平面 A1C1M.

20.已知椭圆:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,离心率为

,△ABF2 的周

长等于 4 ,点 A、B 在椭圆 C 上,且 F1 在边 AB 上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图,过圆 O:x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点 M、N,求△PMN 面积的最大值.

21.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=ax2﹣(2a+1)x,a∈R (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)?g(x)>0 的解集; (2)若 a≠0,求函数 F(x)=f(x)+g(x)的单调递减区间; (3)求证:当 a∈[﹣ , ]时,对于任意两个不等的实数 x1,x2∈[ , ],均有

|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。做答时 请写清题号。[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 切⊙O 于点 B,点 G 为 AB 的中点,过 G 作⊙O 的割线交⊙O 于点 C、D, 连接 AC 并延长交⊙O 于点 E,连接 AD 并交⊙O 于点 F,求证:EF∥AB.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标 方程为 ρ= .

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线 l 的极坐标方程. [选修 4-5:不等式选讲] 24.如果 x 是实数,且 x>﹣1,x≠0,n 为大于 1 的自然数,用数学归纳法证明: (1+x)n >1+nx.

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2016 年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A={x|2x≤1,x∈R},B={a,1},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.a≥0 D.a≤0 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,根据 A 与 B 的交集为空集,确定出 a 的范围即 可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:2x≤1=20,得到 x≤0,即 A=(﹣∞,0], ∵B={a,1},且 A∩B≠?, ∴实数 a 的范围是 a≤0, 故选:D.

2.若复数 A.2 B.

的实部是 ,则实数 a=( C. D.﹣



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出. 【解答】解:复数 ∴ = ,解得 a= = . = ﹣ i 的实部是 ,

故选:B. )6 中,常数项为( C.15 D.不存在 x6﹣3r.令 6﹣3r=0,解得 r 即可得出. )6 中,通项公式:Tr+1= =26﹣r

3.二项展开式(2x﹣ A.240 B.﹣240



【考点】二项式系数的性质. 【分析】通项公式:Tr+1=26﹣r 【解答】解:二项展开式(2x﹣ x6﹣3r. 令 6﹣3r=0,解得 r=2. ∴常数项为 故选:A. =240.

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4.若函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 3,则 ω 值为 ( A. ) B. C. D.

【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 利用两角和的正弦公式化简函数的解析式, 再结合题意利用正弦函数的图象的对称 性求得 ω 的值. 【解答】解:函数 f(x)=sinωx+cosωx= 之间的距离为 则 ω= , =3, sin(ωx+ ) (ω>0)的图象相邻两条对称轴

故选:C. 5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2S3=a3+a7=18,则 a1=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】设公差为 d,由 2S3=a3+a7=18,列出关于 a1,d 的方程组,解得即可. 【解答】解:设公差为 d,∵2S3=a3+a7=18, ∴ ,

解得 a1=1, 故选:A. 6.函数 f(x)=lnx﹣x2 的单调减区间是( A. (﹣∞, ] B. (0, ] C.[1,+∞) ) D.[ ,+∞)

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】先求导,根据导数和函数的单调性的关系即可求出. 【解答】解:∵f(x)=lnx﹣x2 的定义域为(0,+∞) , ∴f′(x)= ﹣2x≤0, 即 x2≥ , 解的 x≥ 故选:D. 7.执行如图所示的流程图,则输出的 S=( ) ,

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A.57

B.40

C.26

D.17

【考点】循环结构. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 T,S,i 的值,当 i=6 时满足条件 i>5, 退出循环,输出 S 的值为 40. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=0,i=1 执行循环体,T=2,S=2,i=2 不满足条件 i>5,执行循环体,T=5,S=7,i=3 不满足条件 i>5,执行循环体,T=8,S=15,i=4 不满足条件 i>5,执行循环体,T=11,S=26,i=5 不满足条件 i>5,执行循环体,T=14,S=40,i=6 满足条件 i>5,退出循环,输出 S 的值为 40. 故选:B. 8.设随机变量 X 的概率分布表如表,则 P(|X﹣2|=1)=( X P A. B. C. 1 2 3 m D. 4 )

