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贵州省习水县第一中学2016届高三数学下学期期中试题 理


贵州省习水县第一中学高三年级 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(理科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:150 分钟 分值 150 分_ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 2} ,则 (CR A) ? B ? (
2



A. (1,3)

B. (?1,3)
2 2

C. (3,5)

D. (?1,5) )

2.命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否命题为( A.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0
2 2

B.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0
2 2

C.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0
2 2

D.若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0
2 2

3.欧拉公式 eix ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指 数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数和指数函数的关系, 它在复变函数论里占有非 常重要的地位,被誉为“数学中的天桥” ,根据欧拉公式可知, e 2i 表示的复数在复平面中位 于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 则 f ?f ? D. D.第四象限 )

4.函数 f ( x) ? ? A. ?

?2 x ? 2, x ? 1, ?log 2 ( x ? 1), x ? 1,
C. ?5

? ? 5 ?? ?? ? ( ? ? 2 ??

1 2

B. ?1

1 2


5.等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,且 A.1 B.2 C.2015
? 1 2

S 2016 S 2015 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公差为( 2016 2015

D.2016

6.若 a ? ln 2 , b ? 5

,c ?

1 ? sin xdx ,则 a, b, c 的大小关系( 4 ?0



A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. b ? c ? a 7.2012 年初,甲? 乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业.2015 年初在经济指标对 比时发现, 这两家企业在 2012 年和 2014 年缴纳的地税均相同, 其间每年缴纳的地税按各自

1

的规律增长;企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则 2015 年企业缴纳地税的情 况是 ( ) A.甲多 B.乙多 C.甲乙一样多 D.不能确定 8.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情 况, 四名学生回答如下: 甲说: “我们四人都没考好” ; 乙说: “我们四人中有人考的好” ; 丙说: “乙和丁至少有一人没考好” ; 丁说: “我没考好” . 结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中 两人说对了. ( ) A.甲 丙 B.乙 丁 C.丙 丁 D.乙 丙 ??? ? ??? ? ???? ? 9.已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积 为 ( ) A.

8 5

B.

7 5

C.

6 5

D.

4 5

10.已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? 2 cos ?? x ? ? ? ( 0 ? ? ? ? )的图象关于直线 x ? 1 对称, 则 sin 2? ? ( ) A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

11. 已知函数 g ( x) ? 若

1 3 m 当实数 m 取最大值时, x ? x ? m ? (m ? 0) 是 [1, ??) 上的增函数. 3 x

存在点 Q ,使得过点 Q 的直线与曲线 y ? g ( x ) 围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面 积总相等,则点 Q 的坐标为 ( A. (0, ? 3) B. (0, 3) ) C. (0, ? 2) D. (0, 2)

12 . 已 知 ? ? R , 函 数 f ( x) ? ?

? x ? 1 , x ? 0, g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1 ? 4? , 若 关 于 x 的 方 程 lg x , x ? 0, ?

f ( g ( x)) ? ?
有 6 个解,则 ? 的取值范围为 ( ) A. (0, )

2 3

B. ( , )

1 2 2 3

C. ( ,

2 1 ) 5 2

D. (0,

2 ) 5

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.已知等比数列前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 16 ,则 S 6 ? _______.
2

14.已知 x,y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

? ? 0.95 x ? a ,则 a =_________. 从所得的散点图分析,y 与 x 线性相关,且 y
15.在 ?ABC 中, A ? 30? , 2 AB ? AC ? 3BC ,则 ?ABC 的最大角的余弦值为
2



16 . 定 义 max{a , b} 表 示 实 数 a, b 中 的 较 大 的 数 . 已 知 数 列 {an } 满 足

a1 ? a (a ? 0), a2 ? 1, an ? 2 ?
和为 S n ,则 S 2015 的值为 三、解答题(70 分)

