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山东省济南市2013届高三5月针对训练 文科数学


启用前绝密

高三针对训练

文 科 数 学
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分钟,满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和 试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能 写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的. 1.在复平面内,复数 z ? A.第一象限

1? i 的共轭复数 z 对应的点位于 3 ? 4i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?? 1,0,1? , B ? x | x ? 2 x ? 0 ,则图中的阴影部分表示的集合为

?

?

A. ?? 1? 3.函数 f ( x) ? x ? lg

B. ?2?

C. ? ,2? 1

D. ?0,2?

1 ? 2 的零点所在区间为 x
(第 2 题图)

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 4.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 7 ,则△ ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.4 B. 4 ?

?
2

C. 8 ? ?

D. 2 ?

?
4

6.在边长为 a 的正方形内随机取一个点,则此点落在该正方形的内切圆内部 的概率为 A.

?
4

B.

?
6

C.

2

?

D.

3

?

(第 5 题图)

x3 ? 3 7.函数 f ? x ? ? 的图象大致是 ex

A.

B.

C.

D.

8.将参加公务员上岗前培训的 600 名学员编号为:001,002,?,600,采用系统抽样方法抽取一个容量 为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学员分住在三个校区,从 001 到 300 在第Ⅰ校区,从 301 到 495 住在第Ⅱ校区,从 496 到 600 在第 III 校区,三个校区被抽中的人数依次为 A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 9.命题 p : ? ? ? R , cos(? ? ? ) ? cos? A. p 是假命题 B. ?q 是真命题 ;命题 q : ?m ? 0, m ?

1 ? 2 . 则下面结论正确的是 m
D. p ? q 是真命题

C. p ? q 是假命题

? x?0 ? 10.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当实数 a 从-2 连续变化到 0 时,动直线 x ? y ? a 扫 ?y ? x ? 2 ?
过 A 中部分的区域面积为 A.

3 4

B.

1 2

C. 2

D. 1

x2 y 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交点为 a b P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的离心率为
A. 2 B. 2 2 C.

5 ?1 2
?

D. 6

12. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 60 . 如图所示, C 在以 O 为圆心的圆弧 点 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? 2 y 的最大值是

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

A.2

B.

2 3 3

C. 3

D.1

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.

共 90 分)
. . .

13.等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 60 , 则 S15 的值为 14.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心, 则 a 的值为 15.如图所示程序框图若输入 x 的值为 2013,则输出 s 的结果为

1 1 16.给出定义:若 x ? (m ? , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密的整 2 2
数”, 记作 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:① 函 数 y ? f ( x) 在 x ? (0,1) 上 是 增 函 数 ;② 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 函
(第 15 题图)

x?

k (k ? Z ) 对 称 ;③ 数 y ? f ( x) 是 周 期 函 数 , 最 小 正 周 期 为 1;④ x ? (0, 2] 时 , 函 数 函 当 2

g ( x)? f ( x? )

l nx 有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.

三、计算题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求 g ( x) ? f ( x) ? sin 2 x 的单调递增区间.

18. (本小题满分 12 分) 今年 10 月在济南举办第十届中国艺术节, 届时有很多国际友人参加活动. 现有 8 名“十艺节”志愿者, 其中志愿者 A,A2,A3 通晓英语, B1,B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语. 从中选出通晓英语、俄语 1 和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A 被选中的概率; 1 (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

19.(本小题满分 12 分) ? 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAC ? 平 面 A B C D 且 P A , PA ? AD ? 2 AB ? 2 BC . BC // AD , AB ? AD . P (1)若点 E 为 PD 的中点,求证: CE // 平面 PAB. (2)在平面 PAC 内, AF ? PC . 求证: AF ? 平面 PCD F E

A , C

A B 20.(本小题满分 12 分) C (第 19 题图)

