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重庆市万州二中2013-2014学年高一下学期期末考试+数学


万州二中高 2016 级高一下期期末考试

数 学 试 题 卷
命题人:程远见 数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 一.选择题: (共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.请将唯一正确的选项选出来,并答在答题卡上的相应位置) 1、 已知实数 a , b 满足 a ? b ? 0, b ? 0 ,则 a, b, ?a, ?b 的大小关系是 A a ? ?b ? b ? ? a B a ? b ? ?b ? ? a C a ? ?b ? ? a ? b D a ? b ? ? a ? ?b 2、 A、9

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为
B、

9 2

C、 3

D、

3 2 2

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该 地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样 方法中,最合理的抽样方法是 A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 4、 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分 成 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90, 100]加以统计,得到如图 1-1 所示的频率分布直方图.已知高一年级共 有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 A.588 B.480 C.450 D.120 5. △ ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 若 c ?

2,

b ? 6, B ? 120 ,则边 a 等于
A、

6

B、

3

C、

2

D、 2

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 6、由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? ,确定的平 ? x ? y ? ?2 ?y ? x ? 2 ? 0 ?
面区域记为 ? 2 ,在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为

7、执行如题(7)图所示的程序框图,如果输出 s ? 3 ,那么判断框内应填入的条件是 A、 k ? 6 B、 k ? 7 C、 k ? 8 D、 k ? 9 8、若 f(x)= = A. 2010 ,则 f(1)+f(2)+f(3)?+f(2011)+f( )+f( )+?+f( )

1 2

B. 2009

C.2012

D.1

9.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 数的正整数 n 的个数是

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整 ? Bn n?3 bn

A.2

B.3

C.4

D.5

10.(理)已知不等式 (2a ? b ? c)(a ? c) ? 2n ? (a ? b)(b ? c)(t ? 2n ? 1) 对任意 a ? b ? c 及 n ? N 恒成立,则 实数 t 的取值范围为 A (??,4 2 ?1] B (??,2 ? 2 2 ] C [4 2 ?1,??) D [2 ? 2 2 ,??) 二.填空题: (共 5 小题,每题 5 分,共 25 分.请将最简答案填在答题卡相应的位置) 11、总体有编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从 随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 ▲ 7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481

12、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山,他们约定周日早上 8 点至 9 点之间(假定他们在这一时间段内
任一时刻等可能的到达)在华岩寺正大门前集中前往,则他们中先到者等待的时间不超过 15 分钟的 概率是 ▲ (用数字作答) 。 13、经过两条直线 2x + y -8= 0 和 x- 2y +1= 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ▲

14、若存在

的一个“生成点” 。已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ,则 f ? x ? 的“生成点”共有___▲___个。

,使 f ? x0 ? ? f ? x0 ? 1? ?

? f ? x0 ? n ? ? 63 成立,则称 ? x0 , n ? 为函数 f ? x ?

15、 (文)设 x, y, z 均为正数,且 xy ? z( x ? y ? z) ? 4 ? 2 3 ,则 ( x ? z ? 1)( y ? z ? 1) 的最小值 ▲ 15、 (理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形 n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n 。记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数 数为 2 2 2
的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ??

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2 2 N ? n, 4 ? ? n

3 2 1 n ? n 2 2 2 N ? n,6 ? ? 2n ? n N ? n,5? ?


可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? 16、 (本题满分 13 分,第 1 问 7 分,第 2 问 6 分)

三、解答题(共 6 题,要求写出解答过程或者推理步骤,共 75 分) :
在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

17、 (本题满分 13 分,第 1 问 6 分,第 2 问 7 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1, 2,3, 4 , (Ⅰ)从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球

的编号为 n ,求 n<m ? 2 的概率. 18、 (本题满分 13,第 1 问 6 分,第 2 问 7 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,向量 m ? (b, 2a ? c) , n ? (cos B,cos C) ,且 m // n . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 f (x) ?cos(

?x ? ) ? sin

B 2

( ?x ? 0) ?

,且 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

]上

的最大值和最小值.

