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高二数学测试题含答案


高二数学测试题
2014-3-9 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,只有一项是符合题目要求的.) 1.命题 “若△ ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A.若△ ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ ABC 有两个内角相等,则它是

等腰三角形 D.若△ ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形 2. “ 三 角 函 数 是 周 期 函 数 , y ? tan x , x ? ? ? , ? 是 三 角 函 数 , 所 以 y ? tan x ,

? π π? ? 2 2?

? π π? .在以上演绎推理中,下列说法正确的是( x ? ? ? , ? 是周期函数” ? 2 2?
(A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 3.以下有四种说法,其中正确说法的个数为: ( ) (1) “m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件;
2 2 (2) “ a ? b ”是“ a ? b ”的充要条件;



(D)推理形式不正确

(3) “ x ? 3 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件; ? ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件. (4) “A B B A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
2

4 .已知动点 P(x,y)满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ,则动点 P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左支 C. 双曲线右支 ) D. 一条射线

5.用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( A. C.

? ?

c

a b

f ( x)dx
c b

B. |

?

c

a c

f ( x)dx |
b a

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx D. ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
b

x2 y2 ? ? 1,若其长轴在 y 轴上.焦距为 4 ,则 m 等于 10 ? m m ? 2 A. 4 . B. 5 . C. 7 . D. 8 . x 7.已知斜率为 1 的直线与曲线 y ? 相切于点 p ,则点 p 的坐标是( x ?1 ? 1? ( A ) ? ?2, 2 ? (B) ? 0, 0 ? (C) ? 0, 0 ? 或 ? ?2, 2 ? (D) ?1, ? ? 2?
6 . 已知椭圆
2 2



8.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的 方程是 A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2

( B. y ? 3x
2



1

C. y 2 ? ?9 x 或 y ? 3x 2

D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x

9.设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f '( x) 的图象画在同一个直角 坐标系中,不可能正确的是 ( )

A .
2

B

C

D

10.试在抛物线 y ? ?4 x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之和最小, 则该点坐标为 (A)? ? ( (B)? ,1? )

? 1 ? ,1? ? 4 ?

?1 ? ?4 ?

(C) ? 2,?2 2

?

?

(D) ? 2,2 2

?

?

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 a2 b2 于 A 、 B 两 点 , 若 △ ABF2 为 正 三 角 形 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e 为 ( ) 2 3 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3
11.已知点 F1、F2 分别是椭圆 12.已知 ? , ? 是三次函数 f ( x) ? 则

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx 的两个极值点,? ? (0,1), ? ? (1,2) , 3 2

b?2 的取值范围是( a ?1
A



1 ( ,1) 4

B

1 ( ,1) 2

C

1 1 (? , ) 2 4

D

1 1 (? , ) 2 2

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 用数学归纳法证明:

(n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ?1? 3 ??? (2n ? 1) 时,
从“ k 到 k ? 1 ”左边需增加的代数式是______________________

14.已知 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值范围为

2

15. 与 双 曲 线 为 .

x2 y 2 ? ? 1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 (?3, 2 3) 的 双 曲 线 的 方 程 9 16
xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ( x ? 0) ,则不等式 x2

16、 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,

f ( x ) ? 0 的解集是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分) 给定两个命题:

p :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立;

q :关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;
如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18. 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数 , 其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
3

x ? 18 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 12 .
(1)求 a , b , c 的值; (2)设 g ( x ) ?

f ( x) ,当 x ? 0 时,求 g ( x ) 的最小值. x2

19. ( 本小题满分 14 分 ) 在数列 ?an ? 中, a1 ?

a ? a2 ? a3 ? 1 ,且 1 n 3

? an

? (2n ? 1)an

(n ? N* ) .
(1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想 ?an ? 的通项公式,并加以证明.

3

20.(本小题 12 分)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM ? BB1 交

AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N .
(1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理:

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE .拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三
棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.

21. (本题满分 12 分) 如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C: 顶点, 已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为两个 a2 b2

2 22. 已知函数 f ( x) ? x ? ? a(2 ? ln x), (a ? 0) 。 x

(1)讨论 f ( x) 的单调性. (2)若 f ( x ) 在区间(1,2)上单调递减,求实数 a 的取值范围。

4

高二数学测试题答案
2014-3-9 CBACD DCDDA DA 13. 2(2k+1) 14. a ? ?3或a ? 6 15.
4x 2 y 2 ? ?1 9 4

16. ( ?1,0) ? (1,??) 可得 f '( x ) ?

f ( x ) ? f (1) f ( x ) ,又 f (1) ? 0 , xf ( x ) ? ( x ? 1) f ( x ) ,∴ f ( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, ? x ?1 x
同理得 f ( x ) ? 0 .又 f ( x) 是奇函数,画出它的图象得 f ( x ) ? 0 ? x ? ( ?1,0) 17 解:对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立
?a ? 0 ? a ? 0或? ? 0 ? a ? 4 ;………………………………………………3 分 ?? ? 0

f ( x) ,由导数的定义得,当 0 ? x ? 1 时, x

(1, ??) .

关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?
1 4 1 4

1 ;……………2 分 4

如果 p 正确,且 q 不正确,有 0 ? a ? 4, 且a ? ? ? a ? 4 ;……………2 分 如果 q 正确,且 p 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ? 1 ? a ? 0 .…………2 分
4
1 ? 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? ……………………………………10 分 ?4 ?