2 max{an ?1 , 2} (n ? N ? ) , 若 a2015 ? 4a , 记数列 {an } 的前 n 项 an


17. (本题 10 分) 已知在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a sin B ? b cos A ? 0 . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 18. (本题 12 分)当前,网购已成为现代大学生的时尚。某大学学生宿舍 4 人参加网购,约 定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物, 掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝 网购物, 掷出点数小于 5 的人去京东商城购物, 且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家 购物. (1)求这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率; (2)用 ? ,? 分别表示这 4 个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记 X ? ?? ,求随机变 量 X 的分布列与数学期望 E ( X ) . 19. (本题 12 分)如图,在四棱锥 ? ? ??CD 中,底面 ??CD 为直角梯形, ?D//?C ,

??DC ? 90? , 平 面 ??D ? 底 面 ??CD , Q 为 ?D 的 中 点 , ? 是 棱 ?C 上 的 点 ,
?? ? ?D ? 2 , ?C ?

1 ?D ? 1 , CD ? 3 . 2

3

(1)求证:平面 ?Q? ? 平面 ??D ; (2)若 ? 为 棱 ?C 的中点,求异面直线 ?? 与 ?? 所成角的余弦值; (3)若二面角 ? ? ?Q ? C 大小为 30? ,求 Q? 的长.

20. (本题 12 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 ,且( ?1 , ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(1,0) a 2 b2

2 )在椭圆 C 上。 2
(1)求椭圆的标准方程; (2)已知动直线 l 过点 F,且与椭圆 C 交于 A、B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q,使得

??? ? ??? ? 7 QA ? QB ? ? 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 16
21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a (a ? 0且a ? 1)
x 2

(1)求函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 单调区间; (3)若存在 x1, x2 ? ? ?1,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ( e 是自然对数的底 数) ,求实数 a 的取值范围. 22. (本题 12 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE 与 AC 交于点 F.

4

(1)判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由. (2)若 AE=6,BE=8,求 EF 的长.

参考答案 1.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知

A ? {x | x ? ?1或x ? 3} , CR A ? {x | ?1 ? x ? 3} ,

B ? {x | 0 ? x ? 1 ? 4} ? {x |1 ? x ? 5} ,所以 (CR A) ? B ? ( x |1 ? x ? 3} ,故选 A.
考点:集合的运算. 2.D 【解析】 试题分析:命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否命题是“若 x ? y ? 0 ,则 x ? 0 或
2 2 2 2

.故选 D. y ?0” 考点:四种命题. 3.B 【解析】 试 题 分 析 : e 2i ? cos 2 ? i sin 2 , 对 应 点 为 (cos 2,sin 2) , 由 于

?
2

? 2?? ,因此

cos 2 ? 0,sin 2 ? 0 ,点 (cos 2,sin 2) 在第二象限,故选 B.
考点:复数的几何意义. 4.A 【解析】 试 题 分 析 :

5 5 3 f ( ) ? log 2 ( ? 1) ? log 2 ? 1 2 2 2







3 log 2 5 3 3 1 f ( f ( )) ? f (log 2 ) ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? .故选 A. 2 2 2 2

考点:分段函数. 5.B 【解析】 试题分析:由 S n ? na1 ?

所以 d ? 2 ,故选 B. 考点:等差数列的前 n 项和公式.

S S n(n ? 1) 2015 2014 d 得 2016 ? 2015 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? d) ?1, 2 2016 2015 2 2

5

6.D 【解析】 试 题 分 析 : c?
1
1 ? ? 1 1 1 5 1 , b?5 2 ? , (? cos x ) ? ? (cos? ? cos 0)? ? 0 4 4 2 5 2

a ? ln 2 ? ln e 2 ?

