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高中数学选修4-4极坐标练习题1(详细答案附后)


?极坐标练习题
高中数学选修 4-4 极坐标练习题
班 一、选择题
1.将点的直角坐标(-2,2 3 )化成极坐标得( A.(4, ). C.(-4,

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号 姓名

2? ) 3

B.(-4,

2? ) 3
<

br />? ) 3

D.(4,

? ) 3

2.极坐标方程 ??cos?=sin2?( ?≥0)表示的曲线是( ). A.一个圆 B.两条射线或一个圆 C.两条直线 ). C.y2=2(x-1) D.y2=2(1-x) D.一条射线或一个圆

2 3.极坐标方程 ? = 化为普通方程是( 1+cos?
A.y2=4(x-1) B.y2=4(1-x)

4.点 P 在曲线 ? cos??+2? sin??=3 上,其中 0≤??≤ A.直线 x+2y-3=0 C.圆(x-2)2+y=1

π ,?>0,则点 P 的轨迹是( ). 4

B.以(3,0)为端点的射线 D.以(1,1),(3,0)为端点的线段

5.设点 P 在曲线 ??sin ??= 2 上,点 Q 在曲线 ?= - 2cos ?上,则 |PQ|的最小值为 ( ). A.2 B.1 C .3 D.0

6.在满足极坐标和直角坐标互的化条件下,极坐标方程 ? 2=

12 3cos ? +4sin2?
2

经过直角坐标系

? x?= ? 下的伸缩变换 ? ? y ?= ?
A.直线

1 x 2 后,得到的曲线是( ). 3 y 3
C. 双曲线 D. 圆

B.椭圆

?极坐标练习题
π 7.在极坐标系中,直线 ? sin (? + )=2 ,被圆 ?=3 截得的弦长为( 4
A. 2 2 B. 2 C. 2 5 D. 2 3 ). C .( 2 , ).

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8.?= 2 (cos ??-sin ??)(?>0)的圆心极坐标为( A.(-1,

3π ) 4

B.(1,

7π ) 4

π ) 4

D.(1, ).

5π ) 4

9.极坐标方程为 lg ?=1+lg cos ?,则曲线上的点(?,?)的轨迹是( A.以点(5,0)为圆心,5 为半径的圆 B.以点(5,0)为圆心,5 为半径的圆,除去极点 C.以点(5,0)为圆心,5 为半径的上半圆 D.以点(5,0)为圆心,5 为半径的右半圆

1 10.方程 ? = 表示的曲线是( 1- cos ? +sin ?
A.圆 B.椭圆 C.双曲线

). D.抛物线

二、填空题
11.在极坐标系中,以(a,

π )为圆心,以 a 为半径的圆的极坐标方程为 2



12.极坐标方程 ?2cos ?-?=0 表示的图形是



13.过点( 2 ,

π )且与极轴平行的直线的极坐标方程是 4



?极坐标练习题
14.曲线 ?=8sin ??和 ?=-8cos ?(?>0)的交点的极坐标是

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15.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为??cos ??=3,?=4cos ? (其中 0≤?< C2 交点的极坐标为 .

π ),则 C1, 2

16. P 是圆 ?=2Rcos ?上的动点,延长 OP 到 Q,使|PQ|=2|OP|,则 Q 点的轨迹方程 是 .

三、解答题
17.求以点 A(2,0)为圆心,且经过点 B(3,

π )的圆的极坐标方程. 3

18.先求出半径为 a,圆心为(?0,?0)的圆的极坐标方程.再求出 (1)极点在圆周上时圆的方程; (2)极点在周上且圆心在极轴上时圆的方程.

?极坐标练习题
19.已知直线 l 的极坐标方程为 ? ?
4 2 π cos (? + ) 4 到直线 l 距离的最大值及最小值.

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,点 P 的直角坐标为( 3 cos?,sin?),求点 P

20.A,B 为椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上的两点,O 为原点,且 AO⊥BO. 1 1 + 求证:(1) 为定值,并求此定值; 2 OA OB 2
a 2b 2 1 (2)△AOB 面积的最大值为 ab ,最小值为 2 . 2 a + b2

?极坐标练习题
高中数学选修 4-4 极坐标练习题参考答案
一、选择题 1.A;解析:?=4,tan ?=
2 3 =- 3 ,?=

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-2

2π .故选 A. 3

2.D;解析:∵ ??cos??=2sin ? cos ?,∴cos ?=0 或 ?=2sin?,?=0 时,曲线是原点;

?>0 时,cos ?=0 为一条射线,?=2sin??时为圆.故选 D.
3.B 解析:原方程化为 ? ? ? cos? ? 2 ,即 x 2+ y 2 = 2- x ,即 y2=4(1-x).故选 B. 4.D 解析:∵x+2y=3,即 x+2y-3=0,又∵ 0≤??≤ 5. B

π ,?>0,故选 D. 4

解析:两曲线化为普通方程为 y=2 和(x+1)2+y2=1,作图知选 B.