18. 解:(1)∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即 ? ax 3 ? bx ? c ? ? ax 3 ? bx ? c , ∴ c ? 0 ,又∵ f '( x) ? 3ax ? b 的最小值为 12 ,∴ b ? 12 ;
2

又直线 x ? 18 y ? 7 ? 0 的斜率为 ? ∴ a ? 2 , b ? 12 , c ? 0 为所求. (2) 由 (1) 得

1 ,因此, f '(1) ? 3a ? b ? 18 , ∴ a ? 2 , 18

f ( x ) ? 2 x 3 ? 12 x

,





x?0

时, g ( x ) ?

6 6 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2 ? 2 x ? ? 4 6 , 2 x x x

∴ g ( x ) 的最小值为 4 6 . 19. 解: ( 1 )由已知 a1 ?

1 a1 ? a2 ? a3 ? , n 3

? an

3, 4, 5 ,得 ? (2n ? 1)an ,分别取 n ? 2,

1 1 1 a2 ? a1 ? ? , 5 3 ? 5 15 1 1 1 a3 ? (a1 ? a2 ) ? ? , 14 5 ? 7 35

5

1 1 1 (a1 ? a2 ? a3 ) ? ? , 27 7 ? 9 63 1 1 1 a5 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? ? , 44 9 ?11 99 1 1 1 1 1 所以数列的前 5 项是: a1 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? ; 15 35 63 99 3 a4 ?
(2)由(1)中的分析可以猜想 an ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,猜想显然成立. ②假设当 n ? k 时猜想成立,即 ak ?

1 . (2n ? 1)(2n ? 1)

1 . (2k ? 1)(2k ? 1)

那么由已知,得 即 a1 ? a2 ? a3 ?

a1 ? a2 ? a3 ? ? ak ? ak ?1 ? (2k ? 1)ak ?1 , k ?1

? ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 .

所以 (2k 2 ? k )ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 , 即 (2k ?1)ak ? (2k ? 3)ak ?1 , 又由归纳假设,得 (2k ? 1)

1 ? (2k ? 3)ak ?1 , (2k ? 1)(2k ? 1)

所以 ak ?1 ?

1 , (2k ? 1)(2k ? 3) 1 成立 (2n ? 1)(2n ? 1)

即当 n ? k ? 1 时,公式也成立. 由①和②知,对一切 n ? N ,都有 an ?
*

20(1) 证:
? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ;
2 2 2 (2) 解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 S ABB1A1 ? SBCC1B1 ? S ACC1A1 ? 2SBCC1B1 ? S ACC1A1 cos? ,其中

?为

平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角. ? CC1 ? 平面PMN , ? 上 述 的 二 面 角
PM ? PN ? MN ? 2PN ? MN c ? oM s N ? P
2 2 2



?MNP

,



?PMN





2 2 2 PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP ,
1 1

由于 SBCC1B1 ? PN ? CC1 , S ACC1A1 ? MN ? CC1 , S ABB1A1 ? PM ? BB1 ,

6

∴有

2 2 2 S ABB ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

21、解: (1)由题设知:2a = 4,即 a = 2, 将点 (1, ) 代入椭圆方程得 得 b2 = 3 ∴ c2
2 2

3 2

2 1 (3 2) ? ? 1 ,解 22 b2

=

a2 - b2

=

4 - 3

=

1

, 故 椭 圆 方 程 为

x y ???????????5 分 ? ? 1, 4 3 焦点 F1、 F2 的坐标分别为 (-1, 0) 和 (1, 0)

???????????

6分 (2)由(Ⅰ)知 A(?2,0), B(0, 3) ,? k PQ ? k AB ?
y? 3 ( x ? 1) , 2

3 , ∴PQ 所在直线方程为 2

? 3 y? ( x ? 1) ? 2 由? 得 8y 2 ? 4 3y ? 9 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4 设 P (x1 , y1) , Q

(x2



y2)





y1 ? y 2 ? ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , ???????????9 分 2 8
3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

? S ?F1PQ ?
????12 分

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

???????

22.解: (1) f ( x) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2
2

2 设 g ( x) ? x ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 .

22 ① 当 ? ? a ?8 ? 0, 即0 ? a ?
2

时, 对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, ??)

上是增函数。 ② 当 ? ? a ?8 ? 0 , 即 a ? 2 2 时 , 仅 对 x ?
2

2 有 f ?( x) ? 0 , 对 其 余 的 x ? 0 都 有

f ?( x ) ? 0,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上也是增函数。
③ 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

7

方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 2 2

? 由 f ( x) ? 0 ,得 (0, f ?( x) ? 0


a ? a2 ? 8 ) 2 ,

(

a ? a2 ? 8 , ??) 2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 2 2 得 (
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增 , 在 ( , ) 是上单调递减 , 2 2 2

此时 f ( x) 在 (0,

a ? a2 ? 8 在( , ??) 上单调递增. 2
(2)解: f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2

2 依题意 f ?( x) ? 0 (等零的点是孤立的)即 x ? ax ? 2 ? 0 在(1,2)上恒成立

令 g ( x) ? x 2 ? ax ? 2 。则有 ?

? g (1) ? 0 解得 a ? 4 ? g ( 2) ? 0

满足题意的实数 a 的取值范围为 [4,??] .

8


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