1 ,所以 a ? c ? b ,故选 D. 2

考点:比较大小,定积分. 7.B 【解析】 试题分析:记甲、乙两企业的每年应缴税收分别构成数列 {an } 、{bn } ,则 {an } 是等差数列,

{bn } 是等比数列, a1 ? b1 ? 0 , a3 ? b3 ? b1 ,不妨设 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b3 ? q 2 (q ? 1) ,则
b4 ? q 3


a4 ? a3 ?

a3 ? a1 3q 2 ? 1 ? 2 2



3q 2 ? 1 2q 3 ? 3q 2 ? 1 (q ? 1) 2 (2q ? 1) b4 ? a4 ? q ? ? ? ? 0 ,所以 b4 ? a4 ,故选 B. 2 2 2
3

考点:数列的应用. 8.D 【解析】 试题分析:如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错,乙对,如果丙错,则丁错,因 此只能是丙对,丁错,故选 D. 考点:合情推理. 9.C 【解析】 试题分析: 由题设得:3OA ? 4OB ? ?5OC ,9 ? 24OA ? OB ? 16 ? 25 , 所以 OA ? OC ? 0 ,

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

??? ? ????

?AOB ? 90? , 所 以 S ??AB ?
S ?ABC ? S ?OBC ? S ?AOC ? S ?ABO

1 1 2 3 ,所以 OA OB ? , 同 理 S ?OAC ? , S ?OBC ? 2 2 5 10 6 ? .故选 C. 5

考点:向量的数量积,三角形的面积. 10.A 【解析】 试题分析:由题意 sin(? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) ? 5 , sin ? ? 2 cos ? ? 5 ,

sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? 4 cos 2 ? ? 5 , 所 以 4sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 0 , 所 以
2sin ? ? cos ? ? 0 ,

6

cos ? ? ?2sin ? , sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
故选 A. 考点:三角函数的对称轴. 11.C 【解析】 试题分析: g '( x) ? x 2 ? 1 ?

2sin ? cos ? 2sin ? ? (?2sin ? ) 4 ? ?? , 2 2 2 2 sin ? ? cos ? sin ? ? (?2sin ? ) 5

m m ,由题意 x ? 1 时, g '( x ) ? x 2 ? 1 ? 2 ? 0 恒成立,所以 2 x x

m ? x 2 ( x 2 ? 1) ,而当 x ? 1 时, x 2 ( x 2 ? 1) ? 1? (1 ? 1) ? 2 ,所以 m ? 2 ,即 m 的最大值为
2.此时 g ( x) ?

1 3 2 1 2 x ? x ? 2 ? ,由于函数 h( x) ? g ( x) ? 2 ? x 3 ? x ? 是奇函数,关于 3 x 3 x

点 (0, 0) 对称,所以函数 g ( x) 的图象关于点 (0, ?2) 对称,所以点 Q 的坐标为 (0, ?2) . 考点:函数的单调性,函数图象的对称性. 【名师点晴】函数的单调性一般都是与导数联系在一起, g ( x) 在 [1, ??) 上递增,等价于

g '( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,由此可求得 m 的取值范围,从而求得最大值,过点 Q 的直
线与曲线 y ? g ( x ) 围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面积总相等,由这里的任意性, 只有一点符合要求,这点就是函数图象的对称中心,观察函数的表达式,本题通过构造奇函 数以及图象平移可求得对称中心. 12.D 【解析】 试题分析:函数 f ( x) 在 (??, ?1] 上递减,在 [?1, 0) 和 (0, ??) 上递增, f ( x) 的图象如图所 示,由于方程 g ( x) ? m 最多只有两解,因此由题意 f (n) ? ? 有三解,所以 0 ? ? ? 1 且三 解 n1 , n2 , n3 满 足 n1 ? ?1 , ?1 ? n2 ? 0 , n3 ? 1 , n1 ? ?1 ? ? , 所 以

g ( x) ? x2 ? 4 x ? 1? 4? ? ? 1? ? 有两解,( x ? 2) 2 ? ?5? ? 2 ? 0 ,? ?
故选 D.