19、 (本题满分 12 分,第 1 问 6 分,第 2 问 6 分)
2 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn 。证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

20、 (本题满分 12 分,第 1 问 5 分,第 2 问 7 分) 已知函数 f ( x ) 是二次函数, 不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} , 且 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上的最小 值是 4. (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x ) ? x ? 5 ? f ( x ) ,若对任意的 x ? ? ??, ? ? , g ( ) ? g ( x ? 1) ? 4 ? ?m g ( x ) ? g (m) ? ? 均成 m 4
2

? ?

3? ?

x

立,求实数 m 的取值范围.

21、 (文) (本题满分 12 分,第 1 问 5 分,第 2 问 7 分)

已知各项均为正数的数列{ an }的前 n 项和满足 S n ? 1 ,且 6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N * (1)求{ an }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足 an (2bn ? 1) ? 1 ,并记 Tn 为{ bn }的前 n 项和,求证:

3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3), n ? N *

(理) (本题满分 12 分,每小问 4 分)已知函数 f ( x)对任意x ? R都有f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 . (1)求 f ( )和f ( ) ? f (

1 2

1 n

n ?1 )( n ? N *) 的值; n

(2)数列 ?an ?满足 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 求证:数列 ?an ? 是等差数列 (3) bn ?

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1), (n ? N *) n

1 4n 2 2 , Sn ? , Tn ? b12 ? b2 ? b3 ? an ? 1 2n ? 1

2 ,试比较 Tn 与 Sn 的大小. ? bn

万州二中高 2016 级高一下期期末考试数学参考答案
一.选择题:每题 5 分 ABCBC DBADB 二.填空题:每题 5 分 11、 01 12、

7 16 2 x或x ? y ? 5 ? 0 3

13、 y ? 14、5

15、 (文)3 (理)1000 三、解答题(共 6 题,要求写出解答过程或者推理步骤,共 75 分) : 16、 (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a 2 ? b2 ? c 2 ? b c a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 由余弦定理得 故 cos A ? ?

1 ,A=120° 2

??????????7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? s iC n?

sB in ?

s i? n? (B 6? 0

3 1 ) B ? sin B cos 2 2 ? sin(60? ? B)

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 ??????????13 分 17、 (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)从袋子中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4, 2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. ??????????2 分 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 因此所求事件的概率为 P ?

2 1 ? . 6 3

??????????6 分

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m ,放回后,在从袋中随机取一个球,记下编号为 n ,其一 切可能的结果 (m, n) 有: (1,1) (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1) (3,2), (3,3) (3,4), (4,1) (4,2) , (4,3) (4,4) ,共 16 个 ??????????8 分 有满足条件 n ? m ? 2 的事件为(1,3) , (1,4) , (2,4)共 3 个 所以满足条件 n ? m ? 2 的事件的概率为 P 1 ?

3 . 16

故满足条件 n ? m ? 2 的事件的概率为 P ? 1 ? P 1 ? 1? 18、 (本题满分 13 分) 解: (I)由 m // n ,得 b cos C ? (2a ? c) cos B, ,

3 13 ? . 16 16

??????????13 分

??????????2 分

? b cos C ? c cos B ? 2a cos B 由正弦定理,

1 ? sin( B ? C ) ? 2s in A cos B,? cos B ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ??????????6 分 2 3 ? 3 3 ? (Ⅱ)由题知 f ( x) ? cos(? x ? ) ? sin ? x ? cos ? x ? sin ? x ? 3 sin(? x ? ) , 6 2 2 6 2? ? ? ? ,?? ? 2 , f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) 由已知得 ??????????9 分 ? 6 ? ? 7? ? 1 ],sin(2 x ? ) ? [? ,1] 当 x ? [0, 2] 时, 2 x ? ? [ , ??????????10 分 6 6 6 6 2 ? ? 3 所以,当 x ? 时, f ( x ) 的最大值为 3 ;当 x ? 时, f ( x ) 的最大值为 ? ???13 分 6 2 2
19、 (本题满分 12 分) (第 1 问 6 分,第二问 6 分)

得 sin Bc os C ? sin C cos B ? 2sin A cos B

??????????4 分

20、 (本题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 0 解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,设 f ( x) ? a( x ? 2)( x ? 3) ? a( x ? x ? 6) ,且 a ? 0

对称轴 x0 ?

