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高中数学必修一人教B版教案3.2.3指数函数与对数函数的关系


指数函数与对数函数的关系

引入

我们现在在同一坐标系下作出 y ? 3x 和y ? log x , y ? log x 的图像,并 观察分析它们之间的关系.
1 2

y ? 2x ,

1 3

y= ( )

1 x 2

Y
5

Y=2x
Y=X ● ●

4
3

2
● ● 1 ● ●



Y=log2x

-1 O -1 ●

● ● 1 2

3

4

5

6

7 X
x

-2

y = log 1

2

从图上可以看出: 点(0,1) 与点 (1,0) 关于直线 y=x 对称, 1 1 点 (?1, 2 )与点 ( 2 ,?1) 关于直线y=x对称. x y ? a 上的点p(a,b)与 y ? log a x 则 上的点Q(b,a)关于直线y=x对称.

对称性:
(1) y ? a 与y ? log a x的图象关于
x

y ? x成轴对称 1 x x (2) y ? a 与y ? ( ) 的图象关于 a y轴成轴对称
(3) y ? log a x与y ? log 1 x的图象关于
a

x轴成轴对称

探究:这种关系是否具有一般性?

二、新课讲授 问题:指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 与
x

对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 有何内在联系?

y?a

x

互化

x ? loga y

x、y互换

y ? loga x

对应法则互逆

y?a

x

互化

x ? loga y

x、y互换

y ? loga x

问题1:第一步变换有没有引起图像变化?为 什么? 问题2:第二步变换有没有引起图像变化?为 什么? 强调:指数式与对数式互化图像不变,x,y 互换引起图像关于直线y=x对称 结 指数函数与对数函数之间的这种关系并不是

论 它们所特有的,有大量的函数之间具有这种
? 关系。我们称它们互为反函数。

三、明确定义: 反函数的定义:当一个函数是一一映射 时,可以把这个函数的因变量作为一个 新的函数的自变量,而把这个函数的自 变量作为新的函数的因变量,我们称这 两个函数互为反函数。 记:y= f 函数y=f(x)(x∈A)的反函数.
-1

(x)

注意:y=f-1(x) 读作:“f逆x”
表示反函数,不是 -1 次幂(倒数) 的意思

f [ f ( x )] ? x

?1

f [ f ( x )] ? x

?1

概念深化: (1) 反函数的定义域与值域正好是原来函数的值
x y ? ( x ? Z ) 不是函数 y ? 2 x 的反 域与定义域。如: 2

函数,因为前者的值域显然不是后者的定义域。 (2) 对任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数; 只有当确定一个函数的映射是一一映射时,这个 函数才存在反函数。如果有反函数,那么原来函 数也是反函数的反函数,即他们互为反函数

(3) 反函数也是函数,因为他们符合函数的定义。

问题3:如何求函数的反函数? 求反函数的方法步骤:
1)求出原函数的值域;即求出反函数的定义域;

2)由 y = f ( x ) 反解出 x = f -1 ( y );即把 x 用 y 表 示出来;
3)将 x = f -1 ( y ) 改写成 y = f -1 ( x ),并写出反函 数的定义域;即对调 x = f -1 ( y ) 中的 x、y.

四、巩固训练,加深概念:

[例1] 求下列函数的反函数:

(1) y ? 3

x

首先,将y = ?(x)看作方程, 解出x= ? -1(y) (y∈C); 其次,将x,y互换,得 到y= ? -1(x) (x∈C) . 最后,指出反函数的 定义域

(2) y ? log6 x

结论? 同底的指数函数与对数函数互为反函数

[例2]函数y=3x的图象与函数y=log3x的

图象关于 A. y轴对称

(D) B. x轴对称

C. 原点对称
结论?

D. 直线y=x对称

函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y=f
-1

( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。

探究:如何证明一个函数的图象本身关于直线y=x对称?

[例3] 已知函数 f ( x) ? log2 (1 ? 2. )
x



求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
证明 : (2 )y

? log2 (1 ? 2 ) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2
x x y x

y

? x ? log2 (1 ? 2 y ) ? f ( x)的反函数y ? log2 (1 ? 2 x ).

因f(x)的反函数与原函数相同,故结论成立. 结论? 证明一个函数的图象关于直线y=x对称,
只需说明它的反函数与原函数相同

[例4]函数f(x)=loga (x-1)(a>0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4),求a的值. 解:依题意,得

1 ? loga (4 ?1)

即 : loga 3 ? 1,?a ? 3.
结论? 若函数y=f(x)的图象经过点(a, b),
则其反函数的图象经过点(b, a).

例5:已知函数( f x) ? x 2 ?( 1 x ? ?2) 求出f (4)的值。
?1

解:令 x ? 1 ? 4,解之得:x ? ? 5
2

又? x ? ?2, ? x ? ? 5.

结论? 若函数y=f(x)存在反函数,
且f-1(a)=b,则f(b)=a
互为反函数的两个函数定义域、值域互换。

练习:求下列函数的反函数:

x y

0 0

1 1

2 4

3 9

问题4:练习中函数与函数 x y -3 -2 -1 0 9 4 1 0 1 1 2 4 3 9

比较,有何异同?

结论? 只有一一映射的函数才有反函数

例5:不查表,不使用计算器求值,比较 log23与 21.5的大小。

图象法

练习
1.函数y ? a 与y ? ? log a x(a ? 0, 且a ? 0)
x

在同一坐标系中的图象只 可能是(
y
1


y
1

y
1

y
1

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

A

B

C

D

2.设f ( x) ? 4 ? 2 则f (0) ?
x

x ?1
2

?1

3.已知函数y ? lg( x ? ax ? a) 的值域为R, 求a的取值范围.

4.画出y ? lg | x ?1| 的图象.
5.画出y ?| lg | x || 的图象.
6.画出y ?| lg | x ?1|| 的图象.

五、互为反函数的函数图象增减速度比较:
问题10:两个函数图象 在第一象限增长速度有 何关系?

指数函数y = 2 x , 当x由x1 = 2增加到x 2 = 3时, Δx = 1,Δy = 2 - 2 = 4 对数函数y = log 2 x, 当x由x1 = 2增加到 x 2 = 3时,Δx = 1, 而Δy = log 2 3 - log 2 2 = 0.5850
3 2

归纳小结:

(1)只有一一映射的函数才有反函数.
(2)反函数的定义域和值域分别是 原函数的值域和定义域. (3)原函数与反函数的图象关于

y ? x成轴对称.
(4)原函数与其反函数具有相同的单调性.

布置作业:
1.教材第106页练习A第2题;第107页练习B第1、2题;

2.教材第118页“思考与交流”的第6题


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