2 2 , 所以 0 ? ? ? , 5 5

7

y

° 1 -1 O 1 x

考点:函数的零点,方程 根的分布. 【名师点晴】本题考查方程根的分布,难度很大.它是一个与复合函数有关的问题,解题方 法与我们常规方法不一样, 常规方法是求 出函数 f ( g ( x)) 的表达式, 解方程 f ( g ( x)) ? ? 或 作出函数 f ( g ( x)) 的图象,由数形结合方法得出结论,但本题 f ( g ( x)) 的表达式很复杂, 由于含有参数, 几乎不能求出正确结果, 因此我们从复合函数的角度来考虑, 以简化方法. 方 程 f ( g ( x)) ? ? 可以这样解,求出方程 f ( x) ? ? 的解为 x0 ,再解方程 g ( x) ? x0 即得,这样 得到题中解法. 13 . 52 【解析】 试 题 分 析 : 由 等 比 数 列 前 n 项 和 的 性 质 知 S 2,S 4 -S 2,S6 -S 4, ? 也成等比数列,所以

4, 12,S6 -16 成等比数列,故 4 ? S6 -16 ? =122 =144 ,解得 S6 =52 .
考点:等比数列前 n 项和公式. 14. 2.6 【解析】

? ? 0.95 x ? a 可 试题分析: 散点图经过的中心点坐标为 x, y = ? 2, 4.5 ? , 代入回归直线方程 y
得 a ? 2.6. 考点:散点图与回归直线分析. 【易错点晴】本题考查了散点图与回归分析,这类问题解得的一半思路是先画出散点图,看 变量之间是否具备线性相关关系,若具备线性相关关系,再求回归 直线方程,对于回归直 线应用的易错点是代入其中某一数据对 ? xi , yi ?? i ? 1, 2,3? , n ? ,事实上,回归直线可能不 经过任何一对观测值, 但一定经过中心点 x, y , 所以应当把中心点的坐标代入给出的方程, 从而求得 a . 15. ?

? ?

? ?

1 2

【解析】

8

试 题 分 析 : 由 已 知 2cb cos A ? 3a 2 , 即 bc ? 3a

2

, 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 3bc ,即

3 bc ? b 2 ? c 2 ? 3bc ,解得 b ? 3c 或 3

b?

3 3 若 b ? 3c , 则a ? c , 所以 B ? 120? , 若b ? 则b ? a , 所以 C ? 120? , c, c, 3 3
1 . 2

因此最大角余弦值为 ?

考点:数量积,余弦定理. 【名师点晴】本题考查解三角形的知识,题中向量数量积是一个载体,我们只要根据数量积 的定义把它转化三角形中的边角关系 2cb cos A ? 3a 2 ,由已知 A ,应用余弦定理又得一个 关系式,一般情况下两者联立可得三角形的三边的比例,再结合余弦定理可得最大角,本题 中得出 ?ABC 是等腰三角形,不需用余弦定理,就可得最大角为顶角 120? . 16.7254 【解析】

4 ,当 a ? 2 时, a4 ? 4 , a5 ? 2a , a6 ? a , a7 ? 1 ,因此 {an } 是 a 8 周期数列,周期为 5,所以 a2015 ? a5 ? 2a ? 4a ,不合题意,当 a ? 2 时,a4 ? ,a5 ? 4 , a
试题分析:由题意 a3 ?

a6 ? a , a7 ? 1 ,同理 {an } 是周期数列,周期为 5,所以 a2015 ? a5 ? 4 ? 4a , a ? 1 , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 18 , S 2015 ? 403 ?18 ? 7254 .
考点:周期数列. 【名师点晴】本题考查新定义问题,考查周期数列的知识,解决此类问题常采取从特殊到一 般的方法,可先按新定义求出数列的前几项(象本题由 a1 , a2 依次求出 a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ) ,从 中发现周期性的规律,本题求解中还要注意由新定义要对参数 a 进行分类讨论.解决新定义 问题考查的学生的阅读理解能力,转化与化归的数学思想,即把新定义的“知识” 、 “运算” 等用我们已学过的知识表示出来,用已学过的方法解决新的问题. 17. (1) A ?