【考点】离散型随机变量及其分布列. 【分析】由题意可得 X 和的值,代入 P(|X﹣2|=1)=P(X=1)+P(X=3)计算可得. 【解答】解:由|X﹣2|=1 可解得 x=3 或 x=1, 再由分布列的性质可得 m=1﹣( + + )= , ∴P(|X﹣2|=1)=P(X=1)+P(X=3)= + = 故选:C

9.已知变量 x、y 满足约束条件

,则 z=x+3y 的最小值为(



A.﹣1 B.1

C.2

D.3

【考点】简单线性规划.
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【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最小值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=x+3y 得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ , 经过点 B 时,直线 y=﹣ 的截距最小,此时 z 最小. ,

由图象可知当直线 y=﹣



,解得

,即 B(1,0) ,

代入目标函数得 z=1+3×0=1. 即 z=x+3y 的最小值为 1. 故选:B.

10. 如图所示, 一个几何体的主视图和左视图都是边长为 4 的正方形, 中间线段平分正方形, 俯视图中有一内切圆,则该几何体的全面积为( )

A.64+8π

B.56+12π

C.32+8π

D.48+8π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体:下面是一个长方体、上面是一个圆柱,由三 视图求出几何元素的长度,由圆柱的侧面积公式和矩形的面积公式求出几何体的表面积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个组合体: 下面是一个长方体,长、宽、高分别为:4、4、2, 上面是一个圆柱,底面圆的半径是 2、母线长是 2, ∴几何体的表面积 S=2×4×4+4×2×4+2π×2×2=64+8π, 故选:A.
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11.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上且不与点 F 重合,若 抛物线上的点满足 ? =0,且这样的点 A 只有两个,则 m 满足( ) A.m=9 B.m>9 或 0<m<1 C.m>9 D.0<m<1 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 由 ? =0, 点 A 位于以 FM 为直径的圆 C 上, 写出圆 C 的方程, 点 A 只有两个, 2 与抛物线相切,与抛物线有两个交点,联立方程组,整理得 x ﹣(m﹣3)x+m=0,由对称 性,方程只有一个解,判别式△=0,即可求得 m 的值. ? =0, 【解答】解: ∴点 A 位于以 FM 为直径的圆 C 上, 则圆 C 的方程为(x﹣1) (x﹣m)+y2=0, ∵这样的点 A 只有两个, ∴方程组 ,由两组解,

整理得:x2﹣(m﹣3)x+m=0,① 根据对称性,方程①只有一个解, ∴△=0,即(m﹣3)2﹣4m=0, 解得 m=9, 故答案选:A.

12.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣ +a,a∈R,若方程 f(x)=1 有且只有三个不同的实数根, 且三个根成等差数列,则满足条件的实数 a 有( A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】根据函数与方程之间的关系,将条件转化为|x﹣a|+a= +1,构造函数 h(x) ,利 用数形结合进行求解即可. 【解答】解:由 f(x)=1 得|x﹣a|﹣ +a=1,即|x﹣a|+a= +1, 设 h(x)=|x﹣a|+a,g(x)= +1, h(x)=|x﹣a|+a 的顶点(a,a)在 y=x 上,而 y=x 与 g(x)的交点坐标为(2,2) , (﹣1, ﹣1) , ∴当 a≤﹣1 时,f(x)=1 有明显的两个根﹣1 和 2,第 3 个根应为﹣4, 解方程组 ,得 a=﹣ , )个.

∴当﹣1<a≤2 时,f(x)=1 有明显的根 2,设另外两个根为 2﹣d,2﹣2d, 则点 A(2﹣d, 得 d= ,
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+1) ,B(2﹣2d,

+1)连线斜率 k=﹣1,

则得 AB 的方程为:y﹣

=﹣(x﹣

) ,与 y=x 联立得 a=



∴a>2 时,方程只有一根 f(x)=1,不满足条件. 综上满足条件的实数 a 有 2 个, 故选:C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.双曲线 ﹣ =1 的离心率为 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求得双曲线的 a,b,由 c= 和离心率公式 e= ,计算即可得到所求值.