D

某高校有奖励基金本金 1000 万元,此基金每年购买银行的两种风险和收益不同的理财产品 A 和 B, 把每年产生的收益用来奖励品学兼优的大学生,本金继续购买这两种理财产品.第一年购买理财产品 A 和 B 各 500 万元,为了规避风险以后规定:上一年购买产品 A 的本金,下一年会有 20%购买产品 B,而 上一年购买产品 B 的本金,下一年会有 30%购买产品 A.用 an , bn (n ? N ? ) 分别表示在第 n 年购买理财 产品 A 和 B 的本金数(单位:万元). (1)分别求出 a2 , b2 , a3 ; (2)① 证明数列 ?an ? 600 是等比数列,并求 an ; ? ② 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ln x ? b ? a, b ? R ? 的图象过点 (1,0) ,且在此点处的切线斜率为1 . (1)求 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若 g ? x ? ?

1 2 3 x ? mx ? , ?x0 ? ? 0, ??? 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 m 的取值范围. 2 2

22.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1, B2 是一个边长为 2 且 a 2 b2

∠1B1F2 为 60 的菱形的四个顶点. F (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过右焦点 F2 斜率为 k( k ? 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, 为椭圆的右顶点, A 直线 AE ,

AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的斜率为 k ? .求证: k ? k ? 为定值.

高三针对训练

文科数学参考答案及评分标准
一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 1 8 7.C 8.B 9.D 10.D 11.A 12. A

二、填空题 13.180 14.1 15. 16. ② ④ ③

三、解答题 2π 17. 解:(1)由图知,A=1,T=π,所以 =π, ω 解得 ω=2. ----------------------------------------3 分 π π 又因为函数 f(x)过?12,1?代入得 sin?2× +φ?=1, ? ? ? 12 ? π π 所以 +φ=2kπ+ (k∈Z). 6 2 π 又因为 0<φ<π,所以 φ= . ----------------------------------------5 分 3 π 所以 f(x)=sin?2x+3?. ----------------------------------------6 分 ? ? π (2) g(x)=f(x)+sin2x=sin?2x+3?+sin2x ? ? 1 3 3 3 = sin2x+ cos2x+sin2x= sin2x+ cos2x 2 2 2 2 π 3 1 = 3? sin2x+ cos2x?= 3sin?2x+6?.--------------------------------9 分 ? ? 2 ?2 ? π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, --------------------------------10 分 2 6 2 π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6 π π 所以 g(x)的单调递增区间为?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). --------------------12 分 ? ? 18. 解:(1)从 8 人中选出英语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2, B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3, B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)} ,共 18 个基本事件. 由于每一个基 本 事 件 被 抽 取 的 机 会 均 等 , 因 此 这 些 基 本 事 件 的 发 生 是 等 可 能 的 . ----------------------------------------4 分 用 M 表示事件“A1 恰被选中”,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2), (A1,B3,C1),(A1,B3,C2)} ,共有 6 个基本事件. 6 1 因此 P(M)= = . ----------------------------------------6 分 18 3 (2)用 N 表示事件“B1,C1 不全被选中”,则其对立事件 N 表示事件“B1,C1 全被选中”,由于 N = {(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 包含 3 个基本事件, 9 分

所以 P( N )=

3 1 = , 18 6 ----------------12 分

1 5 由对立事件的概率公式得 P(N)=1-P( N )=1- = . 6 6 19. 证明:(1)取 PA 的中点为 G,连接 BG、EG,则 EG //
?

1 AD , ------------1 分 2
-------------2 分

1 又 BC // AD ,所以 EG // BC ,四边形 BGEC 为平行四边形. ? ? 2
所以 EC//BG. 又 EC?平面 PAB, BG?平面 PAB, 故 EC//平面 PAB.