3? ; (2) S ? 2 . 4

【解析】 试题分析: ( 1 ) 根 据 正 弦 定 理 , a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , 代 入 原 式 , 整 理 为

sin A ? cos A ? 0 ,再公共辅助角公式化简,根据 A ? (0, ? ) ,计算角 A ;
(2)因为知道 a, b, A 代入余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ,得到 c ,最后代入面积公

1 bc sin A ,计算面积. 2 试题解析: (1)在△ ABC 中,由正弦定理得 sin A sin B ? sin B cos A ? 0 ,
式S ?
9

即 sin B (sin A ? cos A) ? 0 ,又角 B 为三角形内角, sin B ? 0 所以 sin A ? cos A ? 0 ,即 2 sin( A ? 又因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

?
4

)?0,

3? . 4

(2)在△ ABC 中,由余弦定理得:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ,则 20 ? 4 ? c 2 ? 4c ? (?
2

2 ) 2

即 c ? 2 2c ? 16 ? 0 ,解得 c ? ?4 2 或c ? 2 2 , (舍) 又S ?

1 2 1 ? 2. bc sin A ,所以 S ? ? 2 ? 2 2 ? 2 2 2
2 ;(2)详见解析. 3 1 ,去京东商城购物的概率为 3

考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.面积公式. 18. (1) P ? 【解析】 试题分析: (1) 这 4 个人中,每个人去淘宝网购物的概率为

2 1 ? 1 ?? 2 ? ,所以恰有一人去淘宝网购物即 C 4 ? ?? ? ; 3 ? 3 ?? 3 ?
(2)首先分析 ?

3

?? ? 0 ?? ? 1 ?? ? 2 ?? ? 3 ?? ? 4 3, 4, ,? ,? 或? ,? 所以分 X ? 0, ,分别对 ?? ? 4 ?? ? 3 ?? ? 2 ?? ? 1 ?? ? 0
1 2 , 去京东商城购物的概率为 --2 3 3

应事件计算其概率,列出分布列,计算期望. 试题解析: (1) 这 4 个人中, 每个人去淘宝网购物的概率为 分 设“这 4 个人中恰有 i 人去淘宝网购物”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3, 4) ,
i 则 P ( Ai ) ? C4 ( )i ( ) 4?i (i ? 0,1, 2,3, 4) . 1 这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率 P ( A1 ) ? C4 ( )1 ( )3 ?

1 3

2 3

1 3

2 3

32 81

(2)易知 X 的所有可能取值为 0,3, 4 .

16 1 17 0 1 0 2 4 4 1 4 2 0 P( X ? 0) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? ? ? , 3 3 3 3 81 81 81 1 2 1 2 32 8 40 1 3 , P( X ? 3) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? C4 ( )1 ( )3 ? C4 ( )3 ( )1 ? ? ? 3 3 3 3 81 81 81

10

24 2 1 2 2 2 . P( X ? 4) ? P ( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 81 所以 X 的分布列是 3 4 X 0 17 40 24 P 81 81 81
随机变量 ξ 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

17 40 24 8 ? 3? ? 4 ? ? . 81 81 81 3

考点:离散型随机变量的分布列和数学期望 19. (1)详见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)根据面面垂直的性质定理得到 CD ? 平面 PAD ,又因为 BQ // CD ,所以

