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2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】三角函数的图象与性质(理卷B)


专题 3 三角函数、解三角形、平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质(B 卷)
sin(?
1.(2015·北京市东城区综合练习二·1) (A) ?

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

23? )? 6 (



3 2

(B) ?

1 2

(C) 2.

1 2

(D)

3 2

(2015 · 哈 尔 滨 市 第 六 中 学 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 · 3) 函 数

y ? l o1 ( gs 2 i xn c o s ? c o2 x s s i n) 的单调递减区间是( 4 4 2
A. (k? ? C. (k? ?

?

?



?
8

, k? ?

?
8

5? ), k ? Z 8

, k? ?

3? ), k ? Z 8

3? ), k ? Z 8 8 3? 5? D. (k? ? , k? ? ), k ? Z 8 8
B. (k? ?

?

, k? ?

3 . (2015 ·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学(理)试题· 9) 将函数

f ( x ) ? 3 sin(4 x ?

?
6

) 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,再向右平移
) D.

? 个单位长,得 6

到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 的图象的一条对称轴是( A.

?
12

B.

? 6

C.

? 3
? ?

2? 3

4. (2015·开封市高三数学(理)冲刺模拟考试·8)函数 y ? sin ? 2 x ?

??

? 的图像与函数 6?

?? ? y ? cos ? x ? ? 的图像( ) 3? ?
A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴

5. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·5)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ( ? 为常数) 为奇函数,那么 cos? ? ( (A) ? )

2 2

(B) 0

(C)

2 2

(D) 1

6.(2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·7)

7.(2015·海南省高考模拟测试题·7)下列命题,正确的个数是( ①直线 x ?



5? 是函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 的一条对称轴 3 1 3? ) 的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变), ②将函数 y ? cos( x ? 2 2
再向左平行移动

? ? 个单位长度变为函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像. 4 4

③设随机变量 ? ~ N (3,9) ,若 P(? ? a) ? 0.3 , (a ? 3) ,则 P(? ? 6 ? a) ? 0.7
?1 ④ (2 x ? ) 的二项展开式中含有 x 项的二项式系数是 210.
10

1 x

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8.(2015 ·大连市高三第二次模拟考试· 6) 如图为一个观览车示意图,该观览车圆半径为

4.8m ,圆上最低点与地面距离为 0.8m ,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动

? (? ? 0) 角到 OB ,设 B 点与地面距离为 h ,则 h 与 ? 的关系式为(
(A) h ? 5.6 ? 4.8sin ? (C) h ? 5.6 ? 4.8cos(? ? (B) h ? 5.6 ? 4.8cos ?



?
2

)

(D) h ? 5.6 ? 4.8sin(? ?

?
2

)

9.(2015 · 大 连 市 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 · 12) 对 ?x ? (0,

?
2

)

,下列四个命题:①

sin x ? tan x ? 2 x ;② sin x ? tan x ? x 2 ;③ sin x ? tan x ?
正确命题的序号是( (A)①、② ) (B)① 、 ③ (C)③、④

8 x ;④ sin x?tan x ? 2 x2 ,则 3

(D)②、④

10.(2015 济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·6) f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A, ? ? 0) 的图象如 图所示,为得到 g ( x) ? ? A sin(? x ?

? ) 的图象,可以将 f ( x) 的图象 ( 6



A.向右平移

5? 个单位长度 6 5? 个单位长度 6

B.向右平移

5? 个单位长度 12 5? 个单位长度 12
? ?

C.向左平移

D.向左平移

11.(2015·日照市高三校际联合 5 月检测·7)将函数 f ? x ? ? sin ? x ?

??

? 的图象上各点的 6?


纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,所得图象的一条对称轴方程可以是( A. x ? ? C. x ?

?
12

B. x ?

?

?
3

12 2? D. x ? 3

12. (2015 · 济 南 市 高 三 教 学 质 量 调 研 考 试 · 4) 如 图 所 示 , 点 P 是 函 数

y ? 2sin ?? x ? ? ?? x ? R, ? ? 0? 的图象的一个最高点,M,N 是图象与
x 轴的交点.若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的值为( A.8 B.4 C.

uuu r uuu r

) D.

? 8

? 4

二、非选择题(40 分)

13.(2015.芜湖市高三 5 月模拟·15)

14.(2015·济宁市 5 月高考模拟考试·13)

15. (2015.南通市高三第三次调研测试· 16) (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)

? ? (其中 A, ? , ? 为常数,且 A>0, ? >0, ? <?< )的部分图象如图所示. 2 2
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f (? ) ?
y 2
? ? 3

3 ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 2 6

O ?2

?? 3

x

(第 16 题)

16.(2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·16)

17. ( 2015 · 山 东 省 实 验 中 学 第 二 次 考 试 · 16 ) ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? sin x cos x ?