1 2 ,开口向下, f ( x)min ? f (?1) ? ?4a ? 4 ,解得 a ? ?1 , f ( x) ? ? x ? x ? 6 ;??5 分 2 x 2 2 m 2 g ( x ) ? g (m) ? (Ⅱ) g ( x) ? x ? 5 ? x ? x ? 6 ? x ? 1 , g ( ) ? g ( x ? 1) ? 4 ? ? ? 恒成立 m 3? x2 ? 2 m2 ( x 2 ? 1) ? m2 ? 1? 即 2 ? 1 ? ( x ? 1) ? 1 ? 4 ? 对 x ? ? ??, ? ? 恒成立 ? ? m 4? ?

1 1 3 2 3? ? ? 4m 2 ) x 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 , 即 2 ? 4m 2 ? ? 2 ? ? 1 对 x ? ? ??, ? ? 恒成立??8 分 2 m m x x 4? ? 3 2 1 ? 4 ? 令 y ? ? 2 ? ? 1 ,记 t ? ? ? ? , 0 ? ,则 y ? ?3t 2 ? 2t ? 1 , x x x ? 3 ? 1 4 5 1 5 2 二次函数开口向下,对称轴为 t0 ? ? ,当 t ? ? 时 y min ? ? ,故 2 ? 4m ? ? ??????10 分 3 3 3 m 3 3 3 或m ? ????????????????????12 分 (3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ? 2 2
化简 ( 21、 (文) (Ⅰ)解:由 a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1=1 或 a1=2,由假设 a1=S1>1,因此 a1 6

=2。 又由 an+1=Sn+1- Sn= (an?1 ? 1)(an?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列, 故{an}的通项为 an=3n-2。???????????????5 分 (Ⅱ)证:由 an (2 b ? 1) ? 1可解得
? 3n ? 1 ? 3n ?3 6 ? · ·?· b z ? log z ? ?。 ?1 ? a ? ? log z 3n ? 1 ;从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log z ? 3n ? 1 ? ?2 5 n ? ? 3n ? 2 ?3 6 因此 3Tn ? 1 ? log z (a n ? 3) ? log z ? · ·?· 。 ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5
3

1 6

1 6

令 f ( x) ? ? · ·?·

?3 6 ?2 5

f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 3n ? 2 ,则 ? ·? ? · ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 f (n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2

3

3

因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7>0 ,故 f (n ? 1)>f (n) . 特别的 f (n) ? f (1) ?
27 > 1 。从而 3Tn ? 1 ? log(a n ? 3) ? log f (n)>0 , 20
?????????????12 分

即 3Tn ? 1 >log2 (an ? 3) 。

(理)解: (1)f(x)对任意 x ? R都有f ( x) ? f (1 ? x) ? 2

1 1 1 1 x ? 时有f ( ) ? f (1 ? ) ? 2 ? f ( ) ?1 2 2 2 2 1 1 1 令 x ? (n ? N *)时有f ( ) ? f (1 ? ) ? 2 n n n 1 n ?1 ? f ( )? f ( )?2 n n (2)证明:f(x)对任意 x∈R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2, k k n ?k )?2 则令 x ? 时有f ( ) ? f ( n n n

??????2 分

???????4 分

????????5 分

1 2 n ?1 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ? f (1) n n n n ?1 n?2 1 ? an ? f (1) ? f ( )? f ( ) ? ? f ( ) ? f (0) n n n 1 n ?1 n ?1 1 ? 2an ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f (1) ? f (0)] n n n n ? 2an ? ( 2 n ? 1)(n ? N *) ? an ? n ? 1(n ? N *) ? an ?1 ? an ? (n ? 2) ? (n ? 1 ) ? 1(n ? N *)
∴{an}是等差数列. (3)解:由(2)有 bn ?
1 1 ? (n ? N *) an ? 1 n

???????8 分

? bn 2 ?

1 4 4 4 1 1 ? 2? 2 ? ? 2( ? ) 2 n 4n 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2 n ? 1 1 1 1 1 1 2 2 ?Tn ? b12 ? b2 ? b12 ? ? bn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 4n ? 2(1 ? )? ? Sn 2n ? 1 2n ? 1 ?????12 分 ?Tn ? Sn


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