39 2 (3) . 7; 4 7

BQ ? 平面 PAD ,而 BQ ? 平面 PBQ ,所以面面垂直;
(2)根据图像以 Q 为原点建立空间直角坐标系, QA, QB, QP 分别为 x, y, z 轴,将异面直 线所成角转化为 cos ? ? cos ? AP, BM ? ; (3)根据点 C,M,P 三点共线,设 QM 的坐标,然后求两个平面的法向量,解得 ? ,最后 代入模 QM 的公式. 试题解析: (1)证明:∵AD ∥ BC, BC ?
1 AD ,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD∥ BQ. ∵∠ADC ? 90? , ∴∠AQB ? 90? ,即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. (2)解:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图 2 ,以 Q 为原点建立空间直角坐标系,则 Q(0,0,0) , A(1,0,0) , P(0,0, 3) ,

? 1 3 3? B(0, 3,0) , C (?1, 3,0) ,∵M 是 PC 的中点,∴ M ? ? ? 2, 2 , 2 ? ?, ? ?

11

??? ? ???? ? ? 1 3 3? , ? ∴ AP ? (?1,0, 3),BM ? ? ? ? ,? ?. 2 2 ? ? 2
设异面直线 AP 与 BM 所成角为 ? , ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? AP?BM 2 ? ???? ? = 则 cos ? ? | cos? AP,BM ? |? ??? 7 | AP || BM | 7
2 7. 7 ? (3)解:由(Ⅱ)知平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0, 1) ,

∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为

???? ? ??? ? ???? 由 C 、 M 、 P 三 点 共 线 得 QM ? ? QP ? (1 ? ? )QC , 且 0 ≤ ? ≤ 1 , ???? ? QM ? (? ? 1, 3(1 ? ? ), 3? ) , ??? ? ?? 又 QB ? (0, 3,0) ,设平面 MBQ 法向量为 m ? ? x,y,z ? ,

从而有

?? ???? ? ?? ??? ? ?? ? 1? ? ? 由 m ? QM ? 0及m ? QB ? 0 可取 m ? ? 3,0, . ? ? ? ? ? ?? n?m 3 1 ∵二面角 M? BQ? C 为 30°,∴ cos30? ? ? ?? ? ,∴ ? ? ,∴ | QM |? 2 4 | n || m |
考点:1.面面垂直的判定;2.空间向量与立体几何.

39 . 4

5 ??? ? ??? ? x2 7 2 ? y ? 1 ;(2) 在 x 轴上存在点 Q( 4 ,0)使得 QA ? QB ? ? 恒成立. 20. (1) 2 16
【解析】 试题分析: (1)根据椭圆的定义椭圆上的点到两焦点的距离和等于 2a ,计算 a 2 ,再根据

b 2 ? a 2 ? c 2 ,计算椭圆的标准方程;
(2)假设在 x 轴上存在点 Q?m,0 ? ,使 QA ? QB ? ?

??? ? ??? ?

7 恒成立,那么分直线 l 的斜率存在和 16

不存在两种情况证明,当不存在时,会得到两点 A, B 的坐标,计算出 m 的值,当直线的斜 率存在且为 0 时,将 m 代入数量积的坐标表示成立,当斜率存在且不为 0 时,设直线方程
12

与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,同样将 m 代入向量的数量积的坐标表示,成 立即 存在. 试题解析: 解: (1) 由题意知 c=1. 由椭圆定义得 2a ? --3 分 ∴ b 2 ? 2 ? 1 ? 1 ,? 椭圆 C 方程为

(?1 ? 1) 2 ? (

2 2 2 , 即a ? 2 ) ? 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 2
??? ? ??? ? 7 恒成立。 16

(2)假设在 x 轴上存在点 Q( m,0) ,使得 QA ? QB ? ?

2 2 5 2 5 2 ? 1? , 1? , ? 4 2 ) 4 2 ) 当直线 l 的斜率不存在时,A(1, 2 ) ,B(1, 2 ) ,由于( · (
7 5 m? 4, = 16 ,所以 ?
下面证明 m ?