3 ? cos2 x ? sin 2 x ? . 2

(I)求 f ?

?? ? ? ? ?? (II)求 f ? x ? 在闭区间 ? ? , ? 的最值. ? 及 f ? x ? 的单调递增区间; ?6? ? 4 4?

专题 3 三角函数、解三角形、平面向量 第1讲
1.【答案】C 【命题立意】本题重点考查诱导公式,难度较小. 【解析】由诱导公式得 sin(? 2.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查函数的单调性。 【解析】 y ? log 1 (sin 2 x cos
2

三角函数的图象与性质(B 卷)答案与解析

23? 23? ? 1 ) ? sin(? ? 4? ) ? sin ? . 6 6 6 2

?

? ? ? ? cos 2 x sin ) ? log 1 sin(2 x ? ) .令 t ? sin(2 x ? ) , 4 4 4 4 2
3? ? ? , k ? Z 时,2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? , k ? Z 此 8 2 4 3? , k ? Z 时单调递减, 而 y ? log 1 t 在 (0, ??) 单 8 2

则 y ? log 1 t , 当 k? ?
2

?
8

? x ? k? ?

t ? sin(2 x ? 时,

?
4

) 在 k? ?

?
8

? x ? k? ?

调递减,故 y ? log 1 (sin 2 x cos
2

?

? cos 2 x sin ) ? log 1 sin(2 x ? ) 4 4 4 2

?

?

在 k? ?

?
8

? x ? k? ?

3? , k ? Z 单调递减. 8

3.【答案】C 【命题立意】考查三角函数的图象变换,函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象性质,考查转化能 力,中等题. 【解析】将函数 f ( x ) ? 3 sin( 4 x ? 得 函 数 g1 ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,

? 个单位长,得到函数 6 6 ? ? ? ? ? y ? g ( x) ? 3 sin[ 2( x ? ) ? ] ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象,令 2 x ? ? k? ? (k ? Z) ,令
) 的图象,再向右平移

?

k ? 0得x ?
4.【答案】A

?
3

6

6

6

6

2

,即函数 y ? g ( x) 的图象的一条对称轴.

【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质.

1 ? ? ) ,其对称轴方程为 x= kπ+ ,k∈Z,对称中心的横坐标为 2 6 3 1 ? ? ? ? ? ? x= kπ+ , k∈Z, 而 y=cos (x- ) =cos (x+ - ) =sin (x+ ) , 其对称轴方程为 x=kπ+ , 2 12 3 6 2 6 3 ? k∈Z,对称中心的横坐标为 x=kπ- ,k∈Z,那么两函数有相同的对称轴但无相同的对称 6
【解析】由于 y=sin(2x- 中心. 5.【答案】B 【命题立意】本题考查了奇函数的性质. 【解析】函数 f ( x) 的定义域为 R ,则由题意可得 f (0) ? 0 ,即 cos ? ? 0 . 6.【答案】D 【命题立意】本题重点考查诱导公式和三角函数图象的变换,难度中等. 【解析】因为 f ( x) ? cos(2x ? 以将其向右平移 7.【答案】B 【命题立意】 本题旨在考查命题的真假判定, 三角函数的图象与性质, 三角函数的平移变换, 正态分布,二项式定理. 【解析】①中,由于 y=sin2x- 3 cos2x=2sin(2x-

?
3

) ? sin(2 x?

?
3

?

?
2

)? sin(2 x?

?

? 个单位可得 g ( x) ? sin 2 x . 12

) ? sin(2( x? )) ,所 6 12

?

是该函数的一条对称轴,错误;②中,将函数 y=cos(x+ 标缩短为原来的 (x+

5? 5? ? ) ,当 x= 时,y=0,直线 x= 3 3 3 3? 2



)=sinx 的图象上每个点的横坐

? ? )=sin(2x+ )=cos2x 的图象,错误;③中,由于 u=3,σ=3,则有 P(ξ<6-a)=1 4 2
-1

1 ? (纵坐标不变)可得 y=sin2x,再向左平行移动 个单位长度可得 y=sin2 2 4

-(ξ<a)=1-0.3=0.7,正确;④中,二项展开式中含有 x

的项为 T4+1= C10 · (2 x )6· (-

4

1 4 4 ) ,其二项式系数 C10 =210,正确. x
8.【答案】D 【命题立意】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式的应用

等知识。 【解析】如图,振幅为 4.8 ,最大值为 10.4 ,故周期为 2? ,所以三角函数解析式为:

h ? 5.6 ? 4.8sin(? ? ) . 2
9.【答案】A 【命题立意】本题重点考查了命题的真假判断、三角函数的图象与性质等知识。 【解析】构造函数 f ( x) ? sin x ? tan x ,导数 f ?( x) ? cos x ?