【解答】解:双曲线



=1 的 a=

,b=2,

可得 c=

=

, ,

即有离心率 e= = 故答案为: .

14.若 tanα= ,则 tan(

﹣α)=



【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由条件利用两角和差的正切公式,求得 tan( ﹣α)的值.

【解答】解:∵tanα= ,则 tan(

﹣α)=

=

= ,

故答案为: .

15.已知 x>0,y>0,x+y+

=2,则 x+y 的取值范围是

[ ,2) .

【考点】基本不等式. 【分析】根据基本不等式的性质求出 x+y 的范围即可.
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【解答】解:∵x>0,y>0,x+y+ ∴2﹣(x+y)= ∴ (x+y)≥2, ∴x+y≥ , 故答案为:[ ,2) . ≤ ,

=2,

16.已知点 A(﹣1,0) ,B(2,0) ,动点 P 满足| 则 sin∠ACB 的最大值为 .

|≥2|

|,直线 PA 交 y 轴于点 C,

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】设 P(x,y) ,则满足(x﹣3)2+y2≤4,∴动点 P 在圆 M: (x﹣3)2+y2=4 上及内 部,当 AP 与圆 M 相切时,sin∠ACB 最大,由此能求出 sin∠ACB 的最大值. 【解答】解:设 P(x,y) ,∵点 A(﹣1,0) ,B(2,0) ,动点 P 满足| |≥2| |, | |= ,

∴满足(x﹣3)2+y2≤4, ∴动点 P 在圆 M: (x﹣3)2+y2=4 上及内部, 当 AP 与圆 M 相切时,sin∠ACB 最大, 此时 AP:y= tan ∴sin∠ACB= 故答案为: . . (x+1) ,点 C(0, =﹣ , ) ,∠ACO=60°,tan ,

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 an=2Sn﹣1+2(n≥2) ;数列{bn}满足 2 b1+b2+b3+…+bn=n +n. (1)数列{an}是等比数列吗?请说明理由; (Ⅱ)若 a1=b1,求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 (1)an=2Sn﹣1+2(n≥2) ,利用递推关系可得:an+1=3an.n=2 时,a2=2a1+2,只有 当 a1=2 时,满足 a2=3a1,即可判断出结论. (II)利用递推关系、“错位相减法”即可得出. an+1﹣an= =2an, 【解答】 解: (1) ∵an=2Sn﹣1+2 (n≥2) , (2Sn+2) ﹣ (2Sn﹣1+2) 化为 an+1=3an. n=2 时,a2=2a1+2,只有当 a1=2 时,a2=6=3a1, 此时数列{an}是等比数列,否则不是等比数列. (II)∵数列{bn}满足 b1+b2+b3+…+bn=n2+n,
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∴n=1 时,b1=2=a1, n≥2 时,bn=n2+n﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n,n=1 时也成立. ∴bn=2n. 此时数列{an}是等比数列,首项为 2,公比为 3. ∴an=2×3n﹣1. ∴anbn=4n×3n﹣1. ∴数列{an?bn}的前 n 项和 Tn=4(1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1) , 2 n 3Tn=4(3+2×3 +…+n×3 ) , ∴﹣2Tn=4(1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n)=4× ∴Tn=(2n﹣1)×3n+1. 18. 某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究. 他们分别记 录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的昼夜温差及每天 30 颗种子的发芽数,并得到如下资料: 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 日期 10 11 13 12 9 温差 x (度) 16 17 14 13 发芽数 y(颗) 15 ,

参考数据

,其中

(1)请根据 3 月 1 日至 3 月 5 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程.据气象预报 3 月 6 日的昼夜温差为 11℃,请预测 3 月 6 日浸泡的 30 颗种子的发芽数. (结果保留整数) (2)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选两天,记种子发芽数超过 15 颗的天数为 X,求 X 的概 率分布列,并求其数学期望和方差. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;线性回归方程;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)由公式求出 b,a,可得线性回归方程,从而预测 3 月 6 日浸泡的 30 颗种子的 发芽数; (2)由题意可知,X 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,即可求其数学期望和 方差. 【解答】解: (1)由公式可得 b=0.7,a=7.3 所以所求的线性回归方程为: …