??? ? ??? ? 5 7 时, QA ? QB ? ? 恒成立。 (直线方程其它设法通过验证也相应给分) 4 16

当直线 l 的斜率为 0 时,A( 2 ,0)B( ? 2 ,0)

2?
则(

5 5 7 ? 2? ? 4 ,0) ? ( 4 ,0)= 16 ,符合题意。

当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x=ty+1,A

? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,

x2 ? y2 ? 1 由 x=ty+1 及 2 得

(t ? 2) y ? 2ty ? 1 ? 0 有 ? ? 0 ∴
2 2

y1 ? y2 ? ?

2t 1 , y1 y2 ? ? 2 t ?2 t ?2;
2

? x1 ? ty1 ? 1 , x2 ? ty2 ? 1
∴ ( x1 ?
2

5 5 1 1 1 1 , y1 ) ? ( x2 ? , y2 ) ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? y1 y2 = (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? = 4 4 4 4 4 16

1 1 2t 1 ?2t 2 ? 2 ? t 2 1 7 ?(t ? 1) 2 ? t? 2 ? ? ? ?? , 2 t ? 2 4 t ? 2 16 2(t ? 2) 16 16
综上所述:在 x 轴上存在点 Q(

??? ? ??? ? 5 7 ,0)使得 QA ? QB ? ? 恒成立。 4 16
1 (3) a ? (0, ] ? [e, +?) . ? ??, 0 ? ; e
13

考点:直线与椭圆的位置关系的应用 21. (1) y ? 1 ; (2)单调增区间为 (0, +?) ,递减区间为

【解析】 试题分析: (1)先求 f ?? x ? ,再计算 f ??0 ? ,和 f ?0 ? ,最后代入切线方程; (2)先求函数的导数 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a ,并且 f ??0 ? ? 0 ,判断零 点两侧的正负,得到单调区间; (3)将存在性问题转化为 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? max ? e ? 1 ,即 f ( x) max ? f ( x) min ≥ e ? 1 ,根据上 一 问 的 单 调 性 得 到 最 小 值 f ?0 ? , 再 计 算 端 点 值 f ?? 1? 和 f ?1? 比 较 大 小 . 因 为

1 1 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? ? 2ln a , 再 令 a a 1 g ( a) ? a ? ? 2 ln a (a ? 0) ,求其导数,分情况比较大小,计算 a 的取值范围. a
试题解析:⑴因为函数 f ( x) ? a x + x 2 ? x ln a (a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a , f ?(0) ? 0 , 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) ,递减区间为



? ??, 0 ?

⑶因为 存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min , 所以只要 f ( x) max ? f ( x) min ≥ e ? 1 即可. 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x

(??,0)

0 0
极小值

(0, +?)

f ?( x)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1 ,

14

f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a ) ? a ? ? 2ln a (a ? 0) ,因为 g ?(a ) ? 1 + 2 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a ) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0,1?、 +? ? 上是增函数. ?1, a
因为 f (1) ? f (?1) ? ( a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) . 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上 是增函数,解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即

1 a

1 ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 a

1 1 ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] ? [e, +?) . e y?
考点:导数的综合应用 22. (1)详见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1) BE 平分 ?ABC ,由已知中边的相等,得到 ?CAD ? ?D ,再利用同弧所 对的圆周角相等,可得 ?CAD ? ?D ? ?DBE ,即有 ?ABE ? ?EBD ? ?CAD ? ?D , 利用等量减等量相等,可得 ?EBD

9 . 2

? ?D ? ?ABE

,故得证;

( 2 )有( 1 )中的所证条件, ?ABE ? ?FAE ,再加上两个三角形的公共角,可证 ?BEA ~ ?AEF ,再利用比例线段求 EF 。 试题解析:解:⑴BE 平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB= ∠D+∠CAD, ∴∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC (2)由(1)知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.? ∴ EF ?

AE EF ? BE AE

∵AE=6, BE=8.

AE 2 36 9 ? ? BE 8 2

考点:1.圆周角定理;2.三角形相似;3.角平分线定理.

15


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