6.D 解析:曲线化为普通方程后为

x2 y2 ? ? 1 ,变换后为圆. 4 3

7.C 解析:? 直线可化为 x+y= 2 2 ,圆方程可化为 x2+y2=9.圆心到直线距离 d=2, ∴弦长=2 32-22 = 2 5 .故选C.

? 2 2? ? ,即(1,7π ),故选 B. 8.B 解析:? 圆为:x2+y2- 2 x + 2 y =0,圆心为 ? ,- ? 2 2 ? 4 ? ?
9.B 解析:? 原方程化为?=10cos ?,cos ?>0.∴0≤??< 10.C

π 3π 和 <?<2?,故选 B. 2 2

解析:∵1=?-?cos ?+?sin ?,∴?=?cos ?-?sin ?+1,∴x2+y2=(x-y+1)2,
2 2 2

? 2x-2y-2xy+1=0,即 xy-x+y= 1 ,即(x+1)(y-1)=- 1 ,是双曲线 xy=- 1 的
平移,故选C. 二、填空题 11.?=2asin ?. 解析:圆的直径为 2a,在圆上任取一点 P(?,?),
A 2a P(?,??)

??

π π 则∠AOP= -??或?- , 2 2
∵?=2acos∠AOP, 即 ? = 2acos ?-
O

??

x

?
2

(第 11 题) =2asin ?.

?极坐标练习题
12.极点或垂直于极轴的直线. 解析:∵??·(? cos ??-1)=0, ∴?=0 为极点, ? cos ??-1=0 为垂直于极轴的直线.
π 13.? sin ??=1.解析: ? sin? = 2 × sin =1 . 4

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8 Q 8
O

3π 14.(4 2 , ). 4
解析:由 8sin ?=-8cos ? 得 tan ?=-1.

D

x

? ?>0 得 ?

?sin ? ? 0 ?cos ? ? 0

? ?= 3π ;
4

(第 12 题)

又由 ?=8sin

3π 得 ?=4 2 . 4

3 3 3 π π? ? 15. ? 2 3, ? .解析:由 ??cos?=3 有 ?= , =4cos?,cos2??= ,??= ; 6? 4 cos ? cos ? 6 ?
消去???得 ?2=12,?=2 3 . 16.?=6Rcos ?.解析:设 Q 点的坐标为(?,?),

1 ?1 ? ? ? ,代回到圆方程中得 ?=2Rcos ?,?=6Rcos ?. 则 P 点的坐标为 ? ?, 3 3 ? ?
三、解答题 17.解析:在满足互化条件下,先求出圆的普通方程,然后再化成极坐标方程. ∵A(2,0),由余弦定理得 AB2=22+32-2×2×3×cos

π =7,∴圆方程为(x-2)2+y2=7, 3

? x=?cos ? 由? 得圆的极坐标方程为(?cos ?-2)2+(?sin ?)2=7,即 ?2-4??cos ??-3=0. y = ? sin ? ?

18.(1)解析:记极点为 O,圆心为 C,圆周上的动点为 P(?,?),
2 则有 CP2=OP2+OC2-2OP·OC·cos∠COP,即 a2=?2+ ?0 -2??·?0·cos(?-? 0).

当极点在圆周上时,?0=a,方程为 ?=2acos(?-? 0); (2)当极点在圆周上,圆心在极轴上时,?0=a,? 0=0,方程为 ?=2acos??. 19.解析:直线 l 的方程为 4 2 =?(
2 2 cos???- sin??),即 x-y=8. 2 2

? 点 P(

3 cos???,sin???)到直线 x-y=8 的距离为

?极坐标练习题
d= 3cos ?- sin ?- 8 2

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π 2cos (? + ) -8 6 ,∴最大值为 5 2 ,最小值为 3 2 . = 2

a 2b 2 20.解析:(1)将方程化为极坐标方程得 ? 2 =  2 2 , b cos ? + a 2sin2?

π 设 A(?1,?1),B ? ?1 + ? ? ?2, ?, 2? ?
1 OA

2





1 OB
2



1
2 ?1



1
2 ?2



b 2 cos2?1+a 2sin2?1 a 2b 2

π ? 2 2? π? b 2cos2 ? ??1+ ?+a sin ??1+ ? 2 2? ? ? ? + 2 2 a b

a 2+b 2 a 2b 2

,为定值.

(2) S△AOB=
1 2

1 a 2b 2 1 ?1?2= 2 b 2 cos 2 ?1+a 2 sin2 ?1 2

a 2b 2 b 2 sin2 ?1+a 2 cos 2 ?1



a 2b 2 1 2 2 2 2 (a -b ) sin 2?1+a 2 b 2 4



当 ?1 =

π a 2b 2 1 时,S△AOB 最小值为 2 ,当??1=0 时,S△AOB 最大值为 ab . 2 2 4 a +b


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