当 x=11 时,y=15,即 3 月 6 日浸泡的 30 颗种子的发芽数约为 15 颗. (2)X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)= 其分布列为: X p
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=

,P(X=1)=

= ,P(X=2)=

=

0

1

2

所以:EX=1× +2×

= ,DX=(0﹣ )2×

+(1﹣ )2× +(2﹣ )2×

=



19.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M 是 CD 的中点. (1)求 BB1 和平面 A1C1M 所成角的余弦值; (2)在 BB1 上找一点 N,使得 D1N⊥平面 A1C1M.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)以 D 为原点建立空间直角坐标系,求出平面 A1C1M 的法向量 和 计算 cos< , >, 则 BB1 和平面 A1C1M 所成角的余弦值为 ∥ 求出 t 即可得出 N 的位置. 的坐标, .

(2)设 N(1,1,t) ,令

【解答】解: (1)以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体边长为 1,则 A1(1,0,1) ,B(1,1,0) ,M(0, ,0) ,C1(0,1,1) ,B1 (1,1,1) . ∴ =(﹣1,1,0) , =(﹣1, ,﹣1) , =(0,0,1) . =0, =0,

设平面 A1C1M 的法向量为 =(x,y,z) ,则 即 ,令 x=1 得 =(1,1,﹣ ) .



=﹣ ,| |= ,|

|=1.

∴cos<

>=

=﹣ .

∴BB1 和平面 A1C1M 所成角的余弦值为 (2)D1(0,0,1)设 N(1,1,t) (0≤t≤1) ,则 ∵D1N⊥平面 A1C1M,∴ ∴t﹣1=﹣ ,即 t= . ∴当 N 为 BB1 中点时,D1N⊥平面 A1C1M. ∥ ,

=

. =(1,1,t﹣1) .

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20.已知椭圆:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,离心率为

,△ABF2 的周

长等于 4 ,点 A、B 在椭圆 C 上,且 F1 在边 AB 上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图,过圆 O:x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点 M、N,求△PMN 面积的最大值.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1) 通过椭圆定义及△ABF2 的周长等于 4 通过 可知 b=1,进而可得结论; 可知 a= , 利用 = 可知 ,

(2)通过设 P(x0,y0)及过 P 点的直线为 y﹣y0=k(x﹣x0) ,并与椭圆方程联立,通过令 根的判别式为 0,计算可知过圆 O:x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直,进 而计算可得结论. 【解答】解: (1)∵△ABF2 的周长等于 4 ,且 F1 在边 AB 上, ∴(BF1+BF2)+(AF1+AF2)=4 , ∴ ,即 a= , 又∵ ∴ ∴ = , = =1, +y2=1; ,

∴椭圆 C 的标准方程为:

(2)依题意,设 P(x0,y0) ,设过 P 点的直线为 y﹣y0=k(x﹣x0) , 记 b=﹣kx0+y0,整理得:y=kx+b,并代入椭圆方程,得:
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x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0, 令△=0,得 9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0, ∴9k2﹣3b2+3=0,即 3k2﹣b2+1=0, 又∵b=﹣kx0+y0, ∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0, ∵△=3y02+x02﹣3>0, ∴k1?k2= ,

又∵x02+y02=4,即 y02=4﹣x02, ∴k1?k2= =﹣1,

∴过圆 O:x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直, ∴MN 为圆 O 的直径, 显然当 P 点为 P(0,±2)时,△PMN 面积的最大,最大值为 21.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=ax2﹣(2a+1)x,a∈R (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)?g(x)>0 的解集; (2)若 a≠0,求函数 F(x)=f(x)+g(x)的单调递减区间; (3)求证:当 a∈[﹣ , ]时,对于任意两个不等的实数 x1,x2∈[ , ],均有 4?2=4.

|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求出函数的定义域,解不等式(x﹣3)?lnx>0 即可; (2)求出 F(x)的导数,通过讨论 a 的范围,解关于导函数的不等式,从而求出函数的递 减区间即可; (3)结合函数的单调性得到函数,构造 ω(x)= ,求出 ω(x)的单调区间得到 f