----------------------------------------3 分

----------------------------------------5 分 -----------------------8

(2)因为 AB⊥AD,BC//AD,AB=BC,AD=2BC,易证得 CD⊥AC. 分 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD, 因为 PA∩AC=A,所以 CD⊥平面 PAC. ----10 分

而 AF?平面 PAC,所以 CD⊥AF.又已知 AF⊥PC 又因为 CD∩PC=C,所以 AF⊥平面 PCD. 12 分 20. 解:(1)由已知 an+bn=1 000,又 a1=500,b1=500, ∴ 2=0.8a1+0.3b1=550, a ∴ 2=450, b ∴3 a = 0.8a2 + 0.3b2 = 440 + 135 = 575. --------------2 分

-----------------------------------4 分 (2)① 由题意得 an+1=0.8an+0.3bn, ∴ n+1=0.8an+0.3(1000-an)=0.5an+300, ------------------------------5 分 a 1 ∴ n+1-600= (an-600), a ----------------------------------------6 分 2 1 ∴ 数列{an-600}是首项为-100,公比为 的等比数列, --------------------7 分 2 ?1 - ?1 - ∴ n-600=-100× 2?n 1,得 an=600-100× 2?n 1. a ----------------------8 分 ? ? ? ? ② 由① 知,an+bn=1 000 所以 bn=400+100×( )

1 2

n ?1

----------------------------------------10 分

1 n-1 1 前 n 项和 Tn=b1+b2+?+bn=400n+100?1+2+?+?2? ? ? ?

?

?
-----------12 分

1 100?1-2n? ? ? 25 1 =400n+ =400n+200-200× n.∴ n=400n+200- n ? 3 . T 1 2 2 1- 2 21.解:(1)∵ f′(x)=alnx+a, ∴ f′(1)=aln1+a=a=1.

----------------------2 分

∵ f(1)=0, ∴ b=0, ∴ f(x)=xlnx. -----------------------------------4 分 1 由 f′(x)=lnx+1<0,得 0<x< . e 1 ∴ f(x)的单调递减区间是(0, ). ----------------------------------------6 分 e

1 3 1 3 (2)∵ xlnx≥ x2-mx+ (x>0),∴ m≥ x-lnx+ . 2 2 2 2x 1 3 设 h(x)= x-lnx+ (x>0), 2 2x 2 1 1 3 x -2x-3 (x-3)(x+1) 则 h′(x)= - - 2= = . 2 x 2x 2x2 2x2 ∵ x∈(0,3)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减; 当 当 x∈(3,+∞)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增. ∴ min(x)=h(3)=2-ln3, h ∴ m≥2-ln3.

-------------------------7 分

------------------------9 分

-------------------------11 分

----------------------------------------12 分 ----------------------------------------13 分

22.解:(1)由条件知 a=2,b= 3, --------------------------------------2 分 2 2 x y 故所求椭圆方程为 + =1. ----------------------------------------4 分 4 3 (2)设过点 P(1,0)的直线 l 方程为:y=k(x-1),设点 E(x1,y1),点 F(x2,y2), 将直线 l 方程 y=k(x-1)代入椭圆 C: (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, x2 y2 + =1,整理得: 4 3 5分

----------------------------------------6 分

因为点 P 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,Δ>0 恒成立, 4k2-12 8k2 且 x1+x2= 2 , x1x2= 2 .---------------------------------------7 分 4k +3 4k +3 y1 y2 直线 AE 的方程为:y= (x-2),直线 AF 的方程为:y= (x-2), x1-2 x2-2 y1 y2 1 y1 y2 令 x=3,得点 M(3, ),N(3, ),所以点 P 的坐标(3, ( + )). 2 x1-2 x2-2 x1-2 x2-2 ----9 分 1 y1 y2 ( + )-0 2 x1-2 x2-2 1 y1 y2 / 直线 PF2 的斜率为 k = = ( + ) 4 x1-2 x2-2 3-1 1 y2x1+x2y1-2(y1+y2) 1 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k = · = · . ------------------ 11 分 4 x1x2-2(x1+x2)+4 4 x1x2-2(x1+x2)+4 2 4k -12 8k2 将 x1+x2= 2 , x1x2= 2 代入上式得: 4k +3 4k +3 2 4k -12 8k2 2· 2 -3k· 2 +4k 4k +3 1 4k +3 3 k/= · =- . 2 2 4 4k 4k -12 8k -2· 2 4k2+3 4k +3 3 所以 k· k′为定值- . -----------------------------13 分 4


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