?

1 ,该函数为增函数, cos2 x

?x ? (0, ) 2
②正确。

? ,得到 sin x ? tan x ? 2 x ,故①正确;同理得到

10.【答案】D 【命题立意】本题主要考查由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象求解析式,函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于中档题. 【解析】由题意可得 A=1,

1 1 2? 7? ? ? ? ,解得ω =2, T= ? 4 4 ? 12 3

∴f(x)=Acos(ω x+φ )=2cos(2x+φ ) .

? ? ? +φ = ,∴φ =- , 3 2 6 ? ? ? ? ? ∴f(x)=2cos(2x- )=2cos2(x) ,g(x)=-2sin(2x+ )=2cos(2x+ + )=2cos2 6 12 6 6 2 5? 5? ? ? ? (x+ ) ,而 -()= ,故将 f(x)的图象向左平移 个单位长度,即可得到函 12 12 3 3 12
再由五点法作图可得 2× 数 g(x)的图象. 11.【答案】 D 【命题立意】本题旨在考查正弦型函数的图像变化以及对称性. 【解析】将函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

π? ? 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍 6?
, 其 对 称 轴 方 程 为







π? ?1 f ? x ? ? sin ? x ? ? 6? ?2

1 π π 2π x ? ? kπ ? ,? x ? 2kπ ? (k ? Z) , 故选 D. 2 6 2 3

12.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查三角函数的图像以及向量的数量积.

?
【 解 析 】 由 三 角 函 数 图 像 性 质 知 P( 2

??

?

, 2 ),M(

??

?

, 0 ),,M(

? ?? , 0 ), 则 ?

uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r PM ? ( 2 , ?2), PN ? ( 2 , ?2) ,因为 PM ? PN ? 0 ,所以 PM ? PN ? ? 4 ? 4 ? 0 ,解
得? =

?

?

?

?2 ?

? . 4

?

?

13.【答案】①③④⑤ 【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象性质. 【解析】由题意可得对称轴为 x ?

1 T 4 1 ? 5? ,则 ? ? ? 1 .则 T ? 2 ,则②中 ?1, ? ,一部分为 3 2 3 3 ? 3?

增区间,一部分为减区间,错误;①③④⑤正确.

14.【答案】 【命题立意】本题主要考查三角恒等变换,三角函数的图像与性质 【解析】 f ( x) ? 2sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

?
6

)?

? k? ? , k ? Z ,又 ? ? [0, ] ,所以 ? ? . 解得 x ? ? 3 3 2 2 1 ? 15.【答案】 (1)f(x) = 2sin( x ? ) . (2) ? . 6 8

?

1 ? ? ,由 2 x ? ? ? k? , 2 6 2

【命题立意】本题考查根据图象求解析式,简单的三角恒等变换,意在考查识图能力,转化 能力,中等题. 【解析】 (1)由图可知,A=2,T= 2? ,故 ? ? 1 ,所以,f(x)= 2sin( x ? ? ) . 又 f(

? 2? 2? ? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 ,且 ? <?< ,故 ? ? ? .于是,f(x)= 2sin( x ? ) . 6 3 3 2 2 6

(2)由 f (? ) ?

? 3 3 ,得 sin(? ? ) ? . 6 4 2

? ? ?? ? ? ? 1 ? ? 所以, sin(2? ? ) ? sin ? 2(? ? ) ? ? ? cos ? 2(? ? ) ? = 1 ? 2sin 2 (? ? ) ? ? . 6 6 2 6 6 8 ? ? ? ?

16.【答案】 (1) f ( x) ? sin x (2) tan(? ?

?
4

) ? ?7

【命题立意】本题第一问是求三角函数解析式问题,关键是抓住三角函数的性质;第二问考 查了三角恒等变换问题,要求学生熟记两角差的正切公式。 【解析】

17.【答案】 (I)

5? 1 ? 3 ,[+k ? , + k ? ],k ? Z (II)最大值为 1,最小值为12 2 12 2

【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质。 【解析】 (I)f(x)=

1 ? ? 3 3 sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),则 f( )= , 2 3 6 2 2

?

?
2

? 2k? ? 2x+

? ? ? ? 2k? ,k ? Z 3 2

单调递增区间[(II)由 x ? ? ?

5? ? +k ? , + k ? ],k ? Z . 12 12

1 ? ? 5? ? ? ? ?? , ? 则 2x+ ? [? , ] ,sin(2x+ ) ? [- ,1], 2 3 6 6 3 ? 4 4? 1 。 2

所以最大值为 1,最小值为-


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