(x2)﹣f(x1)<g(x1)﹣g(x2)<f(x1)﹣f(x2) ,解出即可. 【解答】解: (1)定义域是(0,+∞) ,不等式等价于(x﹣3)?lnx>0, 故不等式的解集是(0,1)∪(3,+∞) ; (2)F′(x)= ,

a<0 时,F′(x)<0,解得:x>1, a= 时,F′(x)≥0 恒成立,函数无减区间, 0<a< 时,令 F′(x)<0,解得:1<x< a> 时,令 F′(x)<0,解得: ,f(x)在(1, )递减,

<x<1,f(x)在(
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,1)递减;

(3)不妨设 x1>x2,由(2)得:a≤ 时,f(x)+g(x)在[ , ]单调递增, ≤a≤ 时, ≥ ,

∴f(x)+g(x)在[ , ]是单调递增函数, f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)对 x∈[ , ]恒成立, 当 a≥ 时,令 ω(x)=



则 ω′(x)=﹣

=0,解得;x=

﹣1,

随着 x 的变换,ω′(x) ,ω(x)的变化如下: x ω′(x) ω(x) ∴ω(x)max=﹣3﹣2 ( , + ↑ , ,从而 f(x)﹣g(x)在[ , ]单调递增, ﹣1) ﹣1 0 ﹣3﹣2 ( ﹣ ↓ ﹣1, )

∴? x∈[ , ],2a≥

f(x1)﹣g(x1)>f(x2)﹣g(x2)在[ , ]恒成立, f(x2)﹣f(x1)<g(x1)﹣g(x2)<f(x1)﹣f(x2)对 x1,x2∈[ , ],x1>x2 恒成 立, ∴任意实数 x1,x2∈[ , ],均有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。做答时 请写清题号。[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 切⊙O 于点 B,点 G 为 AB 的中点,过 G 作⊙O 的割线交⊙O 于点 C、D, 连接 AC 并延长交⊙O 于点 E,连接 AD 并交⊙O 于点 F,求证:EF∥AB.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】证明△GAC∽△GDA,得出∠GAC=∠GDA,利用∠GDA=∠AEF,可得∠GAC= ∠AEF,即可证明结论. 【解答】证明:∵AB 切⊙O 于点 B,点 G 为 AB 的中点, ∴GA2=GB2=GC?GD,
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∴△GAC∽△GDA,∴∠GAC=∠GDA, ∵∠GDA=∠AEF, ∴∠GAC=∠AEF, ∴EF∥AB. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标 方程为 ρ= .

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线 l 的极坐标方程. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)根据 ρ2=x2+y2,ρsinθ=2,将极坐标方程转化为直角坐标方程即可; (2)设出 直线的极坐标方程是 θ=θ0,解出即可. 【解答】解: (1)∵ρ2=x2+y2,ρsinθ=2, ∴ρ= 可化为 ρ﹣ρsinθ=2,

∴曲线的直角坐标方程是 x2=4y+4; (2)设直线 l 的极坐标方程是 θ=θ0, (ρ∈R) , 根据题意得: =3? ,

解得:θ0=

或 θ0=

, (ρ∈R)或 θ= (ρ∈R) .

故直线 l 的极坐标方程 θ=

[选修 4-5:不等式选讲] 24.如果 x 是实数,且 x>﹣1,x≠0,n 为大于 1 的自然数,用数学归纳法证明: (1+x)n >1+nx. 【考点】数学归纳法. 【分析】利用数学归纳法证明: (1)当 n=2 时,证明不等式成立; (2)假设 n=k(k≥2,k * ∈N )时命题成立,用上归纳假设,去证明则当 n=k+1 时,不等式也成立即可. 【解答】证明: (1)当 n=2 时,∵x≠0,∴(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立; (2)假设 n=k(k≥2)时,不等式成立,即(1+x)k>1+kx 当 n=k+1 时,左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx) (1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1) x, ∴当 n=k+1 时,不等式成立 由(1) (2)可知,不等式成立.

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2016 年 8 月 22 日

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